Eindexamen wiskunde B havo 2006 tijdvak 2 (wiskunde B1)

opgave 1Toename lichaamsgewicht zwangere vrouw

Een vrouwenarts heeft van een zwangere vrouw gedurende de zwangerschap allerlei

gegevens verzameld. In tabel 1 staan enkele resultaten. Daaruit is onder andere af te lezen

dat deze vrouw als ze 25 weken zwanger is, sinds het begin van de zwangerschap 3030

gram zwaarder is geworden.

tabel 1

Aantal weken zwanger 15 25 35 40 Toename lichaamsgewicht in gram (afgerond op tientallen) 1520 3030 5990 8400

Het verband tussen het aantal weken zwangerschap en de gewichtstoename van deze vrouw

is vanaf de vijftiende week bij benadering exponentieel.

14p

Bereken de groeifactor per week van dit exponentiële verband.

Rond je antwoord af op twee decimalen.

De gewichtstoename van een zwangere vrouw wordt voor een deel veroorzaakt door het

gewicht van de ongeboren baby. Onderzoek toont aan dat vanaf week 20 dit gewicht elke

week ongeveer evenveel toeneemt.

In tabel 2 zijn gewichten weergegeven van het ongeboren kind van de vrouw van wie de

gewichtstoename in tabel 1 staat.

tabel 2

Aantal weken zwanger 20 25 35 40 Gewicht van het ongeboren kind in gram 523 1390 3120 3990

De formule F = a ⋅ t + b geeft bij benadering het verband weer tussen het gewicht van het

ongeboren kind en de duur van de zwangerschap. Hierin is t de tijd in weken dat de vrouw

zwanger is en F het gewicht van het ongeboren kind in gram.

24p

Bereken a en b met behulp van de gegevens in tabel 2.

Tijdens de zwangerschap van een andere vrouw zijn ook de gewichtstoename van de

moeder en het gewicht van het ongeboren kind door de vrouwenarts bijgehouden. De

gegevens zijn in formules verwerkt. De bijbehorende grafieken zijn in figuur 1 afgebeeld.

gewichts-9000 G toename in gram 8000 7000 G--F 6000 5000 4000 F 3000 2000 1000 0 20 25 30 35 40 45 aantal weken zwangerschap

figuur 1

De formules die bij deze zwangerschap horen zijn: G = 1450 ⋅ 2^0,1t−1,5 en F = 165t − 2875.

Hierin is t de duur van de zwangerschap in weken, G de gewichtstoename van de vrouw in

gram en F het gewicht van het ongeboren kind in gram.

In figuur 1 is met een stippellijn de grafiek getekend van het verschil van G en F.

Aan het eind van de zwangerschap wordt er veel vocht opgeslagen. Ook neemt het gewicht

van de vrouw toe door weefselvorming rond het ongeboren kind. Aan het eind van de

zwangerschap kunnen G en F wel 4000 tot 8000 gram verschillen.

35p

Bereken met behulp van de gegeven formules op welke dag na het begin van de

zwangerschap bij deze vrouw dit verschil voor het eerst meer dan 4000 gram is.

De grafiek van F en de verschilgrafiek snijden elkaar voor twee waarden van t. Op deze

twee tijdstippen geldt dat G twee keer zo groot is als F.

44p

Beredeneer dit zonder deze snijpunten met behulp van de formules uit te rekenen.

opgave 2Functies

Gegeven is de functie f ( x ) = x 4 − 16 . figuur 2 De grafiek van f snijdt de x -as in de punten ( − 2, 0) en (2, 0). In figuur 2 zijn de grafiek van f en de lijn y = 20 getekend.

→ Bereken exact voor welke waarden van x de grafiek van f tussen de x -as en de lijn y = 20 ligt. Door de grafiek van f omlaag te schuiven figuur 3 veranderen de snijpunten met de x -as in de punten ( − 3, 0) en (3, 0). In figuur 3 zijn de grafiek van f en de verschoven grafiek getekend.

→ Bereken over welke afstand de grafiek van f in deze situatie omlaag verschoven is. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt figuur 4 (2, 0) is de lijn k . De lijn m gaat door het punt ( − 2, 0) en is evenwijdig aan de lijn k (zie figuur 4).

→ Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van de lijn m . Door f ( x ) met x te vermenigvuldigen ontstaat de productfunctie g ( x ) = x 5 − 16 x . De grafiek van g heeft twee toppen, P en Q figuur 5 (zie figuur 5). In figuur 5 is ook lijnstuk PQ getekend.

