bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2008, tijdvak 1 (wiskunde A1,2)

opgave 1Suikerbieten

Een fabriek verwerkt alle geoogste suikerbieten uit de omgeving tot suiker. Voor
het plannen van de productie wil de fabriek graag een goede schatting hebben
van de oogst aan suikerbieten.
De oogst blijkt vooral afhankelijk te zijn van de totale hoeveelheid neerslag in de
maanden april tot en met september. Bij erg veel of erg weinig neerslag in deze
maanden is de oogst kleiner.
In figuur 1 zie je gegevens over neerslag en oogst in de periode 1997 tot en met
2004. In deze periode bleef het totale oppervlak dat gebruikt werd voor de
verbouw van suikerbieten ongewijzigd.
figuur 1
350.000 300.000 22000033 11999999 22000022 250.000 22000044 200.000 11999988 22000000 150.000 100.000 11999977 22000011 50.000 O 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 N (mm)
In de figuur is N de totale hoeveelheid neerslag in de maanden april tot en met
september en S de omvang van de suikerbietenoogst.
De neerslag N is in millimeter, de omvang van de suikerbietenoogst S is in ton
(1 ton = 1000 kg).
Je kunt in de figuur bijvoorbeeld aflezen dat in het jaar 1997 in de maanden april
tot en met september bijna 200 mm neerslag viel en dat er in dat jaar 90 000 ton
suikerbieten werd geoogst.
In de periode april tot en met september 2004 viel er meer neerslag dan in die
periode in 2003.
13p
Bereken hoeveel procent meer neerslag er viel.
23p
Bereken de omvang van de gemiddelde oogst in de periode 1997 tot en met
2004.
Er blijkt bij benadering een kwadratisch verband te bestaan tussen S en N. Je
kunt dat ook in figuur 2 zien: de punten liggen bij benadering op een parabool.
figuur 2
350.000 300.000 22000033 11999999 22000022 250.000 22000044 200.000 11999988 22000000 150.000 100.000 11999977 22000011 50.000 O 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 N (mm)
Het verband wordt gegeven door de formule:
S = −39,5N2 + 9450N − 245000
Als de oogst groter is dan 150 000 ton, moet de fabriek uitzendkrachten inhuren.
34p
Bereken met behulp van de formule hoeveel millimeter neerslag er dan gevallen
moet zijn.
Op grond van de formule kun je voorspellen wanneer de oogst maximaal is.
45p
Stel de afgeleide van S op en bereken met behulp van die afgeleide bij welke
hoeveelheid neerslag de oogst maximaal is.

opgave 2Citotoets

Veel kinderen maken in het laatste jaar van de basisschool de Citotoets. De
uitslag wordt gebruikt bij de keuze voor het type voortgezet onderwijs.
Iedere deelnemer krijgt een overzicht van de scores op de toets. In figuur 3 zie
je het overzicht van Kim en haar uiteindelijke ‘Standaardscore’.
figuur 3
Resultaten Taal Rekenen- Studievaar- Wereld- Totaal Standaardscore
Wiskunde digheden Aantal opgaven 100 60 40 90 290 Aantal goed 73 48 23 52 196 536 Percentielscore 54 59 27 21 38
De standaardscore is gebaseerd op drie van de vier categorieën, namelijk Taal,
Rekenen-Wiskunde en Studievaardigheden (in totaal 200 opgaven).
Er is een lineair verband tussen het totaal aantal goed beantwoorde opgaven
van deze drie categorieën en de standaardscore. Bij 0 opgaven goed is de
standaardscore 500, bij alle 200 opgaven goed is de standaardscore 550.
Zoals je ziet in figuur 3 had Kim 144 opgaven goed in de eerste drie categorieën
(73 + 48 + 23), wat haar een standaardscore van 536 opleverde.
De standaardscore wordt afgerond op een geheel getal.
Tarik heeft bij Taal 79 opgaven goed, bij Rekenen-Wiskunde 51 en bij
Studievaardigheden 27.
54p
Bereken de standaardscore van Tarik.
Arno heeft in de categorie Rekenen-Wiskunde 52 opgaven goed beantwoord en
in de categorie Studievaardigheden 33. Zijn standaardscore is daarmee 541.
Er zijn verschillende scores in de categorie Taal mogelijk, waarbij Arno’s
standaardscore afgerond wordt op 541.
65p
Geef alle mogelijke scores die Arno in de categorie Taal kan hebben gehad.
Licht je antwoord toe.
Ga er in de volgende twee vragen van uit dat de scores voor elke categorie bij
benadering normaal verdeeld zijn.
In de Citotoets van 2004 zaten 100 opgaven in de categorie Taal. Kim had er
daarvan 73 goed. In figuur 3 staat dat haar percentielscore 54 is. Deze
percentielscore van 54 betekent dat 54% van álle kinderen 73 opgaven of
minder goed had.
Van de Citotoets van 2004 is bekend dat in de categorie Studievaardigheden
het aantal goed beantwoorde opgaven gemiddeld 27,6 was met een
standaardafwijking van 6,6. Anneke had in deze categorie 21 opgaven goed.
74p
Bereken de percentielscore van Anneke.
Kim had 48 opgaven goed in de categorie Rekenen-Wiskunde. Dat gaf een
percentielscore van 59.
Voor Rekenen-Wiskunde was de standaardafwijking 8,4.
84p
Bereken het gemiddelde aantal goed beantwoorde opgaven bij Rekenen-
Wiskunde. Rond je antwoord af op een geheel getal.
In figuur 4 zie je de cumulatieve frequentiepolygoon van de standaardscore op
de Citotoets van 2004. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 4
100 cumulatief percentage 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 500 505 510 515 520 525 530 535 540 545 550 standaardscore
95puitwerkbijlage
Teken op de uitwerkbijlage met behulp van figuur 4 een boxplot van de
standaardscores op de Citotoets van 2004. Op de uitwerkbijlage staat al een
schaalverdeling voor je boxplot.

