opgave 1Kunstrijden op de schaats
Kunstrijden op de schaats werd als olympische
sport voor het eerst beoefend in 1908. Veel
deelnemers waren er niet: bij de mannen streden
slechts zeven kunstschaatsers om de eer. Het
waren Johansson, Salchow en Thorén uit
Zweden, Greig en March uit Groot-Brittannië,
Brokaw uit de Verenigde Staten en Torromé uit
Argentinië.
Ook de beoordeling was nog niet
geprofessionaliseerd. Er waren slechts
vijf juryleden met een overzichtelijke taak. Ze
moesten, nadat alle deelnemers hun kwaliteiten
hadden laten zien, ieder voor zich een ranglijst
opstellen: welke kunstschaatser is volgens hen
nummer één, wie komt op de tweede plaats, enzovoort.
Een jurylid vond dat de drie Zweedse kunstrijders het best gepresteerd
hadden. Hij plaatste deze schaatsers in zijn top 3, de overige kwamen dus
op de plaatsen 4 tot en met 7.
14pBereken op hoeveel manieren dit jurylid op deze manier zijn volledige
ranglijst had kunnen invullen.
Om de mate van overeenstemming bij de juryleden te onderzoeken,
worden de ranglijsten van elk tweetal juryleden met elkaar vergeleken.
23pBereken hoeveel keer men zo twee ranglijsten met elkaar moet
vergelijken.
Er kan worden berekend in welke mate de ranglijsten van twee
verschillende juryleden met elkaar in overeenstemming zijn. Deze mate
van overeenstemming wordt correlatie genoemd. Hoe meer
overeenstemming, hoe groter de correlatie.
In de tabel zie je de ranglijsten van jurylid 1 en jurylid 2. Van elke
kunstrijder is het (positieve) verschil in plaatsing v tussen de ranglijsten
van deze twee juryleden berekend en ook de kwadraten van deze
verschillen v2. De som van deze kwadraten noemt men S.
tabel
Vervolgens berekent men de correlatie C met de formule
Hierin is n het aantal kunstrijders.
Je kunt narekenen dat de correlatie tussen de ranglijsten van de juryleden
uit het voorbeeld in de tabel ongeveer 0,82 is. Als hun ranglijsten nog
meer zouden overeenstemmen, zou hun correlatie nog groter zijn.
33pBeredeneer aan de hand van de formule hoe groot de correlatie tussen de
ranglijsten van twee juryleden maximaal kan zijn.
In dit voorbeeld is n = 7. Daarmee kan de formule worden geschreven als
Deze laatste formule kan ook worden geschreven in de vorm C = a ⋅ S + b.
Hierin zijn a en b getallen.
43pGeef de waarden van a en b.
Ranglijsten die niet erg met elkaar overeenstemmen, hebben een kleine
of zelfs negatieve correlatie. De ranglijsten van jurylid 2 en jurylid 3
hebben een correlatie die kleiner is dan 0,75.
54puitwerkbijlageGeef in de tabel op de uitwerkbijlage een mogelijke ranglijst voor jurylid 3.
Laat met berekeningen zien dat de correlatie inderdaad kleiner is
dan 0,75.
opgave 2Park ’N Fly
In de Verenigde Staten komen veel
mensen met de auto naar het vliegveld.
Ze parkeren hun auto op een
parkeerterrein in de buurt. Eén van de
parkeerterreinen bij het vliegveld van
Minneapolis wordt beheerd door het
bedrijf Park ’N Fly. In 2010 had dit terrein
2100 parkeerplaatsen.
Het normale parkeertarief in 2010 was $ 10 (10 dollar) per dag. Online
gekochte parkeerkaarten waren $ 1 per dag goedkoper.
In deze opgave gaan we uit van de situatie in 2010 en we nemen aan dat
alle klanten die hun parkeerkaart online kopen, komen opdagen. Ook
rekenen we alleen met de parkeerprijs per dag.
