bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2011, tijdvak 1

opgave 1Zuinig rijden

Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij
foto
foto
20 km per uur van de eerste naar de tweede
versnelling te schakelen.
Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde
versnelling, bij 60 km per uur naar de vierde en
ten slotte rond de 90 km per uur naar de vijfde.
Iedere versnelling heeft een ideale snelheid.
Maar is dat ook de zuinigste snelheid?
Om dit te onderzoeken heeft men met dezelfde
auto steeds met andere snelheden en in een
andere versnelling telkens hetzelfde traject afgelegd en daarbij steeds de
literafstand L (de afstand die je met 1 liter benzine kunt afleggen) gemeten.
Een deel van de resultaten staat in tabel 1.
tabel 1
literafstand bij 80 km per uur uur     versnelling 3 4 5 literafstand L (km) 16,92 19,63 21,68
In tabel 1 kun je zien dat je bij 80 km per uur het beste in de vijfde versnelling
kunt rijden, omdat je dan 21,68 km kunt afleggen met 1 liter benzine.
Je rijdt op dit traject met een snelheid van 80 km per uur. Je begint met een
volle tank van 35 liter benzine en je rijdt die tank helemaal leeg.
13p
Bereken hoeveel km je in de vijfde versnelling meer kunt afleggen dan in de
vierde versnelling.
In tabel 2 staat de literafstand L voor verschillende snelheden in de vijfde
versnelling.
tabel 2
literafstand in de vijfde versnelling           snelheid v (km per uur) 40 50 60 70 80 90 literafstand L (km) 29,03 27,19 25,35 23,51 21,68 19,84
Je legt in de vijfde versnelling een traject van 300 km af. Als je 80 km per uur
rijdt, heb je deze afstand sneller afgelegd dan wanneer je 60 km per uur rijdt.
Maar je verbruikt wel meer benzine.
23p
Bereken hoeveel liter benzine je dan meer verbruikt.
De resultaten van het onderzoek zijn in de figuur grafisch weergegeven.
figuur
liter- 30 afstand 29 L (in km) 28 27 55ee vveerrssnneelllliinngg 26 44ee vveerrssnneelllliinngg 25 24 23 33ee vveerrssnneelllliinngg 22 21 20 19 18 17 16 15 14 0 0 40 50 60 70 80 90 snelheid v (in km/uur)
In de figuur kun je voor de derde, vierde en de vijfde versnelling bij iedere
snelheid de literafstand aflezen. De figuur bestaat uit drie evenwijdige rechte
lijnen. De figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
Je rijdt 70 km per uur in de vierde versnelling.
33puitwerkbijlage
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage met welke snelheid je in
de derde versnelling kunt rijden bij dezelfde literafstand. Licht je werkwijze toe.
Voor de vierde en de vijfde versnelling worden deze lineaire verbanden
beschreven door de formules:
Lvierdeversnelling = −0,1838 ⋅ v + 34,33
Lvijfdeversnelling = −0,1838 ⋅ v + 36,38
Hierin is L de literafstand in km en v de snelheid in km per uur.
De formule voor de literafstand in de derde versnelling Lderdeversnelling ontbreekt in
het bovenstaande.
44p
Stel op basis van bovenstaande gegevens deze formule op.
Als je wilt weten met welke snelheid je mag rijden in de vijfde versnelling om een
bepaalde literafstand te halen, is het handig het gegeven verband tussen de
literafstand en de snelheid te schrijven in de vorm:
v = a ⋅ Lvijfdeversnelling + b
54p
Leid uit het gegeven verband tussen Lvijfdeversnelling en v een formule van
bovenstaande vorm af. Rond a en b af op één decimaal.

