opgave 1De huisarts
Huisartsen nemen een centrale positie in binnen
de gezondheidszorg. De huisarts is namelijk het
eerste aanspreekpunt voor mensen met vragen
over gezondheid en ziekte. Veel mensen hebben
dan ook regelmatig contact met hun huisarts,
bijvoorbeeld door naar het spreekuur te gaan of
een telefonisch consult te hebben. Deze
contacten worden contactmomenten genoemd.
Volgens een medisch tijdschrift hadden in 2008
mannelijke patiënten gemiddeld 3,5 en vrouwelijke patiënten gemiddeld
4,7 contactmomenten met hun eigen huisarts.
Neem aan dat deze gegevens ook gelden voor huisarts Tineke Hoekstra.
Zij heeft in 2008 een huisartsenpraktijk met 912 mannelijke patiënten en
dat is 52% van haar totale aantal patiënten.
14pBereken voor Tineke in 2008 het totale aantal contactmomenten met al
haar patiënten.
Niet elke patiënt van Tineke heeft jaarlijks contact met haar.
Van haar mannelijke patiënten had 30% in 2008 geen enkel
contactmoment met haar. Dat betekent dat er met de mannelijke patiënten
die wel contact met haar hadden, gemiddeld meer dan 3,5
contactmomenten waren.
23pBereken voor de mannelijke patiënten die wel contact met haar hadden,
hoeveel contactmomenten zij in 2008 gemiddeld hadden.
Een jaar of veertig geleden was een vrouwelijke huisarts nog een
uitzondering. Maar tegenwoordig zijn er heel wat vrouwelijke huisartsen
en dat aantal neemt nog steeds toe, zie de figuur. We nemen aan dat de
stijging lineair verloopt.
figuur
Op 1 januari 1990 waren er 1078 vrouwelijke huisartsen en op
1 januari 2008 bleek dit aantal gestegen tot 2980. Het aantal vrouwelijke
huisartsen HV na t jaar, met t = 0 op 1 januari 1990, is te schrijven als
HV = a ⋅ t + 1078
De waarde van a is ongeveer 106.
33pBereken met behulp van bovenstaande gegevens de waarde van a in één
decimaal nauwkeurig.
Ook het totaal aantal huisartsen HT neemt vanaf 1 januari 1990 toe.
Hiervoor geldt de formule
HT = 107 ⋅ t + 6703, met t in jaren en t = 0 op 1 januari 1990.
Als de stijging van het totaal aantal huisartsen en van het aantal
vrouwelijke huisartsen zich op dezelfde manier voortzet als in de formules
voor HT en HV is beschreven, komt er een moment dat er evenveel
vrouwelijke als mannelijke huisartsen zullen zijn.
45pOnderzoek in welk jaar dat zal zijn.
opgave 2Eerlijk spel?
Peter en Quinten spelen een dobbelspel.
Er wordt gegooid met twee zuivere dobbelstenen,
waarbij het niet uitmaakt of Peter of Quinten gooit.
Peter krijgt een punt als met beide dobbelstenen
hetzelfde aantal ogen (dubbel) wordt gegooid.
In alle andere gevallen (niet-dubbel) krijgt Quinten
een punt.
53pToon aan dat de kans dat Quinten een punt krijgt
is.
Degene die het eerst een vooraf afgesproken aantal punten heeft, wint
het spel. Het is wel duidelijk dat er geen sprake is van eerlijk spel:
Quinten heeft vijfmaal zoveel kans op een punt als Peter.
Daarom spreken ze af dat Quinten één punt krijgt als er niet-dubbel wordt
gegooid, maar dat Peter vijf punten krijgt als er dubbel wordt gegooid.
Neem aan dat Peter en Quinten hebben afgesproken dat degene die het
eerst vijf punten heeft, het spel wint.
63pToon aan dat de kans dat Quinten dan het spel wint kleiner is dan 0,5.
Peter en Quinten hebben niet in de gaten dat Quinten minder kans heeft
het spel te winnen. Ze houden de puntentelling zoals afgesproken, dus bij
dubbel krijgt Peter vijf punten en bij niet-dubbel krijgt Quinten één punt.
Wanneer ze afspreken dat degene die het eerst vijf punten heeft het spel
wint, kan het gebeuren dat het spel al na één keer gooien beslist is. Als er
dubbel gegooid wordt, krijgt Peter vijf punten en is hij de winnaar. Maar
het kan ook gebeuren dat er meerdere malen gegooid moet worden totdat
er een winnaar is. Je kunt berekenen hoeveel keer er gemiddeld gegooid
moet worden totdat er een winnaar is. Hierbij wordt gebruikgemaakt van
onderstaande tabel.
Deze tabel staat ook op de uitwerkbijlage.
tabel
75puitwerkbijlageVul de tabel op de uitwerkbijlage in en bereken hiermee de
verwachtingswaarde van het aantal worpen dat nodig is totdat er een
winnaar is. Rond het antwoord af op één decimaal.
