bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2000, tijdvak 1 (wiskunde A1,2)

opgave 1Opgave 1 Hoe lang is een Nederlander?

In een krantenartikel werd beschreven hoe een kind zijn (of haar) toekomsti
lichaamslengte kan be ekenen:
„Tel de lengten (in cm) van je vader en moeder bij elkaar op en deel het getal door tw
hebt dan de gemiddelde lengte van e ouders. Als je een meisje bent, trek e daar z
af. Als je een jongen bent, tel je er zes bij op. Dat doe je omdat mannen gemiddeld
worden dan vrouwen. Daarna tel je er nog eens drie b j op. Dat moeten zow
als de meisjes doen, want die drie centimeter worden alle kinderen gemiddeld lang
hun ouders. Dan weet ho
a c
14p
moeder die 167 cm lang s.
Het is mogeli
te verwachten lengte in cm te bepalen. Noem de lengte in cm
24p
Stel een formule op voor d
In het krantenartikel stond ook:
„Elke generatie wordt 3 cm langer dan de vorige. Da beteken dat d
s in het aa 2150 de he ft van de Nederlandse mannen meer dan 2,00 meter.”
Neem aan dat de stijging van de gemiddelde lengte inderdaad zo verloopt a
staat.
verdeeld is met een constante s andaardafwijking van 8 cm maar met een s
gemiddelde.
37p

opgave 2Opgave 2 Enquête

Opiniepeilingen worden vaak telefonisch gedaan, maar voor bepaalde soorten enquêtes stuurt een onderzoeksbureau enquêteurs met een vragenlijst op pad.Aselect wordt een aantal adressen getrokken. Het onderzoeksbureau laat enquêteurs die adressen bezoeken om de bewoners van die adressen vragen te…

Opiniepeilingen worden vaak telefonisch gedaan, maar voor bepaalde soorten enquêtes stuurt een onderzoeksbureau enquêteurs met een vragenlijst op pad.Aselect wordt een aantal adressen getrokken. Het onderzoeksbureau laat enquêteurs die adressen bezoeken om de bewoners van die adressen vragen te stellen. Voor een onderzoek moeten 1400 adressen worden bezocht. Er zijn hiervoor 4 vaste medewerkers beschikbaar en 16 studenten die dit als bijbaantje hebben. Een vaste medewerker krijgt een groter aantal adressen dan een student. Iedere vaste medewerker krijgt evenveel adressen. Ieder van de 16 studenten krijgt ook een gelijk aantal adressen, maar dat zijn er 30 minder dan het aantal dat een vaste medewerker krijgt. De 1400 adressen kunnen ’precies’ verdeeld worden.

Laat dit zien door te berekenen hoeveel adressen een vaste medewerker en hoeveel adressen een student krijgt. Als er niet 1400 maar 1405 adressen te verdelen zijn, worden eerst de 1400 adressen ’precies’ verdeeld. De overblijvende 5 adressen worden dan verloot onder de 20 enquêteurs. Daarbij heeft…

Laat dit zien door te berekenen hoeveel adressen een vaste medewerker en hoeveel adressen een student krijgt. Als er niet 1400 maar 1405 adressen te verdelen zijn, worden eerst de 1400 adressen ’precies’ verdeeld. De overblijvende 5 adressen worden dan verloot onder de 20 enquêteurs. Daarbij heeft iedereen dezelfde kans op een extra adres, maar niemand krijgt er meer dan één adres bij.

Bereken de kans dat deze 5 adressen allemaal bij de 16 studenten terecht komen. Wanneer de enquêteur op een adres komt waar niemand thuis is, probeert hij het later voor de tweede keer.Als ook bij het tweede bezoek niemand thuis is, doet hij bij dit adres nog een derde poging. Die derde keer is ook…