Op een dag zijn 2065 parkeerplaatsen bezet. De totale inkomsten voor
het bedrijf zijn die dag $ 20 214.
64pBereken hoeveel klanten die dag hun parkeerkaart online gekocht
hebben.
Van maandag tot en met donderdag is het parkeerterrein goed gevuld.
Maar op vrijdag en in het weekend zijn er nogal wat lege plaatsen. Het
bedrijf wil graag dat deze plaatsen benut worden, desnoods tegen een
lager tarief. Er wordt voor vrijdag en het weekend een nieuw tarief
geïntroduceerd, het actietarief. De hoogte van het actietarief wordt
slechts een paar dagen van tevoren bepaald en parkeerkaarten tegen dit
tarief kunnen alleen online gekocht worden.
Uit onderzoek blijkt dat bij een actietarief van $ 6 er 1500 klanten hun
auto tegen dit tarief zullen parkeren bij Park ’N Fly. Bij een actietarief van
$ 5 zijn dat er zelfs 1700.
Stel dat het actietarief wordt bepaald op $ 4,20.
74pBereken met lineair extrapoleren, uitgaande van de gegeven waarden,
hoeveel klanten hun auto dan tegen dit tarief bij Park ’N Fly zullen
parkeren.
Het bedrijf vraagt zich af hoeveel kaartjes er tegen het actietarief verkocht
kunnen worden. Want voor de klanten die tegen het normale tarief
parkeren, wil men voldoende parkeerplaatsen beschikbaar houden.
Het aantal klanten dat tegen het normale tarief de auto op vrijdag
parkeert, is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde
van 820. Op een kwart van de vrijdagen zijn er minder dan 800 klanten
die tegen het normale tarief parkeren.
84pBereken hiermee de bijbehorende standaardafwijking.
Er zijn dus twee soorten parkeerplaatsen:
− standaardparkeerplaatsen, gereserveerd voor klanten die het normale
tarief betalen;
− actietariefparkeerplaatsen, deze worden verkocht tegen het actietarief.
Het aantal klanten dat op zaterdagen tegen het normale tarief parkeert, is
bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 610 en een
standaardafwijking van 24.
Het bedrijf wil op zaterdagen zó veel standaardparkeerplaatsen
reserveren, dat de kans dat er op een zaterdag meer klanten tegen het
normale tarief komen parkeren dan er standaardparkeerplaatsen
gereserveerd zijn, hoogstens 0,1 is.
94pBereken hoeveel standaardparkeerplaatsen het bedrijf dan moet
reserveren.
opgave 3Huwelijksjubilea
In 1970 trouwden in Nederland maar liefst
124 000 paren, een historisch record.
Veertig jaar later, in 2010, was er dan ook
een piek te zien in het aantal paren dat het
40-jarig huwelijksjubileum vierde.
In totaal waren er in Nederland in het jaar
2010 ongeveer 770 000 paren 40 jaar of
zelfs langer gehuwd. Dit aantal is
vergeleken met het jaar 2000 met
40 procent toegenomen.
103pBereken hoeveel paren er in het jaar 2000 minstens 40 jaar gehuwd waren.
Het aantal jubilea vanwege een 40-, 50- of 60-jarig huwelijk was in het jaar
2010 flink hoger dan in 2000. Daarentegen waren er minder 12,5- en
25-jarige jubilea. Dit kun je zien in figuur 1.
figuur 1 Aantal huwelijksjubilea
Legenda:
113pMet hoeveel procent is het aantal 25-jarige huwelijksjubilea afgenomen?
In 1970 trouwden zoals gezegd 124 000 paren. In 1980 traden
90 000 paren in het huwelijk. Veronderstel dat er bij deze paren in
verhouding evenveel huwelijken minstens 40 jaar zullen standhouden als
bij de paren die in 1970 in het huwelijk traden.
123pBereken hoeveel 40-jarige huwelijksjubilea men dan in het jaar 2020 mag
verwachten.