opgave 2De grootste taart

Omdat je winnaar van een wedstrijd bent, krijg je één voor één in willekeurige
volgorde een aantal taarten van verschillende grootte te zien. Je weet van
tevoren hoeveel taarten er getoond zullen worden, maar je hebt geen idee hoe
groot de taarten zijn.
Direct na elke taart moet je zeggen of je deze wilt of niet, maar je mag maar één
keer ja zeggen. Het gaat erom dat je de grootste van alle taarten probeert te
kiezen.
De vraag is: wat is de beste strategie om de grootste taart te bemachtigen?
afbeelding
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
Vijf taarten
We bekijken een situatie waarin vijf taarten getoond worden. De kleinste taart
noemen we 1, de op één na kleinste 2, daarna volgen de taarten 3 en 4 en de
grootste taart is taart 5. In het voorbeeld op de afbeelding worden de taarten in
de volgorde 4, 2, 3, 5, 1 getoond. De taarten worden echter, zoals al gezegd, in
willekeurige volgorde gepresenteerd.
63p
Bereken de kans dat de taarten in de volgorde 1, 2, 3, 4, 5 te zien zijn.
We bekijken enkele strategieën om te proberen de grootste taart te
bemachtigen. Daartoe nemen we de wat eenvoudiger situatie waarbij in totaal
maar vier taarten getoond worden. De kleinste taart is ook nu taart 1, daarna
volgen de taarten 2 en 3 en taart 4 is in dit geval de grootste taart.
Strategie van Richard bij vier taarten
Richard denkt dat het een willekeurige gok is en hij besluit om ja te zeggen
tegen de tweede taart die hij te zien krijgt.
73p
Hoe groot is de kans dat Richard de grootste taart bemachtigt? Licht je antwoord
toe.
Strategie van Remco bij vier taarten
Remco besluit om de eerste taart die hij te zien krijgt nooit te nemen, maar de
eerstvolgende taart die groter is dan die eerste. Hij kiest uiteindelijk wel altijd
een taart. Zijn alle volgende taarten kleiner dan de eerste taart, dan kiest hij dus
noodzakelijkerwijs de laatste taart.
Remco schrijft alle mogelijke volgordes op.
In de tabel wordt steeds de gekozen taart omcirkeld.
tabel
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2 2 1 3 4 2 1 4 3 2 3 1 4 2 3 4 1 2 4 1 3 2 4 3 1 3 1 2 4 3 1 4 2 3 2 1 4 3 2 4 1 3 4 1 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 1 3 4 2 3 1 4 3 1 2 4 3 2 1
83p
Toon met behulp van de tabel aan dat de kans dat hij de grootste taart
bemachtigt ongeveer gelijk is aan 0,4583.
Strategie van Marlies bij vier taarten
Marlies besluit om de eerste twee taarten die ze te zien krijgt nooit te nemen; ze
neemt de eerstvolgende taart die groter is dan zowel de eerste als de tweede
taart. Zijn alle volgende taarten kleiner dan de eerste twee taarten, dan kiest ze
de laatste taart.
95puitwerkbijlage
Onderzoek of Marlies met deze strategie een grotere kans heeft dan Remco op
het bemachtigen van de grootste taart. Je kunt hierbij gebruikmaken van de
tabel op de uitwerkbijlage.
Vijf taarten
Bij vijf taarten blijkt de strategie van Marlies de gunstigste te zijn. De kans dat je
met deze strategie de grootste kiest, is gelijk aan (52)/(120).
Een klas van 26 leerlingen doet een experiment: alle leerlingen gaan proberen
om met de strategie van Marlies uit vijf taarten de grootste te kiezen.
104p
Bereken de kans dat minstens 10 leerlingen de grootste taart kiezen.