Bereken de kans dat deze 5 adressen allemaal bij de 16 studenten terecht komen. Wanneer de enquêteur op een adres komt waar niemand thuis is, probeert hij het later voor de tweede keer.Als ook bij het tweede bezoek niemand thuis is, doet hij bij dit adres nog een derde poging. Die derde keer is ook de laatste keer, zelfs als er dan weer niemand thuis is. Uit ervaring weet men dat de kans dat iemand thuis is de eerste keer het grootst is. Bij de tweede poging is de kans wat kleiner en bij het derde bezoek zelfs veel kleiner. Stel dat bij het eerste bezoek op 90% van de adressen iemand thuis is. Bij de adressen waar men de eerste keer niet thuis was, is 80% bij het tweede bezoek wel thuis. Op de adressen waar een derde poging nodig is, is bij dat derde bezoek 40% thuis. Zie figuur 1. figuur 1 1 e 2 e 3 e poging

Bereken de kans dat de enquêteur op een adres pas bij het derde bezoek iemand thuis treft. Het onderzoek wordt gehouden bij 1400 verschillende adressen.
Bereken hoeveel keer in totaal er een adres zal worden bezocht voor dit onderzoek.
opgave als beeld van het examen

opgave 3Opgave 3 Luchtdrukte

In deze opgave bekijken we de aankomst van vliegtuigen op een vliegveld. Gewoonlijk zeggen we bijvoorbeeld dat er gemiddeld 10 vliegtuigen per uur aankomen. Het is dan meestal niet zo dat er elke 6 minuten een vliegtuig aankomt. Soms komen er veel, dan weer weinig vliegtuigen achter elkaar binnen .…

In deze opgave bekijken we de aankomst van vliegtuigen op een vliegveld. Gewoonlijk zeggen we bijvoorbeeld dat er gemiddeld 10 vliegtuigen per uur aankomen. Het is dan meestal niet zo dat er elke 6 minuten een vliegtuig aankomt. Soms komen er veel, dan weer weinig vliegtuigen achter elkaar binnen . De tussentijd van een vliegtuig is de tijd (in minuten) tussen de aankomst van het vorige vliegtuig en de aankomst van het betreffende vliegtuig. Het eerste vliegtuig dat aankomt nadat het vliegveld geopend is, heeft geen tussentijd. In figuur 2 zie je de aankomsttijden van de eerste vijf vliegtuigen op een dag en de bijbehorende tussentijden. figuur 2 Aankomst van de eerste vijf vliegtuigen van de dag tussentijd 16 5 4 Alle tussentijden worden vervolgens van groot naar klein op volgorde gezet en in een grafiek weergegeven. In figuur 3 staan de tussentijden van de vliegtuigen voor een bepaalde periode voor een klein vliegveld. figuur 3 In de figuur zijn de 40 tussentijden weergegeven door 40 stippen. Bij elke stip kun je de bijbehorende tussentijd aflezen op de horizontale as en het nummer op de verticale as. Punt Q bijvoorbeeld hoort bij een vliegtuig met tussentijd 68 minuten. Het is tussentijdnummer 5 omdat vier tussentijden nog groter waren.Anders gezegd: er zijn 5 vliegtuigen met een tussentijd van 68 minuten of meer. Bij punt R hoort de kleinste tussentijd: 1 minuut.

Teken op de bijlage een histogram van de tussentijden. Geef daarin de frequenties van de tussentijden per klasse weer met een klassenbreedte van 20 minuten.
Als tussentijden van aankomende vliegtuigen op andere vliegvelden of gedurende andere periodes op de manier van figuur 3 worden weergegeven, ontstaat telkens een zelfde soort grafiek. In figuur 4 is een model van dit type grafiek getekend. Langs de verticale as staan nu percentages. Figuur 4 staat…

Als tussentijden van aankomende vliegtuigen op andere vliegvelden of gedurende andere periodes op de manier van figuur 3 worden weergegeven, ontstaat telkens een zelfde soort grafiek. In figuur 4 is een model van dit type grafiek getekend. Langs de verticale as staan nu percentages. Figuur 4 staat ook op de bijlage. figuur 4 Je kunt in figuur 4 bijvoorbeeld aflezen dat 13% van de vliegtuigen een tussentijd heeft van 50 minuten of meer (punt A ) en dat 2,5% een tussentijd heeft van 90 minuten of meer (punt B ). In figuur 4 lees je ook af dat 50% van de vliegtuigen volgens dit model een tussentijd heeft van 17 minuten of meer (en ook 50% een tussentijd van minder dan 17 minuten). De gemiddelde tussentijd is niet gelijk aan 17 minuten.