In figuur 2 is te zien hoeveel huwelijkssluitingen er in de jaren 1950 tot en
met 2009 waren.
figuur 2 Aantal huwelijkssluitingen
Vanaf ongeveer 1988 lijkt er een dalende trend te zijn in het aantal
huwelijkssluitingen. In de grafiek is een trendlijn getekend.
De formule van deze lijn is van de vorm A = a ⋅ t + b.
Hierin is A het aantal gesloten huwelijken in duizendtallen en t de tijd in
jaren met t = 0 in 1988.
134pBereken a en b.
Het percentage huwelijken dat minstens 40 jaar standhoudt, is bij
huwelijken die gesloten zijn in 1960 ongeveer even groot als bij
huwelijken die in 1970 zijn gesloten. Dit kun je met behulp van de figuren
1 en 2 narekenen. De vraag is of dat ook voor de andere jubilea geldt.
Een onderzoeker stelt het volgende: “Als we kijken naar het aantal
echtparen dat in 2000 en 2010 het 25-jarig huwelijksjubileum vierde, dan
zien we een opvallende verandering. Het lijkt erop dat het percentage
huwelijken dat 25 jaar standhoudt, in deze 10 jaar is gedaald.”
145pGa met berekeningen na of deze onderzoeker gelijk heeft. Gebruik hierbij
de figuren 1 en 2.
opgave 4Trein op tijd
Marleen gaat na de zomervakantie naar een school in een andere stad.
Ze moet daarvoor de trein nemen. Elke schooldag moet ze om 8:30 uur
op school zijn. Ze bekijkt de dienstregeling en ziet dat een trein om
8:20 uur op het station vlak bij school aankomt. Zelfs als de trein
maximaal drie minuten vertraging heeft, kan ze nog op tijd op school
komen. Bij grotere vertraging is ze te laat. Ze kan een trein eerder nemen,
maar dan is ze meestal 30 minuten te vroeg op school.
In het jaar 2009 reed 86,6% van de treinen op tijd. De trein is volgens de
Nederlandse Spoorwegen (NS) op tijd als de vertraging maximaal
drie minuten is. Neem aan dat de kans dat de trein van Marleen op tijd is
iedere dag gelijk is aan 0,866.
153pLaat met een berekening zien dat de kans dat Marleen in één week met
vijf lesdagen steeds op tijd op school zal zijn, kleiner is dan 50%.
Als een leerling in een schooljaar 9 of meer keren zonder goede reden te
laat is gekomen, moet de school dit melden aan Bureau Leerplicht.
Marleen neemt elke dag de trein die volgens de dienstregeling om
8:20 uur aankomt. Ze komt alleen te laat door een vertraagde trein.
Veronderstel dat een schooljaar 38 lesweken heeft met elk vijf lesdagen.
De schoolleiding bekijkt halverwege het schooljaar welke leerlingen
moeten worden gemeld bij Bureau Leerplicht. De kans dat Marleen wordt
gemeld, is behoorlijk groot.
165pBereken de kans dat Marleen na 19 weken al 9 of meer keren te laat is
gekomen.
Marleen schrikt hiervan. Omdat ze vindt dat ze toch een redelijk reisplan
heeft, vraagt Marleen aan haar school wat soepeler te zijn. De school
geeft toe, ze mag voortaan maximaal één dag per week te laat komen.
Ze kan nu dus officieel 0, 1, 2, 3 of 4 dagen per week te laat komen. Als
ze bijvoorbeeld in een week 3 dagen te laat zou komen, wordt ze officieel
2 dagen als te laat geregistreerd.
Van het aantal keren dat Marleen nu in één week officieel te laat komt,
wordt een tabel gemaakt. Zie de tabel.
tabel
Aantal keren per week officieel te laat
174pToon met berekeningen aan dat de kansen bij de aantallen 0 en 1,
afgerond op drie decimalen, gelijk zijn aan 0,864 en 0,117.
Met behulp van de tabel kan worden berekend dat Marleen naar
verwachting ongeveer één keer per 6 weken officieel te laat zal zijn.