opgave 3Woei wordt waaide

We noemen werkwoorden regelmatig wanneer ze worden vervoegd als het
werkwoord fietsen: fietsen — fietste — gefietst, of als het werkwoord huilen:
huilen — huilde — gehuild. Er is een vaste uitgang voor de verleden tijd en het
voltooid deelwoord. Wanneer een werkwoord bij de vervoeging verandering van
klinkers (a, e, i, …) of medeklinkers (b, c, d, …) vertoont, spreken we van een
onregelmatig werkwoord. Een voorbeeld hiervan is het werkwoord lopen, dat
wordt vervoegd als lopen — liep — gelopen.
Veel werkwoorden die tegenwoordig regelmatig zijn, waren vroeger
onregelmatig. Onregelmatige werkwoorden hebben namelijk de neiging in de
loop der tijd regelmatig te worden. Denk maar aan het werkwoord waaien.
Sommige oudere mensen zeggen nog: ‘Gisteren woei het erg!’, terwijl vooral
jongeren zeggen: ‘Gisteren waaide het erg!’
Wetenschappers hebben dit verschijnsel onderzocht voor Engelse werkwoorden.
Zij turfden het aantal onregelmatige werkwoorden in drie verschillende perioden.
Je begrijpt dat in het onderzoek alleen die werkwoorden betrokken zijn waarvan
uit elke periode gegevens bekend waren.
Van de 177 onregelmatige werkwoorden in het Oudengels (800 na Christus)
waren er in het Middelengels (1200 na Christus) 145 nog steeds onregelmatig,
en in het moderne Engels (2000 na Christus) nog maar 98.
Er geldt bij benadering dat het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden daalt
volgens een exponentieel verband.
115p
Bereken met behulp van de bovenstaande gegevens het afnamepercentage per
100 jaar.
In werkelijkheid zijn er natuurlijk meer onregelmatige werkwoorden dan alleen
die werkwoorden van het onderzoek. We nemen aan dat bij benadering het
volgende verband tussen het totaal aantal Engelse onregelmatige
werkwoorden W en het jaartal t geldt:
W = 432 ⋅ 0,9995t
123p
Bereken met behulp van dit verband in welk jaar het aantal Engelse
onregelmatige werkwoorden nog maar 80 zal zijn.
In het moderne Engels (2000 na Christus, dus t = 2000) is slechts 3% van de
werkwoorden onregelmatig.
134p
Bereken met behulp van het verband het totaal aantal Engelse werkwoorden in
het jaar 2000.
Het regelmatig worden van werkwoorden gebeurt sneller naarmate de woorden
minder vaak worden gebruikt.
De wetenschappers hebben alle onderzochte onregelmatige werkwoorden in zes
groepen ingedeeld. De meest gebruikte, to be en to have, zitten in groep 1 en
de minst gebruikte zitten in groep 6.
In groep 3 blijkt het aantal werkwoorden in de periode 800 tot 2000 na Christus
afgenomen te zijn van 37 tot 33. In deze groep 3 zijn de werkwoorden to help,
to reach, to walk en to work regelmatig geworden. Ga ervan uit dat binnen
deze groep het aantal werkwoorden bij benadering exponentieel afneemt met
0,01% per jaar.
144p
Bereken hoeveel jaar het duurt tot het aantal werkwoorden in groep 3
gehalveerd is.
De onderzoekers onderzochten dit voor elke groep en leidden hieruit de
volgende vuistregel af: wordt een onregelmatig werkwoord n keer zo vaak
gebruikt, dan duurt het √(n) keer zo lang totdat dit werkwoord regelmatig wordt.
Een onregelmatig werkwoord dat bijvoorbeeld 100 keer zo vaak gebruikt wordt
als een ander onregelmatig werkwoord, zal er √(100) = 10 keer zo lang over doen
om regelmatig te worden.
In Nederland heeft men uit stukken tekst van in totaal 100 miljoen woorden de
10 meest gebruikte Nederlandse werkwoorden gehaald. Zie de tabel. Het valt
vrijwel direct op dat de eerste 9 onregelmatig zijn.
tabel
  werkwoord frequentie 1 zijn 2 264 398 2 worden 946 623 3 hebben 872 661 4 kunnen 569 152 5 zullen 382 900 6 moeten 345 098 7 gaan 285 026 8 komen 267 532 9 zeggen 230 606 10 maken 214 280
Neem aan dat het Nederlandse werkwoord komen pas na 13 000 jaar
regelmatig wordt, zoals men dat ook verwacht voor het Engelse werkwoord
to come. Neem verder aan dat de vuistregel ook geldt voor de Nederlandse
onregelmatige werkwoorden. Dan kun je met behulp van de tabel berekenen
hoeveel jaar het duurt voor het werkwoord worden regelmatig wordt.
153p
Bereken met behulp van de frequenties in de tabel hoeveel jaar het duurt voor
het werkwoord worden regelmatig wordt.

opgave 4Zijn meisjes beter in taal?

