opgave 1Duikeend
Op het IJsselmeer overwinteren grote groepen duikeenden. Ze leven van mosselen die daar
veel op de bodem voorkomen.
Duikeenden slikken hun mosselen met schelp en al in. Bij elke duik slikt de eend behalve
een mossel dus ook onverteerbaar schelpmateriaal en water in, alles bij elkaar ongeveer
6 gram. Zo’n hap bevat maar 5% mosselvlees. De dagelijkse behoefte van een duikeend is
ongeveer 120 gram mosselvlees.
13p
Hoe vaak moet een eend duiken om zijn dagelijkse portie mosselvlees binnen te krijgen?
Licht je antwoord toe.
Het gedrag van duikeenden is volledig gericht op het verzamelen van voedsel. Alle
voedingsstoffen en energie die ze nodig hebben, halen ze uit de mosselen.
De energiehuishouding van een duikeend is ingewikkeld. Aan de ene kant moeten de
mosselen de benodigde energie leveren, aan de andere kant kost het opduiken en verteren
van mosselen energie.
Ook als een eend op een dag niet naar mosselen zou duiken, gebruikt hij een vaste
hoeveelheid energie voor zijn basisstofwisseling en het vliegen, samen ongeveer 850 kJ.
In figuur 1 is te zien dat de totale hoeveelheid energie die een duikeend gebruikt,
afhankelijk is van het aantal uren dat hij naar mosselen duikt.
figuur 1
Als een eend op een dag bijvoorbeeld 5 uur lang naar mosselen duikt, gebruikt hij die dag
in totaal bijna 2000 kJ. Dat is de vaste hoeveelheid van 850 kJ, met daarbij opgeteld een
hoeveelheid die afhankelijk is van het aantal uren dat de eend naar mosselen duikt: voor het
duiken zélf en voor het verteren van de opgedoken koude mosselen daarna.
24p
Hoeveel energie gebruikt een duikeend per uur duiken voor alleen het verteren van de
mosselen? Licht je antwoord toe.
Dicht aan de kust zitten de mosselen van hoge kwaliteit, met veel vlees. Halverwege de
winter hebben de duikeenden al die mosselen opgegeten. Ze moeten dan verder het
IJsselmeer op, waar het water dieper is en waar de mosselen minder vlezig zijn. Per duik
krijgen ze dan minder mosselvlees binnen.
Figuur 1 gaat over de energie die een duikeend gebruikt. Figuur 2 gaat ook over de energie
die een duikeend opneemt uit de mosselen. Figuur 2 staat vergroot op de bijlage.
figuur 2
De getrokken lijn in figuur 2 is overgenomen uit figuur 1 en geeft het totale energiegebruik
aan. De stippellijn geeft de energieopname uit mosselen van hoge kwaliteit aan.
Om aan zijn dagelijkse energiebehoefte te voldoen, moet een eend naar mosselen duiken.
Door dat duiken neemt zijn energiebehoefte toe. Na een aantal uur duiken (bij het snijpunt
van de lijnen) is er evenwicht: er wordt evenveel energie opgenomen als er wordt gebruikt.
De eend moet dus ongeveer 3 uur duiken om aan zijn energiebehoefte te voldoen.
In het tweede deel van de winter verandert dat. De mosselen van lage kwaliteit die de
eenden dan opduiken, leveren minder energie. Eén uur duiken levert dan geen 500 kJ op,
zoals bij mosselen van hoge kwaliteit, maar slechts 350 kJ.
35p
Onderzoek met behulp van de figuur op de bijlage hoeveel uur de eenden moeten duiken
naar mosselen van lage kwaliteit om volledig in hun energiebehoefte te voorzien.
Met behulp van radar is gemeten hoe ver de eenden vliegen naar hun voedselplaatsen.
Voor de maanden november tot en met januari staan die vliegafstanden in figuur 3. Elke
staaf geeft voor een bepaalde afstand het percentage eenden aan dat die afstand heeft
afgelegd om bij de voedselplaats te komen. Voor de maanden februari tot en met april staan
de gegevens in tabel 1.
46p
Bereken het verschil tussen de gemiddelde afstand van de vluchten van november tot en met
januari en de gemiddelde afstand van de vluchten van februari tot en met april.
opgave 2Vaders en zonen
De Engelsman Karl Pearson was een van de grondleggers van de moderne statistiek. Hij
heeft zich vaak bezig gehouden met statistiek over biologische onderwerpen. Ongeveer een
eeuw geleden onderzocht hij, samen met zijn collega Alice Lee, of in Engeland zonen
gemiddeld langer zijn dan hun vaders. Zij vergeleken de lengtes van 1064 zonen en hun
vaders. De zonen studeerden allen aan een Londense universiteit.
