bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2-kruistabel , met c d waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering” Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering” X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering” Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot” − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering” noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Steeds minder bos
Volgens de Voedsel- en Landbouworganisatie van de Verenigde Naties
was de (totale) bosoppervlakte over de gehele wereld in 1990 ongeveer
4240 miljoen hectare (ha). Deze oppervlakte is in de periode 1990-2020
steeds kleiner geworden. Zie de tabel. Hierin worden drie perioden van
elk 10 jaar onderscheiden.
tabel
In de volgende twee vragen gaan we met gegevens uit de tabel op twee
manieren de bosoppervlakte in 2020 berekenen.
Neem aan dat de bosoppervlakte in elk van de drie onderscheiden
perioden lineair afnam.
13pLineaire functies 3p
Bereken met de bosoppervlakte in 1990 en met de gegevens in de kolom
‘verandering (in miljoen ha/jaar)’ de bosoppervlakte in 2020. Geef je
antwoord in een geheel aantal miljoen hectare.
Neem nu aan dat de bosoppervlakte in elk van de drie onderscheiden
perioden exponentieel afnam.
23pExponentiële functies en groei 3p
Bereken met de bosoppervlakte in 1990 en met de gegevens in de kolom
‘verandering (in%/jaar)’ de bosoppervlakte in 2020. Geef je antwoord in
een geheel aantal miljoen hectare.
De Verenigde Naties hebben in 2017 als doel gesteld dat de
bosoppervlakte in de wereld in 2030 met 3% gestegen moet zijn ten
opzichte van 2015.
We gaan ervan uit dat dit percentage bereikt moet worden door een vast
groeipercentage per jaar vanaf 2015. We kunnen op basis hiervan
berekenen hoe groot dit jaarlijkse groeipercentage dan moet zijn.
34pExponentiële functies en groei 4p
Bereken dit jaarlijkse groeipercentage. Geef je antwoord in één decimaal.
Er is ook onderzoek gedaan naar de bosoppervlakte die is verbrand. In
een wetenschappelijk artikel stond de onderstaande figuur over hoeveel
bosoppervlakte in de periode 2003-2012 is verbrand. In de figuur staan
tien meetpunten afgebeeld. Op basis van deze punten is een lijn
getrokken die zo goed mogelijk bij deze meetpunten past.
figuur verbrande bosoppervlakte (in miljoenen ha)
Voor deze lijn kan een formule worden opgesteld van de vorm:
B =... ⋅ t +...
Hierin is B de verbrande bosoppervlakte (in miljoenen hectare) en t het
aantal jaren na 2003. Op de puntjes moeten getallen komen te staan.
opgave 2Fitnesscentra
Op 1 januari 2015 telde Nederland 1970 fitnesscentra. Op 1 januari 2019
was dit aantal lineair gegroeid tot 2200 fitnesscentra.
Ga ervan uit dat ook in de jaren daarna het aantal fitnesscentra in
Nederland op dezelfde manier lineair blijft groeien.
54pLineaire functies 4p
Bereken op 1 januari van welk jaar er voor het eerst meer dan
3000 fitnesscentra in Nederland zullen zijn.
De fitnesscentra in Nederland hadden op 1 januari 2015 ruim 2,1 miljoen
klanten. Op 1 januari 2019 was dit opgelopen tot bijna 2,6 miljoen. Zie de
tabel. Hierin worden de fitnesscentra onderverdeeld op basis van het
aantal werknemers.
tabel aantal klanten (×1000) van fitnesscentra in Nederland
Iemand beweert dat de procentuele toename van het aantal klanten in de
periode van 1 januari 2015 tot 1 januari 2019 het grootst is bij
fitnesscentra met 10 of meer werknemers.
63pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Onderzoek of deze bewering juist is.
In de rest van deze opgave kijken we naar de ontwikkeling van het totaal
aantal klanten van de fitnesscentra in Nederland. We gaan op zoek naar
een formule waarmee deze ontwikkeling beschreven kan worden. De
formule moet voldoen aan de volgende eisen:
1 Op 1 januari 2019 zijn er 2,586 miljoen klanten.
2 Vanaf 1 januari 2019 neemt het aantal klanten steeds toe.
3 Op den duur bereikt het aantal klanten net niet de waarde van
3 miljoen.