opgave 3Olie

Er wordt door mensen veel olie verbruikt. Gelukkig wordt er nog regelmatig nieuwe olie gevonden, maar ooit zal de olie opraken. Onder de reserves verstaan we de hoeveelheid olie die naar schatting nog uit de grond gehaald kan worden. Onder de consumptie verstaan we de hoeveelheid olie die echt…

Er wordt door mensen veel olie verbruikt. Gelukkig wordt er nog regelmatig nieuwe olie gevonden, maar ooit zal de olie opraken. Onder de reserves verstaan we de hoeveelheid olie die naar schatting nog uit de grond gehaald kan worden. Onder de consumptie verstaan we de hoeveelheid olie die echt gebruikt wordt. Hoeveelheden olie worden uitgedrukt in vaten. Eén vat bevat 159 liter olie. In 2003 was de olieconsumptie in de Verenigde Staten 20 071 000 vaten per dag. In 2003 had de Verenigde Staten ongeveer 293 miljoen inwoners.

Bereken de olieconsumptie in de Verenigde Staten in 2003 in liter per inwoner per dag. Aan het eind van 2003 waren de reserves in de hele wereld 1147,7 miljard vaten. Als de wereldconsumptie per dag steeds gelijk zou blijven aan die van 2003, dan zouden deze reserves 41 jaar later helemaal…

Bereken de olieconsumptie in de Verenigde Staten in 2003 in liter per inwoner per dag. Aan het eind van 2003 waren de reserves in de hele wereld 1147,7 miljard vaten. Als de wereldconsumptie per dag steeds gelijk zou blijven aan die van 2003, dan zouden deze reserves 41 jaar later helemaal verbruikt zijn: er is dan geen olie meer.

Bereken hoeveel vaten olie er per dag in de wereld geconsumeerd werden in 2003. Geef je antwoord in miljoenen. De grootte van de reserves verandert voortdurend, omdat er enerzijds olie vanaf gaat voor de consumptie en er anderzijds nog steeds nieuwe olievelden worden gevonden. Oliemaatschappijen…

Bereken hoeveel vaten olie er per dag in de wereld geconsumeerd werden in 2003. Geef je antwoord in miljoenen. De grootte van de reserves verandert voortdurend, omdat er enerzijds olie vanaf gaat voor de consumptie en er anderzijds nog steeds nieuwe olievelden worden gevonden. Oliemaatschappijen letten daarom op de zogenaamde R/C-ratio, ofwel de verhouding tussen de reserves (R) en de consumptie (C) per jaar. Figuur 5 geeft voor een aantal jaren zowel de R/C-ratio (in jaren, linkeras) als de consumptie (in duizenden vaten per dag, rechteras). figuur 5 0 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 Legenda: R/C-ratio consumptie In figuur 5 is te zien dat in de periode 1999-2003 de R/C-ratio ongeveer gelijk is gebleven.