Vaak wordt beweerd dat meisjes beter in taal zijn dan jongens. Maar hoe kun je dat onderzoeken? Een bekende methode is om na een toets het gemiddelde van de jongens te vergelijken met dat van de meisjes. Maar er zijn ook andere methoden. In deze opgave bekijken we een manier van vergelijken die is…

Vaak wordt beweerd dat meisjes beter in taal zijn dan jongens. Maar hoe kun je dat onderzoeken? Een bekende methode is om na een toets het gemiddelde van de jongens te vergelijken met dat van de meisjes. Maar er zijn ook andere methoden. In deze opgave bekijken we een manier van vergelijken die is opgesteld door Frank Wilcoxon. Hij kijkt vooral naar de rangschikking van de jongens en de meisjes. Vier meisjes en drie jongens Bij een taaltoets die door vier meisjes en drie jongens wordt gemaakt, zijn maximaal 250 punten te behalen. De meisjes halen de scores 162, 217, 231 en 240 en de jongens halen de scores 119, 145 en 179. Je kunt nu deze scores rangschikken van laag naar hoog en daarbij noteren of het om een jongen (J) of een meisje (M) gaat. Er ontstaat zo een rij met driemaal een J en viermaal een M. In dit geval krijg je de rij J J M J M M M.

Bereken hoeveel verschillende rijen er mogelijk zijn met driemaal een J en viermaal een M. Van elke rij kunnen we de zogenoemde U -waarde berekenen. Dit gaat als volgt: tel voor elke M het aantal J’tjes dat ervóór staat en tel daarna alle uitkomsten bij elkaar op. De U -waarde van het rijtje J J M…

Bereken hoeveel verschillende rijen er mogelijk zijn met driemaal een J en viermaal een M. Van elke rij kunnen we de zogenoemde U -waarde berekenen. Dit gaat als volgt: tel voor elke M het aantal J’tjes dat ervóór staat en tel daarna alle uitkomsten bij elkaar op. De U -waarde van het rijtje J J M J M M M is dus 2+3+3+3=11. Deze U -waarde is hoog want op één na scoren alle meisjes hoger dan alle jongens. De U -waarde geeft aan in hoeverre de scores van jongens en meisjes verschillen. Dat betekent: − U -waarde hoog: de meisjes scoren hoog en de jongens laag; − U -waarde laag: de jongens scoren hoog en de meisjes laag; − U -waarde middelmatig: er is weinig verschil tussen meisjes en jongens.

Geef een voorbeeld van een rij bestaande uit driemaal een J en viermaal een M met U -waarde 5.
Door bij alle mogelijke rijen de U -waarde te bepalen kun je de kansverdeling van U opstellen. Daarbij ga je er dus van uit dat alle rangschikkingen even waarschijnlijk zijn. Deze kansverdeling is weergegeven in de figuur. figuur kansverdeling van de U -waarde bij een groep van vier meisjes en drie…

Door bij alle mogelijke rijen de U -waarde te bepalen kun je de kansverdeling van U opstellen. Daarbij ga je er dus van uit dat alle rangschikkingen even waarschijnlijk zijn. Deze kansverdeling is weergegeven in de figuur. figuur kansverdeling van de U -waarde bij een groep van vier meisjes en drie jongens kans 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 U -waarde Bij grotere groepen gaat dit kanshistogram op de grafiek van een normale verdeling lijken. De U -waarde is dan bij benadering normaal verdeeld met: gemiddelde standaardafwijking Hierin is n m het aantal meisjes en n j het aantal jongens. Een havo 5-groep met 70 meisjes en 75 jongens maakt de taaltoets. De U -waarde die je mag verwachten als jongens en meisjes ongeveer even goed scoren, zal rond het gemiddelde liggen.