Eerst kijken we naar formules van de vorm:
Hierin is N het aantal klanten (in miljoenen), t het aantal jaren
na 1 januari 2019 en b en g zijn getallen.
Formules van deze vorm kunnen niet tegelijkertijd aan alle drie de
genoemde eisen voldoen.
73pExponentiële functies en groei 3p
Leg voor elk van de drie genoemde eisen uit of formules van de vorm van
formule 1 er aan kunnen voldoen.
De volgende formule voldoet wel aan alle drie de eisen:
Hierin is N het aantal klanten (in miljoenen) en t het aantal jaren
na 1 januari 2019.
opgave 3Examenresultaten
In de onderstaande tabel staan voor twee examenjaren voor alle havo-
kandidaten het slaagpercentage en het aantal kandidaten per profiel.
tabel
2019 2020 slaag- aantal slaag- aantal percentage kandidaten percentage kandidaten (in %) (in %) natuur en techniek 91,4 11 142 97,2 10 509 natuur en gezondheid 86,3 11 708 97,2 11 868 economie en maatschappij 87,8 26 136 97,6 26 173 cultuur en maatschappij 88,1 5726 98,4 5904
102pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 2p
Leg uit waarom het niet zinvol is om bij de slaagpercentages in de tabel
de 95%-betrouwbaarheidsintervallen te vermelden.
In 2019 is er op de havo een verschil in het slaagpercentage tussen de
profielen natuur en techniek en cultuur en maatschappij. Er was geen
enkele leerling die beide profielen had.
114pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of dit verschil in
slaagpercentages tussen deze twee profielen groot, middelmatig of gering
is.
In de onderstaande figuur staan de frequentieverdelingen van de
gemiddelde SE-cijfers1) die de havo-kandidaten hebben behaald in 2019
en 2020.
figuur percentage havo-kandidaten dat een bepaald gemiddeld
SE-cijfer (van alle vakken) heeft behaald in 2019 en 2020
122pCentrum, spreiding en verdelingen 2p
Leg voor de grafiek van 2020 uit waarom er geen sprake is van een
normale verdeling.
Aan de hand van de figuur kan beredeneerd worden of het gemiddelde
van de gemiddelde SE-cijfers in 2020 lager of hoger was dan in 2019. Er
kan ook beredeneerd worden of de standaardafwijking van de gemiddelde
SE-cijfers in 2020 kleiner of groter was dan in 2019. Er zijn vier
mogelijkheden:
I In 2020 is het gemiddelde hoger en is de standaardafwijking groter
dan in 2019.
II In 2020 is het gemiddelde hoger en is de standaardafwijking kleiner
dan in 2019.
III In 2020 is het gemiddelde lager en is de standaardafwijking groter dan
in 2019.
IV In 2020 is het gemiddelde lager en is de standaardafwijking kleiner
dan in 2019.
133pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Welke van de vier genoemde mogelijkheden is juist? Licht je antwoord toe
met redeneringen.
Stel dat de verdeling van de gemiddelde SE-cijfers van de havo-
kandidaten in een bepaald jaar wel normaal verdeeld was, met
gemiddelde 6,2 en standaardafwijking 0,5.
143pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Bereken het percentage van de havo-kandidaten dat dan in dat jaar een
gemiddeld SE-cijfer tussen 5,7 en 7,2 zou hebben gehaald.
noot 1 SE staat voor schoolexamen. Het gemiddelde SE-cijfer is het gewogen gemiddelde
van de gemiddelde SE-eindcijfers van alle vakken waarbij ook een centraal examen
wordt afgenomen.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 4Palingen
Palingen zijn vissen die op de lijst van bedreigde diersoorten staan.
In Europa is de palingstand (het aantal palingen) in de periode
1950-2004 sterk gedaald. Dit is te zien aan de indexcijfers in de figuur.
