Eindexamen wiskunde A havo 2001 tijdvak 1

opgave 1Opgave 1 Misdrijven

Elk jaar worden in Nederland veel misdrijven gemeld. Deze variëren van het

van een chocoladereep tot het plegen va

Misdrijven worden gemeld bij het Openbaar Ministerie (OM). Het

over de (even

In fig

figuur 1

fietsdiefstal vernieling diefstal overige bedreiging zakkenrollerij mishandeling diefstal uit auto inbraak doorrijden na ongeval 171 135 128 122 111 73 62 51 47 36 per ..... seconden een misdrijf

De getallen langs de horizontale as geven voor elke categorie aan hoeveel seco

er gemiddeld tussen

Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat in 1996 in Nederla

Let op: 1996 was een schrikkeljaar en had dus 3

14p

Toon aan dat er in 1996 ongeveer 670 000 keer een f ets

Als je de staafjes en de getallen in figuur 1 b

van links naar rechts zijn de getallen steeds kleiner;

van links naar rec

23p

aantal misdrijven hoort.

In drie van de 10 categorieën misdrijven komt het woord diefsta voor, nam

’fietsdiefstal’, ’diefstal overige’ en ’diefstal uit auto’.

Je kunt deze drie categorieën samenvoegen tot één (nieu

Je moet dan de drie bijbehorende staafjes vervangen door é

34p

Bij veel gemelde misdrijven is er geen verdachte aangewezen. Is er geen verd

dan komt er ook geen strafzaak

informatie over de manie

!" #$"% "&’( & ) #$"% "’( *"+ , -+ , !+ , %".+ ,

44p

Bereken hoeveel procent van alle 242 100 strafzaken tot een geldboete leidde

Het a

In 1990 werden 50 000 strafzaken met een transactie afgehandeld. In 1996 ware

er al 62 200.

Neem aan dat het

55p

opgave 2Opgave 2 Sporttesten

Bij veel sporten speelt explosieve kracht een belangrijke rol. Denk bijvoorbeeld aan basketbal en tennis. Bij geschiktheidtesten voor dit soort sporten moet de persoon die getest wordt (op commando) vanuit stilstand zo hoog mogelijk springen. Met zo’n verticale sprong meet men de spronghoogte . Een meisje wil graag uitverkozen worden voor de basketbalselectie. Zij moet daarvoor in elk geval een spronghoogte van 60 cm kunnen bereiken. Zij heeft veel geoefend. Soms haalde zij die 60 cm wel, maar meestal niet. Haar spronghoogte is (bij benadering) normaal verdeeld met een gemiddelde van 56 cm en een standaardafwijking van 6 cm.

Bereken in hoeveel procent van haar sprongen de spronghoogte 60 cm of meer is. Met de tabellen hieronder kun je – in twee stappen – bepalen hoeveel punten een bepaalde spronghoogte oplevert voor de geschiktheidtest van een kandidaat: In tabel 1 kun je de score aflezen die spronghoogte h (in cm) oplevert bij een lichaamsgewicht van g (in kg). In tabel 2 zijn de scores (afzonderlijk voor mannen en vrouwen) omgerekend in punten . tabel 1 Scores gewicht g 30 35 40 45 50 55 60 65 sprong- 20 53 60 67 73 80 87 93 100 hoogte 25 67 75 83 92 100 108 117 125 h 30 80 90 100 110 120 130 140 150 35 93 105 117 128 140 152 163 175 40 107 120 133 147 160 173 187 200 45 120 135 150 165 180 195 210 225 50 133 150 167 183 200 217 233 250 55 147 165 183 202 220 238 257 275 60 160 180 200 220 240 260 280 300 65 173 195 217 238 260 282 303 325 70 187 210 233 257 280 303 327 350 75 200 225 250 275 300 325 350 375 80 213 240 267 293 320 347 373 400 85 227 255 283 312 340 368 397 425 90 240 270 300 330 360 390 420 450 95 253 285 317 348 380 412 443 475 100 267 300 333 367 400 433 467 500 Punten tabel 2 Punten Scores Mannen Vrouwen 360 en hoger 220 en hoger 15 342 en hoger 207 en hoger 13,5 324 en hoger 193 en hoger 12 307 en hoger 180 en hoger 10,5 289 en hoger 167 en hoger 9 271 en hoger 153 en hoger 7,5 253 en hoger 140 en hoger 6 236 en hoger 127 en hoger 4,5 218 en hoger 113 en hoger 3 200 en hoger 100 en hoger 1,5 Tabel 1 staat ook op de bijlage.

Geef in de tabel op de bijlage aan bij welke het maximale aantal van 15 punten door mannen

Als je tabel 1 bekijkt, zie je dat de scores per rij en ook per kolom regelmatig oplopen (op afrondingen na). Om dit duidelijker te zien, is een deel van de tabel eruit gehaald. Zie tabel 3. gewicht g tabel 3 30 40 50 sprong- 30 80 100 120 hoogte h 60 160 200 240 90 240 300 360 Ook tabel 3 is op de bijlage afgedrukt. Bovendien zijn er nog een rij voor spronghoogte 120 en een kolom voor gewicht 100 toegevoegd.

Vul in de tabel op de bijlage de acht ontbrekende scores in. Gebruik hierbij de regelmaat in de tabel. We gaan formules bij tabel 3 maken. Bij de rij met h = 30 past een formule als: score = 2( g – 30) + 80 of score = 2 g + 20. Bij de rij met h = 60 past een formule als: score = 4( g – 30) + 160 of score = 4 g + 40.