Peter en Quinten besluiten het spel te spelen totdat één van hen
10 punten heeft.
Voorbeelden van een spelverloop waarbij Peter wint, zijn
Q-P-Q-Q-Q-Q-Q-P en P-Q-Q-Q-P.
Een voorbeeld van een spelverloop waarbij Quinten wint, is
Q-Q-Q-Q-P-Q-Q-Q-Q-Q-Q.
84pBereken hoeveel verschillende spelverlopen er zijn waarbij Quinten wint.
opgave 3Ontslagvergoeding
Bij grote bedrijven wordt er regelmatig gereorganiseerd. Hierbij vallen
soms gedwongen ontslagen. Een ontslagen werknemer krijgt dan vaak
eenmalig een ontslagvergoeding.
Er zijn verschillende rekenmethodes om deze vergoeding te bepalen. In
deze opgave bekijken we er twee.
De eerste rekenmethode gebruikt de formule
V1 = 0,5 ⋅ m ⋅ g
Hierin is V1 de ontslagvergoeding in euro’s, m het bruto maandsalaris in
euro’s en g het aantal gewogen dienstjaren. De dienstjaren vóórdat
iemand 40 jaar is, tellen elk voor 1, de volgende tien dienstjaren tellen elk
voor 1,5 en elk dienstjaar vanaf het moment dat iemand 50 jaar is
geworden, telt voor 2.
Bob Jansen is onlangs 52 jaar geworden. Hij werkt vanaf zijn dertigste
verjaardag bij zijn huidige werkgever. Deze werkgever gaat reorganiseren
met als gevolg dat Bob ontslagen wordt.
Bob had een bruto maandsalaris van 4300 euro.
93pToon aan dat Bob volgens de formule een ontslagvergoeding krijgt van
meer dan 60 000 euro.
De tweede rekenmethode gebruikt de formule
V2 = 6 ⋅ m + 2,4 ⋅ m ⋅ d
Hierin is V2 de ontslagvergoeding in euro’s, m het bruto maandsalaris in
euro’s en d het aantal dienstjaren, geteld vanaf de 36e verjaardag.
Er geldt dat d = 0 totdat de werknemer 37 jaar wordt. Op de dag dat de
werknemer 37 jaar wordt, wordt d = 1. Op de 38e verjaardag wordt d = 2,
enzovoort. Het aantal dienstjaren wordt altijd in gehele jaren berekend.
Bij de tweede formule geldt een maximale ontslagvergoeding van 54 keer
het bruto maandsalaris.
Henk Klaassen werkt vanaf zijn 36e verjaardag bij zijn huidige werkgever.
Hij is bang bij een reorganisatie te worden ontslagen. Neem aan dat zijn
maandsalaris door de jaren heen steeds gelijk blijft.
104pBereken na hoeveel dienstjaren hij voor het eerst zijn maximale
ontslagvergoeding zou krijgen volgens de tweede formule.
Vakbonden hebben liever dat de formule voor V2 gebruikt wordt dan de
formule voor V1. Toch is de formule voor V2 niet altijd gunstiger. Er zijn
situaties waarbij de eerste formule gunstiger is voor een ontslagen
werknemer.
114pGeef een rekenvoorbeeld van zo’n situatie en geef daarbij aan op welke
leeftijd de werknemer in dienst is getreden en op welke leeftijd hij
ontslagen wordt.
Met de tweede formule kan de ontslagvergoeding V2 worden berekend als
het bruto maandsalaris m en het aantal dienstjaren d, geteld vanaf de
36e verjaardag, bekend zijn.
De formule kan worden herschreven tot een formule die uitgaat van het
bruto jaarsalaris in plaats van het bruto maandsalaris. Een jaarsalaris is
meer dan 12 maandsalarissen, omdat een werknemer ook vakantiegeld
en een eindejaarsuitkering uitbetaald krijgt. Hierdoor geldt dat het bruto
jaarsalaris j gelijk is aan 13,5 keer het bruto maandsalaris m.
De tweede formule is daarmee te schrijven in de vorm:
V2 =... ⋅ j +... ⋅ j ⋅ d
123pBereken in twee decimalen nauwkeurig de getallen die op de puntjes
moeten staan. Licht je werkwijze toe.
opgave 4Centenarians
Hoe oud kun je worden? Veel mensen vinden het al bijzonder als iemand
de leeftijd van 90 jaar bereikt. Toch zijn er zelfs mensen die 100 jaar of
ouder worden.
In Engeland wordt iemand die de leeftijd van 100 jaar
bereikt, aangeduid met de titel centenarian. De kans
om centenarian te worden is echter niet erg groot,
ook niet als je al 90 jaar bent. Van degenen die toch
de leeftijd van 100 jaar bereiken, worden sommigen
zelfs supercentenarian: zij bereiken de leeftijd van
110 jaar. Deze titel is echter voor zeer weinigen
weggelegd.