De verticale as, waarop de indexcijfers staan, heeft een logaritmische
schaalverdeling. De indexcijfers geven aan hoeveel procent de
palingstand in een bepaald jaar is ten opzichte van een gekozen
basisjaar. Het basisjaar in de figuur is 1950, dus het indexcijfer van 1950
is 100. Het indexcijfer van 1969 is 32. Dit betekent dat in 1969 de
palingstand 32 procent is van de palingstand in 1950.
figuur indexcijfers palingstand in Europa 1950-2004
De rechte lijn in de figuur geeft de trend weer. Als het indexcijfer van de
palingstand in Europa precies volgens deze lijn zou afnemen,
dan zou er sprake zijn van een vast afnamepercentage per jaar.
155pExponentiële functies en groei 4p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken dit jaarlijkse afnamepercentage met behulp van de waarden voor
1960 en 1992 op deze lijn. Geef je antwoord in één decimaal.
Er wordt al jaren onderzoek gedaan naar het leven van palingen. Palingen
komen 6000 km van Nederland in de Sargassozee uit het ei en groeien uit
tot larven. Tijdens de reis met de Atlantische Golfstroom naar de
Europese kust ontwikkelen de larven zich tot glasaal. Vanuit de Noordzee
trekken de glasalen naar de Nederlandse binnenwateren om daar uit te
groeien tot volwassen palingen.
De lengte van een paling in Nederland kan benaderd worden met de
formule:
Hierin is L de lengte (in cm) en t de tijd (in jaren) die de paling in
Nederland doorbrengt.
Het gewicht van een paling tijdens zijn verblijf in Nederland kan benaderd
worden met de formule:
Hierin is G het gewicht (in grammen) en L de lengte (in cm).
Na een aantal jaren vertrekken de palingen uit Nederland en zwemmen ze
terug naar de Sargassozee om zich daar voort te planten. Mannelijke
palingen hebben bij hun vertrek uit Nederland een gewicht van ongeveer
148 gram.
174pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Evenredigheden en machtsverbanden 2p
Bereken met welk percentage het gewicht van deze paling moet
toenemen om ervoor te zorgen dat de conditie gelijk blijft.
Door de formules 2 en 3 te combineren, is een formule van de volgende
vorm af te leiden:
Hierin is C de conditie en L de lengte (in cm).
Het getal 0,2 in formule 4 is een afgerond getal.
183pFormules herleiden en omwerken 3p
Bereken dit getal in vier decimalen.
Voor de gemiddelde zwemsnelheid van een paling geldt:
Hierin is v de gemiddelde zwemsnelheid (in cm/s) en L de lengte (in cm).
Ga uit van een paling met een conditie van 0,191.
opgave 52,6 miljard T-rexen?
Er wordt veel onderzoek gedaan
naar T-rexen, een
dinosaurussoort die miljoenen
jaren geleden op aarde leefde en
nu is uitgestorven. Om te
berekenen hoeveel T-rexen er op
enig moment leefden, worden de
volgende aannames gedaan:
− Het leefgebied van de T-rexen
was steeds 2 miljoen vierkante
kilometer.
− Er leefden gemiddeld genomen steeds 10 T-rexen in een leefgebied
van duizend vierkante kilometer.
− Er hebben gedurende 2,5 miljoen jaar T-rexen op aarde geleefd.
− Een T-rex werd gemiddeld genomen 19 jaar oud.
Op basis van deze aannames hebben onderzoekers van de Berkeley-
universiteit in Californië berekend dat er dan in totaal zo’n 2,6 miljard
T-rexen op aarde geleefd moeten hebben.
De onderzoekers hebben aangegeven dat zij de gemiddelde leeftijd van
een T-rex niet heel precies hebben kunnen vaststellen. Het is dus
denkbaar dat T-rexen gemiddeld genomen geen 19 jaar, maar
bijvoorbeeld 21 jaar oud werden. Een hogere waarde van de gemiddelde
leeftijd van een T-rex zal leiden tot een lagere schatting van het aantal
T-rexen dat op aarde geleefd moet hebben.
Neem aan dat de gemiddelde leeftijd van een T-rex hoger dan 19 jaar is
geweest.