52p
Is hier sprake van een aselecte steekproef? Licht je antwoord toe.
In figuur 4, die ook op de bijlage staat, zie je een overzicht van de resultaten. Elke stip stelt
één vader-zoon-paar voor. De lengte van de vader staat op de horizontale as, de lengte van
de zoon op de verticale as. De lengtes zijn gegeven in inches (1 inch = 2,54 cm).
figuur 4
In de figuur is een lijn getekend. Als een stip op deze lijn ligt, dan zijn de vader en de zoon
precies even lang.
We noemen een vader en zijn zoon ongeveer even lang als ze minder dan 2 inch in lengte
verschillen.
64p
Teken in de figuur op de bijlage het gebied waarin de punten liggen die horen bij vaders en
zonen die ongeveer even lang zijn. Licht je werkwijze toe.
73p
Kun je met behulp van het in vraag 6 getekende gebied concluderen dat de zonen gemiddeld
langer zijn dan hun vaders? Licht je antwoord toe.
In figuur 5 zie je een boxplot van de lengtes van de 1064 vaders. De vijf kenmerkende
getallen van de boxplot staan erbij. Deze figuur staat ook op de bijlage.
Op de bijlage vind je ook een lijst met de lengtes van alle 1064 zonen. De getallen in deze
lijst staan op volgorde van grootte. Na iedere 10 getallen staat een streepje. Na iedere
50 getallen staat bij het streepje hoeveel getallen er tot daar staan.
85p
Teken de boxplot van de lengtes van de zonen in de figuur op de bijlage boven de boxplot
van de vaders. Schrijf de vijf kenmerkende getallen van de boxplot erbij.
Het onderzoek dat bovenstaande getallen opleverde, is ongeveer honderd jaar geleden
gedaan. In die tijd hadden jonge mannen een gemiddelde lengte van 68,6 inch. Dat is niet
zo groot want 68,6 inch is maar 174 cm (1 inch = 2,54 cm).
Tegenwoordig is de helft van de jonge mannen langer dan 182 cm.
Honderd jaar geleden was veel minder dan de helft van de jonge mannen zo lang. De lengte
was toen normaal verdeeld met een gemiddelde van 68,6 inch en een standaardafwijking
van 2,7 inch.
95p
Bereken hoeveel procent van de jonge mannen in die tijd langer was dan 182 cm.
opgave 4Vlippo’s
Om de verkoop van zijn knabbelchips te bevorderen is een chipsfabrikant een reclameactie
gestart waarbij in elke zak één vlippo wordt gestopt. Dat is een plastic schijfje waar een
leuk plaatje op staat. Er worden verschillende vlippo’s voor deze actie gebruikt. Sommige
mensen proberen al deze vlippo’s te verzamelen. De kans dat je een bepaalde vlippo in een
zak knabbelchips aantreft, is voor alle verschillende vlippo’s even groot.
We gaan eerst uit van de situatie waarin de fabrikant maar twee verschillende vlippo’s
gebruikt. Een vlippoverzamelaar heeft vier zakken knabbelchips gekocht.
144p
Bereken de kans dat de vlippo’s in deze vier zakken allemaal hetzelfde zijn.
154p
Bereken de kans dat de vlippoverzamelaar pas bij het openen van de derde zak de twee
verschillende vlippo’s te pakken heeft.
We bekijken nu de situatie waarin de chipsfabrikant vijf verschillende vlippo’s gebruikt.
Een vlippoverzamelaar beweert dat hij dan maar vijf zakken knabbelchips hoeft te kopen
om de vijf verschillende vlippo’s daarin aan te treffen.
Zijn vriend is het daar niet mee eens. De eerste zak levert natuurlijk altijd een vlippo op die
je nog niet hebt, maar de kans dat er in de tweede zak ook een vlippo zit die je nog niet
hebt, is maar
. En daarna wordt de kans steeds kleiner.
164p
Bereken met behulp van bovenstaande redenering de kans dat je in vijf zakken de vijf
verschillende vlippo’s aantreft.
We bekijken nog een voorbeeld.
Als er in totaal 8 verschillende vlippo’s zijn, dan zou het natuurlijk leuk zijn als je die alle 8
hebt na het kopen van precies 8 zakken knabbelchips.
De kans dat zoiets gebeurt, is klein.
Wiskundigen hebben uitgerekend dat de kans daarop is:
0,002.