Bereken de kans dat de U -waarde tussen 2400 en 2800 ligt, uitgaande van de hierboven genoemde formules. Als de U -waarde van een groep niet in de buurt van het gemiddelde ligt maar veel hoger is, kun je zeggen dat de meisjes in die groep beter in taal zijn dan de jongens in die groep. Maar wat is…

Bereken de kans dat de U -waarde tussen 2400 en 2800 ligt, uitgaande van de hierboven genoemde formules. Als de U -waarde van een groep niet in de buurt van het gemiddelde ligt maar veel hoger is, kun je zeggen dat de meisjes in die groep beter in taal zijn dan de jongens in die groep. Maar wat is precies ‘veel hoger’? Wilcoxon trekt de grens als volgt: als de U -waarde bij de hoogste 5% zit, uitgaande van bovenstaande normale verdeling, dan wordt besloten dat de meisjes beter in taal zijn dan de jongens. Na verwerking van de scores van genoemde havo 5-groep blijkt de U -waarde gelijk te zijn aan 2984.

Onderzoek of voor deze havo 5-groep besloten wordt dat de meisjes beter in taal zijn dan de jongens. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 5Gebruiksduur

Een fabriek produceert een bepaald type huishoudelijk apparaat dat door veel
consumenten wordt gekocht. Sommige van die apparaten gaan lang mee,
andere zijn al vrij snel defect.
De serviceafdeling van de fabriek verzamelt informatie over de gebruiksduur van
dit type. Dat doet men door te onderzoeken op welk moment de apparaten
defect raken.
Er zijn twee verschillende formules waarmee men de gebruiksduur probeert te
beschrijven:
formule 1: P = 100 ⋅ (1 − 0,8t)
formule 2: P = 100 − (50t + 100) ⋅ 0,61t
Hierin is P het percentage apparaten dat na t jaar of eerder defect is geraakt.
203p
Bij welke van de twee formules is na 5,5 jaar ruim driekwart van de apparaten
defect? Licht je antwoord toe.
Op tijdstip t = 0 geven beide formules hetzelfde percentage, namelijk 0. Er is
echter nog een ander tijdstip waarop beide formules hetzelfde percentage
opleveren.
213p
Bereken voor welke andere waarde van t beide formules hetzelfde percentage
geven. Rond je antwoord af op één decimaal.
Formules die gebruikt kunnen worden om de gebruiksduur te beschrijven,
moeten aan de volgende drie eisen voldoen:
1 op t = 0 moet gelden dat P = 0;
2 als t groter wordt, moet P toenemen;
3 als t heel groot wordt, moet P naderen naar 100.
223p
Leg uit hoe je aan formule 1 kunt zien dat deze aan de tweede eis voldoet.
Met formule 1 kun je het percentage apparaten berekenen dat binnen een
bepaald aantal jaren defect raakt. Op basis van dat percentage kan een
aanname over de kans op defect raken worden gedaan. Zo volgt bijvoorbeeld uit
formule 1 dat 20% van de apparaten binnen een jaar defect raakt. We nemen
dan aan dat de kans dat een apparaat binnen een jaar defect raakt, gelijk is aan
0,20. In de volgende vraag gaat het om defect raken binnen vijf jaar.
Een winkel heeft op een dag 11 van deze apparaten verkocht. De gebruiksduur
ervan wordt beschreven met formule 1. De apparaten raken onafhankelijk van
elkaar op een bepaald tijdstip defect.
235p
Bereken de kans dat hoogstens 6 van deze apparaten binnen 5 jaar defect
raken.