Uit onderzoek zijn de volgende gegevens bekend:
De kans dat een 90-jarige man 95 jaar wordt, is 0,27.
De kans dat een 95-jarige man 100 jaar wordt, is 0,13.
De kans dat een 100-jarige man 105 jaar wordt, is 0,11.
De kans dat een 105-jarige man 110 jaar wordt, is 0,09.
133pBereken de kans dat een 90-jarige man supercentenarian wordt.
144pBereken de kans dat een 100-jarige man geen supercentenarian wordt.
Het aantal centenarians in Engeland wordt vanaf 1911 nauwkeurig
bijgehouden. In figuur 1 kun je zien hoe het aantal centenarians zich in de
loop van de jaren heeft ontwikkeld.
figuur 1
Metingen1 januarivanhetbetreffendejaar
Vanaf 1967 begon het totale aantal centenarians bij benadering
exponentieel te groeien. Waren er op 1 januari 1967 zo’n
1000 centenarians, op 1 januari 2009 was dit aantal gestegen tot 9600.
154pBereken het groeipercentage per jaar in deze periode.
In figuur 1 is duidelijk te zien dat de groei van het aantal centenarians
voornamelijk voor rekening van de vrouwen komt. Op 1 januari 2009 was
deel van de 9600 centenarians vrouwelijk.
Voor de toekomst gaat men in Engeland uit van de volgende aannames:
− het aantal centenarians stijgt vanaf 1 januari 2009 met 8,0% per jaar;
− het aantal vrouwelijke centenarians blijft in de toekomst
deel van
het totaal.
164pBereken het te verwachten aantal vrouwelijke centenarians op 1 januari
2034 in Engeland.
Ook in Nederland wordt het aantal personen van 100 jaar of ouder
nauwkeurig bijgehouden. Deze personen worden ook wel eeuwelingen
genoemd. Het Centraal Bureau voor de Statistiek heeft het aantal
eeuwelingen in 2005 vergeleken met het aantal eeuwelingen in 1985.
Gegevens daarover vind je in de figuren 2 en 3.
In figuur 2 kun je bijvoorbeeld aflezen dat er op 1 januari 1985 ongeveer
45 personen waren van 103 jaar oud. In figuur 3 kun je aflezen dat er op dat
moment op elke 100 vrouwelijke eeuwelingen ongeveer 38 mannen waren.
eeuwelingen naar leeftijd
aantal mannen per 100 vrouwen
176pBereken met de gegevens van de figuren 2 en 3 hoeveel vrouwelijke
eeuwelingen er op 1 januari 2005 in Nederland waren.
opgave 5Lantaarnvisjes
zo’n 100 meter lantaarnvisjes. Ze
worden zo genoemd vanwege hun
lichtuitstraling waarmee ze elkaar op
grote diepte in het donker kunnen
herkennen.
Bij een bepaalde soort lantaarnvisjes is de lengte van volwassen
exemplaren bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van
5,50 cm en een standaardafwijking van 0,45 cm.
183pBereken hoe lang een volwassen lantaarnvisje dat bij de 10% langste
volwassen lantaarnvisjes van deze soort hoort, minimaal is.
194pBereken hoeveel procent van de volwassen lantaarnvisjes van deze soort
een lengte heeft die minder dan 20% afwijkt van de gemiddelde lengte.
In de oceanen drijven veel plastics rond. In deze plastics zitten giftige
stoffen die een bedreiging vormen voor het milieu omdat ze in de
voedselketen terecht kunnen komen. De meeste plastics vergaan namelijk
niet, maar vallen uiteen in ragfijne stukjes. Deze niet-afbreekbare stukjes
plastic kunnen via het plankton in de maag van de lantaarnvisjes
terechtkomen. Uit onderzoek is gebleken dat 35% van de lantaarnvisjes
plastic in hun maag heeft.
Er worden 500 lantaarnvisjes gevangen.
204pBereken de kans dat minstens 170 van die lantaarnvisjes plastic in hun
maag hebben.
Een verbod op plastic zakken zou niet alleen goed zijn voor de
voedselketen, maar ook voor de CO2-uitstoot.
In Ierland heeft men onderzocht wat het effect zou zijn op de CO2-uitstoot
als er in dat land geen plastic zakken meer zouden worden gemaakt. De
conclusie: per jaar zou er 31 000 ton minder CO2 worden uitgestoten.
In Nederland wonen 4,4 keer zoveel mensen als in Ierland. Neem aan dat
er in Nederland per persoon evenveel plastic zakken gemaakt worden als
in Ierland.
Stel dat het aantal plastic zakken dat in Nederland gemaakt wordt, zou
worden verminderd tot 35% van het oorspronkelijke aantal.
213pBereken hoeveel ton CO2 er dan in Nederland per jaar minder zou worden
uitgestoten.