Stel een formule op die past bij de rij met h = 90 en toon aan dat die formule juist is. Tabel 1 geeft slechts scores voor lichaamsgewichten tot en met 90 kg. Je kunt tabel 1 uitbreiden voor grotere lichaamsgewichten. Een forse basketballer heeft een spronghoogte van 45 cm.Volgens een uitgebreide tabel 1 en tabel 2 krijgt hij daarvoor 15 punten.

Hoeveel kg weegt deze basketballer minstens? Licht je antwoord toe.

opgave 3Opgave 3 De kleurenblinde en de glasbak

Ongeveer een half miljoen Nederlanders is kleurenblind. Een kleurenblinde ziet (bijna) geen verschil tussen (bepaalde) kleuren. Gekleurde flessen zijn groen of bruin. Sommige kleurenblinden zien geen verschil tussen groen en bruin. Zij staan met hun lege flessen voor de glasbak en weten niet of ze een gekleurde fles in het gat voor groen glas of in het gat voor bruin glas moeten gooien. tekening Peter is kleurenblind. Hij kan de groene en de bruine flessen niet van elkaar onderscheiden.Als Peter met zijn lege flessen bij de glasbak komt, gooit hij de witte flessen altijd in het juiste gat. Bij een gekleurde fles kiest hij aselect tussen het gat voor groen en het gat voor bruin. De kans dat een groene of bruine fles in het goede gat terechtkomt is dus 0,5. Het kan gebeuren dat Peter alle gekleurde flessen toevallig in het goede gat gooit. Hij denkt: „Hoe meer gekleurde flessen ik heb, hoe kleiner de kans dat ik alle gekleurde flessen in het goede gat gooi.”

Laat met een getallenvoorbeeld zien dat deze gedachte juist is. Peter brengt 100 lege flessen naar de glasbak. De helft van zijn flessen is van wit glas. Bij de andere helft zijn zowel groene als bruine flessen.

Laat zien dat naar verwachting 75 van de 100 flessen in het goede gat terechtkomen.

Uit vraag 12 volgt: de kans dat een fles in het goede gat terechtkomt is 75% als Peter de witte flessen altijd goed gooit en bij elke gekleurde fles aselect kiest tussen het gat voor groen en het gat voor bruin. Uit onderzoek is gebleken dat van de flessen in de glasbak 50% wit, 40% groen en 10% bruin is. Neem aan dat dit ook voor de flessen van Peter geldt. Je kunt het gooien van de flessen in de glasbak weergeven met een boomdiagram. Zie figuur 3 figuur 3. wit Peter kan de kans dat hij een fles in het goede gat gooit, hoger krijgen dan 75%. Hij gooit de witte flessen allemaal in het goede gat. Hij concludeert uit het onderzoek dat van de gekleurde flessen 4/5 deel groen en 1/5 deel bruin is. In die verhouding gaat hij de gekleurde flessen in de gaten gooien. Elke gekleurde fles heeft dan kans 4/5 om in het komen. gat voor groen terecht te komen en kans 1/5 om in het gat voor bruin terecht te

Bereken voor deze werkwijze de kans dat een willekeurige fles in het goede gat terechtkomt. Er bestaan nog betere werkwijzen voor Peter. In zo’n werkwijze is de kans dus nog groter dat een fles in het goede gat terechtkomt.

Geef een voorbeeld van zo’n werkwijze en toon aan dat deze beter is.

opgave 4Opgave 4 De klokjesgentiaan

De klokjesgentiaan (zie foto) kwam vroeger veel voor op vochtige heidegebieden. Het is een meerjarig, zaaddragend plantje. Uit het zaad ontstaan in het voorjaar kiemplantjes. foto Tijdens de ontwikkeling van het plantje onderscheiden we drie fasen: kiemplantje (fase K), niet-bloeiend plantje (fase N) en bloeiend plantje (fase B). We laten het zaad (en de zaadverspreiding) buiten beschouwing; er ontstaan dus geen nieuwe kiemplantjes. In een proefveld is onderzoek gedaan naar de ontwikkeling van deze plantjes. De volgende matrix geeft een redelijk goede beschrijving van de jaarlijkse ontwikkeling. van matrix K N B K ( 0 0 0 ) naar N / 0,06 0 0 / B 0,48 0,5 0,91 Zo lees je bijvoorbeeld af dat 48% van de kiemplantjes een jaar later bloeiende plantjes zijn geworden. In het voorjaar van 1996 zijn 1000 kiemplantjes in het proefveld uitgezet.

Leg uit dat er volgens het matrixmodel na enkele jaren alleen nog maar bloeiende plantjes zijn.

Bereken met dit matrixmodel in welk jaar het aantal bloeiende plantjes voor het eerst kleiner is dan 175.

In 2002 worden op een proefveld 71 kiemplantjes uitgezet. Met behulp van de matrix kan worden berekend dat er een jaar later 4 plantjes in fase N en 34 plantjes in fase B zijn. De overige 33 plantjes zijn doodgegaan. Deze getallen zijn al ingevuld in het schema op de bijlage. Uitgaande van die aantallen 4 en 34 kan met behulp van de matrix de situatie in 2004 en verder worden berekend. Bij die berekeningen worden de aantallen elk jaar op gehelen afgerond en wordt met die afgeronde getallen verder gerekend.