Onderzoek of de gemiddelde tussentijd groter of kleiner dan 17 minuten is. Aan de hand van figuur 4 kan een boxplot van de tussentijden gemaakt worden.
Teken de boxplot. Licht je werkwijze toe. Gebruik daarbij de figuur op de bijlage. Er is een formule van de vorm y = b g t die goed past bij de grafiek in figuur 4. Hierbij is t de tussentijd in minuten en y het percentage vliegtuigen met een tussentijd van t minuten of meer.
Hoe groot zijn b en g ? Licht je antwoord toe.
opgave als beeld van het examen

opgave 4Opgave 4 Wiskunde in bad

Miss hien is het je na het nemen van een bad wel eens opgevallen dat het wate
begin sneller wegloopt dan aan het eind Aan de hand van een wiskundig mode
we dat hier onderzoeken. De vorm van het
figuur 5
waterhoogte
Tijdens het eeglopen wor
Bij deze meetresultaten past de vo gende formule:
waterhoogte = (7 – 0,03t)2
Hierbij wor
bad leeg te lopen.
123p
Toon aan dat het leeglopen van het bad ongeveer 233 seconden duurt.
135p
het b gin sneller wegloop dan aan het eind.
waterhoogte = 49 – 0 42t + 0,0009t
Aangezien de waterhoogte daalt tu
negatief zijn. Met behulp van deze afgeleide kun je aantonen dat h
146p
Toon dit aan met behulp van een schets van de grafiek van de afgele de.
Bij het leeglopen van het bad is het bad op een gegeven moment nog maar half
De waterhoogte is dan de helft van wat het oorspronkelijk was. De tijd die h
nodig is, noemen w de leeglooptijd eerste helft. De tijd die
bad verder leeg te laten lopen, noemen we de leeglooptijd tweede helft. Die twe
he
D v d tu deze leeglooptijden noe
formule:
leegloopverhouding = (e p j we e el)/(st)
156p

opgave 5Opgave 5 Boekwaarde

Een kopieerapparaat is een jaar na aanschaf minder waard dan op het moment v
aanschaf. In de volgende jaren neemt de waarde nog verder a.
De waarde van het kop eerapparaat op zeker moment noemen we d
het apparaat en de waardedaling wordt de afschrijving gen
verschillende boekwaarden. In deze opgave bek jken we er drie.
Een voetbalclub heeft een nieuw kopieerapparaat van ƒ 10 000,– gekocht. Na
heeft dit apparaat nog een waarde van ƒ 1000,–. Er zal dus in 10 jaar ƒ 9000,–
worden afgeschreven. In tabel 1 staan de boekwaarden (in guld
ar volgens dri
m
B ijd n)
Bo de B
0
2 3 55
10
1000 1000 1000
Bij methode I daalt de boekwaarde gelijkmatig. De boekwaa de B (in gulde
t j
163p
worden.
Bij methode I wordt de boekwaarde ieder jaar met een vaste groeifactor
vermenigvu d gd.
De boekwaarde kan op elk moment (dus ook gedurende het jaar) berekend w
met de formule B =
175p
nieuwprijs van ƒ 10 000,–.
Bij methode III hoort de volgende formule voor de boekwaarde
V e od oo ja b a g n 2.
B 10 000 8364 6891 5582 4436 3455 2636 1982 1491 1164
186p
Laat zien dat bij deze methode de jaar ijkse afschrijvingen vrijwel lineair dalen.
Het kopieerapparaat wordt na 10 jaar voor ƒ 1000,– verkocht. Als het kopieer
eerder bij een brand verloren gaat, zal de vereniging een sc
maatschappij waar de brandverzekering is afgesloten. De verzekeringsmaa
zal dan kijken naar de boekwaarde op het moment van de brand.
De penningmeester van de voetbalclub gebruikt voor de afschri ving method
H j berekent de boekwaarde dus met B = 10 000 – 900t. Maar hij weet dat d
verzekeringsmaatschappij methode III gebruikt. Dus zij berekenen de boekwaar
met B = 10 000 – 1718,18t + 81,82t2. Dat is voor de verzekeringsmaatschappij v
gunstiger. Hun boekwaarde
ze in geval van brand minder uit te betalen. De penningmeester rea
195p