Er is ook een formule voor het algemene geval.
Er zijn dan n verschillende vlippo’s.
De kans P dat je die alle n hebt na het kopen van precies n zakken knabbelchips wordt
gegeven door de formule:
P 
Hoe groter het aantal verschillende vlippo’s n wordt, hoe kleiner die kans P.
De chipsfabrikant wil wel zo veel mogelijk verschillende vlippo’s, maar hij zorgt er voor
dat de kans P groter is dan 0,00001.
174p
Hoeveel verschillende vlippo’s kan de chipsfabrikant dan maximaal gebruiken? Licht je
antwoord toe.
opgave 5Bonus-malusladder
Iedereen die in Nederland een auto heeft, is verplicht die te verzekeren.
Verzekeringsmaatschappijen letten bij het vaststellen van de hoogte van de
verzekeringspremie onder andere op de nieuwprijs van de auto. Hiermee stellen ze de
basispremie voor de verzekering vast.
De basispremie is hoog, maar kan snel dalen wanneer de verzekeringsmaatschappij voor jou
geen schades hoeft te betalen. Je krijgt dan het volgende jaar als beloning een korting op je
premie, een bonus. Wanneer je de verzekeringsmaatschappij wel een schade laat betalen
wordt je premie het volgende jaar verhoogd met een boete, een malus.
In figuur 7 zie je hoe een verzekeringsmaatschappij dit systeem gebruikt om de premies
vast te stellen. We noemen zo’n figuur een bonus-malusladder.
In de figuur staan vier grafieken. De onderste grafiek hoort bij een autobezitter voor wie de
verzekeringsmaatschappij nooit een schade heeft betaald. Iedereen begint op deze grafiek.
Elke keer dat je een schade door de verzekeringsmaatschappij laat betalen, maakt je premie
in het volgende verzekeringsjaar een sprong naar de grafiek erboven. Je ziet hier dat iemand
die twee schades heeft laten betalen, in zijn 14e verzekeringsjaar 65% van de basispremie
betaalt.
Bonus-malusladderKarin heeft altijd zonder schade gereden maar veroorzaakt in het zevende verzekeringsjaar
een aanrijding waarvoor zij haar verzekeringsmaatschappij de schade laat betalen. Daarom
volgt zij vanaf haar achtste verzekeringsjaar grafiek 1. Haar basispremie is 710 euro.
183p
Hoeveel premie moet Karin in haar achtste verzekeringsjaar méér betalen dan in haar
zevende? Licht je antwoord toe.
Albert is al zes jaar verzekerd bij de maatschappij van figuur 7. Zijn basispremie is 800
euro. De verzekeringsmaatschappij heeft in het vierde jaar voor Albert een schade betaald.
193p
Bereken de gemiddelde jaarlijkse verzekeringspremie die Albert in deze periode van zes
jaar betaald heeft.
Sinds zij haar auto verzekerd heeft, heeft Mirjam nog nooit een schade gehad. In het 13e
verzekeringsjaar veroorzaakt zij een schade van 320 euro. Haar basispremie is 700 euro. Zij
moet kiezen uit twee mogelijkheden:
I ze betaalt de schade zelf en houdt nul schades bij de verzekering;
II ze laat de verzekeringsmaatschappij de schade betalen en accepteert de hogere
premie.
Ze gaat ervan uit dat zij de eerstvolgende vijf jaar geen schade zal hebben. Ze wil zo weinig
mogelijk geld uitgeven.
205p
Adviseer je haar I of II? Licht je antwoord toe.
Je wilt een verzekering voor je auto afsluiten. Je vraagt bij verschillende maatschappijen
een overzicht van hun premies bij het rijden zonder schade. Eén van de maatschappijen
berekent voor jou een basispremie van 600 euro en geeft je een tabel met zogeheten
cumulatieve premies. Zie tabel 2. In de tabel lees je bijvoorbeeld af dat je voor een
verzekeringsperiode van 2 jaar in totaal 1050 euro premie moet betalen. Voor 3 jaar kost
het je in totaal 1410 euro, enzovoort.
Cumulatieve premie in euro bij het rijden zonder schadeverzekeringsjaar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
cumulatieve premie
600
1050
1410
1710
1950
2130
2250
2370
2490
2610
Om deze verzekering met andere te kunnen vergelijken is het handig om met behulp van de
gegevens van tabel 2 een grafiek te maken zoals de onderste grafiek in figuur 7.
214p
Teken deze grafiek in de figuur op de bijlage. Licht je werkwijze toe.
november tot en met januari 