183pVoer deze berekening uit.
opgave 5Pas op je hoofd!
Veel headbangers zijn na een bezoek aan een
concert versuft of verward. Twee Australische
artsen hebben onderzoek gedaan naar deze
klachten. Ze hebben het headbangen (met het
hoofd van voor naar achter meezwiepen op de
muziek) en de verkregen hoofdletsels
bestudeerd. Het blijkt dat de kans op
hoofdletsel toeneemt met het tempo van de muziek, uitgedrukt in beats
per minute (bpm), en met de grootte van de hoek die het zwiepende hoofd
maakt. De resultaten van hun onderzoek vind je in de figuur.
figuur
1200 120 ccaatteeggoorriiee 33 hoofdletsel- criterium H 1000 900 105 800 ccaatteeggoorriiee 22 600 90 520 400 ccaatteeggoorriiee 11 75 200 60 135 45 ccaatteeggoorriiee 00 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 muziektempo t (bpm)
In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat een headbanger die bij een
muziektempo van 160 bpm met een hoek van 105° met zijn hoofd zwiept
een hoofdletselcriterium heeft van ongeveer 400.
Het hoofdletselcriterium is een maat voor de krachten die bij headbangen
op het hoofd werken.
Met Hn wordt het hoofdletselcriterium bij een hoek van n graden
aangeduid. Bij de grafieken in de figuur kunnen bijpassende formules voor
Hn worden opgesteld. Van drie grafieken zijn voor een muziektempo t
vanaf 80 bpm de formules gegeven
Het muziektempo van een headbangnummer is 160 bpm.
193pBepaal hoeveel het hoofdletselcriterium toeneemt als de hoek waarmee
het hoofd zwiept toeneemt van 75° naar 105°.
De formule voor het headbangen met een hoek van 120° is niet gegeven.
Ook voor deze hoek is er sprake van een exponentieel verband. In de
figuur kun je aflezen dat bij een muziektempo van 130 bpm H120 = 200 en
bij een muziektempo van 180 bpm H120 = 1200.
203pBereken voor H120 de groeifactor per bpm in drie decimalen nauwkeurig.
De onderzoekers hebben het hoofdletselcriterium in vier gebieden
onderverdeeld (zie figuur):
− categorie 0: geen hoofdletsel;
− categorie 1: hoofdpijn, duizeligheid;
− categorie 2: bewusteloos, tot één uur;
− categorie 3: bewusteloos, één tot zes uur.
De grenzen tussen de categorieën 0, 1, 2 en 3 worden gegeven bij een
hoofdletselcriterium van respectievelijk 135, 520 en 900.
De eerdergenoemde headbanger die bij een muziektempo van 160 bpm
met een hoek van 105° met zijn hoofd zwiept, valt met zijn
hoofdletselcriterum in categorie 1 en zal dus last hebben van hoofdpijn
en/of duizeligheid.
Bij headbangen met een hoek van 45° hoeft men zich geen zorgen te
maken om eventueel hoofdletsel. Met een muziektempo tussen de 80 en
180 bpm zit men dan altijd in categorie 0 omdat het hoofdletselcriterium
onder de 135 blijft.
Het muziektempo kan zelfs nog iets verhoogd worden zonder dat er
hoofdletsel optreedt.
213pBereken met behulp van de formule van H45 vanaf welk muziektempo er
hoofdletsel optreedt bij headbangen met een hoek van 45°.
Uit de figuur kun je het volgende afleiden: hoe hoger het muziektempo,
des te kleiner moet de hoek waarmee het hoofd zwiept worden om geen
hoofdletsel te krijgen.
Dit kun je beter in beeld krijgen door een grafiek te maken waarbij je de
hoek uitzet tegen het muziektempo bij een vast hoofdletselcriterium
van 135.
224puitwerkbijlageTeken met behulp van alle informatie die je uit de figuur kunt halen zo’n
grafiek op de uitwerkbijlage. Geef duidelijk aan hoe je de grafiek gemaakt
hebt.
, 
en 
.