Zijn de reserves in deze periode toegenomen of afgenomen? Verklaar je antwoord.
De consumptie van olie is niet op het niveau van 2003 gebleven. Eind 2003 heeft men geprobeerd voorspellingen te doen over het tijdstip waarop er geen olie meer is. Er zijn toen twee situaties vergeleken: één waarin de consumptie lineair toeneemt, en één waarin de consumptie exponentieel toeneemt.…

De consumptie van olie is niet op het niveau van 2003 gebleven. Eind 2003 heeft men geprobeerd voorspellingen te doen over het tijdstip waarop er geen olie meer is. Er zijn toen twee situaties vergeleken: één waarin de consumptie lineair toeneemt, en één waarin de consumptie exponentieel toeneemt. Lineaire toename van de consumptie De olieconsumptie in de hele wereld in het jaar 2003 bedroeg 28,02 miljard vaten. Dat was 0,54 miljard vaten meer dan in 2002. Neem aan dat er vanaf 2003 elk jaar 0,54 miljard vaten méér worden geconsumeerd, ofwel de jaarlijkse consumptie neemt lineair toe. Met de volgende formule is dan de cumulatieve olieconsumptie vanaf 2004 TC lin (in miljarden vaten) te berekenen. TC lin = 28,29 n + 0,27 n 2 met n = 1 in 2004, n = 2 in 2005, enzovoort. Je kunt dus, door n = 3 in te vullen in deze formule, berekenen dat er in de jaren 2004, 2005 en 2006 samen 87,3 miljard vaten zijn geconsumeerd. We nemen aan dat er geen nieuwe reserves meer worden gevonden. We moeten het dus doen met de 1147,7 miljard vaten aan oliereserves die we eind 2003 nog hadden.

Bereken hoeveel jaar na 2003 de reserves helemaal verbruikt zijn. Exponentiële toename van de consumptie In de jaren vóór 2003 steeg de jaarlijkse olieconsumptie in China nagenoeg exponentieel. De Chinese regering verwachtte dat de olieconsumptie exponentieel zou blijven toenemen en in de volgende…

Bereken hoeveel jaar na 2003 de reserves helemaal verbruikt zijn. Exponentiële toename van de consumptie In de jaren vóór 2003 steeg de jaarlijkse olieconsumptie in China nagenoeg exponentieel. De Chinese regering verwachtte dat de olieconsumptie exponentieel zou blijven toenemen en in de volgende 10 jaar zou verdubbelen van 6,1 miljoen vaten per dag naar 12,2 miljoen vaten per dag.

Bereken met hoeveel procent per jaar de jaarlijkse olieconsumptie dan toeneemt. Het was niet zo vreemd om te veronderstellen dat in de hele wereld de jaarlijkse olieconsumptie na 2003 exponentieel zou toenemen. De consumptie was 28,02 miljard vaten in het jaar 2003. Dit was 1,97% hoger dan in 2002.…

Bereken met hoeveel procent per jaar de jaarlijkse olieconsumptie dan toeneemt. Het was niet zo vreemd om te veronderstellen dat in de hele wereld de jaarlijkse olieconsumptie na 2003 exponentieel zou toenemen. De consumptie was 28,02 miljard vaten in het jaar 2003. Dit was 1,97% hoger dan in 2002. Neem aan dat de olieconsumptie vanaf 2003 elk jaar met 1,97% toeneemt. Met de volgende formule is dan de cumulatieve olieconsumptie vanaf 2004 TC exp (in miljarden vaten) te berekenen. TC exp = 1450,43 ⋅ (1,0197 n – 1) met n = 1 in 2004, n = 2 in 2005, enzovoort. We weten al dat eind 2003 de reserves 1147,7 miljard vaten waren. We nemen aan dat na 2003 ieder jaar 15,8 miljard vaten worden toegevoegd aan de reserves.

Bereken hoeveel jaar na 2003 de reserves helemaal verbruikt zijn.

opgave 4Niemand ontkomt aan de bril

Ruim de helft van alle Nederlanders heeft een bril of contactlenzen. Het gebruik
neemt nog steeds toe, want de bevolking vergrijst en boven de 60 jaar heeft
bijna iedereen een bril of contactlenzen.
In figuur 6 zie je per leeftijdscategorie het percentage brildragers en het
percentage contactlensdragers. In de figuur zijn de klassenmiddens vermeld.
Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat 15,8% van de mensen uit de leeftijdscategorie
10 tot 20 jaar (klassenmidden 15) een bril draagt en 7,5% contactlenzen.
figuur 6
brillen en contactlenzen naar leeftijdscategorie
98,4 99,8 100 95,8 Legenda: 92,5 percentage bril 90 lenzen 80 70 60 50 53,3 40 30 25,8 29,2 20 15,8 10 15,0 13,3 4,8 3,3 7,5 10,0 2,5 1,6 0,2 0 0,05 15 25 35 45 55 65 75 85 leeftijd in jaren
Bril en contactlenzen worden ook wel gezichtshulpmiddelen genoemd.
In deze opgave gaan we ervan uit dat er geen mensen zijn die zowel een bril als
contactlenzen dragen. Verder nemen we aan dat als je eenmaal een
gezichtshulpmiddel gebruikt, je dat voor de rest van je leven gebruikt. Er zijn wel
mensen die overstappen van een bril naar contactlenzen en omgekeerd. Tot slot
gaan we ervan uit dat de percentages die bij de leeftijdscategorieën horen door
de jaren heen niet veranderen.
De leeftijdscategorie ‘30 tot 40 jaar’ bevat ongeveer even veel mensen als de
leeftijdscateforie ‘40 tot 50 jaar’.
163p
Toon aan dat 20,8% van de mensen tussen de 40 en 50 jaar voor het eerst
gebruik gaat maken van een gezichtshulpmiddel.
In figuur 7 staat de leeftijdsopbouw van de totale Nederlandse bevolking in
2005.
figuur 7
Nederlandse bevolking, per 1 januari 2005
in leeftijd jaren 80-90 70-80 60-70 50-60 40-50 30-40 20-30 10-20 0-10 >90 0 77.639 500.000 495.934 1.000.000 1.037.591 1.500.000 1.501.599 2.000.000 1.962.279 1.989.415 1.998.542 2.227.579 2.500.000 2.509.444 2.505.504 3.000.000
175p
Bereken met behulp van figuur 6 en figuur 7 hoeveel méér mensen met een
gezichtshulpmiddel er zijn in de leeftijdscategorie ‘30 tot 40 jaar’ dan in de
leeftijdscategorie ‘20 tot 30 jaar’. Rond je antwoord af op een honderdtal.
De schoolartsen in Nederland controleren alle 14-jarige scholieren op hun
gezondheid. Ze controleren ook de ogen van de scholieren. Van de scholieren
die op dat moment nog geen gezichtshulpmiddel hebben, ziet 5% zo slecht dat
bril of contactlenzen nodig zijn.
Er worden 50 leerlingen van 14 jaar oud willekeurig aangewezen die naar de
schoolarts moeten. Ze hebben allemaal nog geen gezichtshulpmiddel.
183p
Bereken de kans dat geen van die 50 leerlingen een gezichtshulpmiddel nodig
heeft.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
Figuur 8 komt je misschien bekend voor. Het is een poster met een eenvoudige
ogentest. Elke rij heeft vijf of zes cirkels met één opening.
Als je omlaag gaat, worden de cirkels steeds kleiner.
Bij de ogentest sta je op 5 meter afstand van de poster. Je kijkt met één oog. De
arts wijst steeds een cirkel aan en jij moet zeggen waar de opening zit: boven,
onder, links of rechts.
Hoe lager de rij die je nog kunt ‘lezen’, hoe beter je oog.
figuur 8
figuur 8
figuur 8
In elke cirkel kan de opening dus boven, onder, links of rechts zitten.
Het is niet nodig dat alle mogelijke openingen in één rij voorkomen. Dus een rij
met bijvoorbeeld alle zes openingen boven mag ook.
193p
Bereken hoeveel verschillende rijen van zes cirkels mogelijk zijn.
We bekijken rijen van zes cirkels, waarbij vier cirkels de opening boven en twee
cirkels de opening rechts hebben.
203p
Bereken hoeveel van zulke rijen er mogelijk zijn.
Bram doet de ogentest. De arts gaat als volgt te werk: hij wijst eerst een cirkel in
de bovenste rij aan en vraagt waar de opening zit. Wanneer Bram het juiste
antwoord geeft, gaat hij een rij lager.
Bram ziet heel slecht en kan de bovenste rij cirkels al niet ‘lezen’. Hij gokt
daarom steeds waar de opening zit.
214p
Bereken de kans dat Bram pas in de vijfde rij in de fout gaat.