→ Bereken de lengte van het lijnstuk PQ . Rond je antwoord af op één decimaal.

opgave 3Intelligentiequotiënt

Meting van het intelligentiequotiënt (IQ) gebeurt door middel van tests. Op grond van deze tests worden IQ-scores vastgesteld. De IQ-scores zijn bij benadering normaal verdeeld en hebben een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15. figuur 6 I Q 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 De grafiek in figuur 6 is ontleend aan het boek De polen van het intellect van J. Luning Prak uit 1948. In de figuur wordt onder andere vermeld dat 45% van de mensen een IQ heeft tussen 90 en 110.

→ Onderzoek of deze bewering in overeenstemming is met de gegeven waarden voor het gemiddelde en de standaardafwijking. In het boek De schaal van Richter en andere getallen uit 1990 stelt Hans van Maanen dat de IQ-scores normaal verdeeld zijn met een gemiddelde van 100 en dat 70% van de mensen een IQ heeft tussen 84 en 116. Uitgaande van deze gegevens kun je de standaardafwijking van de IQ-scores berekenen.

→ Onderzoek of deze berekening een standaardafwijking van ongeveer 15 oplevert. De Amerikaanse psycholoog James Flynn heeft aangetoond dat het gemiddelde van de IQ- scores bij het gebruik van dezelfde tests iedere tien jaar met drie punten toeneemt. De standaardafwijking blijft wel gelijk, namelijk ongeveer 15. Als men de grenzen voor zwakbegaafd, minder begaafd, enz. gelijk houdt, lijkt het alsof het aantal zwakbegaafden afneemt en het aantal knap-begaafden toeneemt. Daarom worden IQ-tests zo nu en dan vernieuwd. Mensen die een IQ hebben van 130 of meer heten knap-begaafd. Neem aan dat ze nu 2,5% van de totale bevolking vormen. Stel dat je de tests waarmee nu de IQ-scores bepaald zijn over 30 jaar zou gaan gebruiken.

→ Bereken hoeveel procent knap-begaafden je dan volgens Flynn zou krijgen. Mensen met een IQ-score van minder dan 70 heten zwakbegaafd. Bij vraag 12 gaan we uit van de volgende gegevens: • 20 jaar geleden had Nederland 14 400 000 inwoners en was 2,5% daarvan zwakbegaafd; • in de laatste 20 jaar is het aantal inwoners van Nederland gemiddeld met 0,63% per jaar toegenomen; Voor het vaststellen van de IQ-scores gebruikt men de IQ-tests die 20 jaar geleden ook gebruikt werden. De gemiddelde IQ-score is dan volgens Flynn toegenomen tot 106. De standaardafwijking is 15.

→ Bereken hoeveel het aantal zwakbegaafden is afgenomen ten opzichte van 20 jaar geleden als je rekening houdt met de bevolkingsgroei in die periode. Rond je antwoord af op duizendtallen.

opgave 4Paraboolvormig kunstwerk

In het kunstwerk op de foto komen twee

buizen voor. Je kunt daarin delen van een

bergparabool en een dalparabool herkennen.

De top T van de bergparabool is 13,0 meter

boven de grondlijn, die door de uiteinden A

en B van het kunstwerk gaat. De afstand AB

is 38,5 meter. In figuur 7 is het gedeelte van

de bergparabool in een assenstelsel getekend.

De punten A en B liggen op de x-as, T ligt op

de y-as.

Het gedeelte van de bergparabool in figuur 7

kan beschreven worden met een

functievoorschrift van de vorm: h(x) = a ⋅ x² + c.

Hierin zijn x en h(x) gegeven in meter en is h(x) ≥ 0.

Berekend kan worden dat a ≈ −0,0351 en c = 13,0.

134p

Toon dit aan.

145p

Iemand beweert dat in alle punten van de

grafiek van h de helling kleiner is dan 1.

Onderzoek met behulp van differentiëren of

hij gelijk heeft.

In figuur 8 zijn beide parabolische delen van

het kunstwerk weergegeven. Top S van de

dalparabool en top T van de bergparabool

liggen beide op de y-as en A en B liggen op

de x-as.

155p

De dalparabool snijdt de bergparabool in de

punten C en D met y-coördinaat 9,6. Door

deze twee punten kun je een lijn trekken. Het

stukje dalparabool CSD is het spiegelbeeld

van het bovenste deel CTD van de

bergparabool ten opzichte van deze lijn.

Bij de grafiek van het stuk dalparabool hoort

een funct

voorschrift van de vorm:

g(x) = ax + c

Bereken de waarden van a en c in deze

formule.

opgave 5Besmetting

Er wordt veel onderzoek gedaan naar mogelijkheden ter figuur 9 bestrijding en voorkoming van plantenziektes. De volgende vragen gaan over risico’s dat planten besmet raken. De situaties die we bekijken zijn daarbij sterk vereenvoudigd. In de eerste situatie bekijken we een veldje waarop men ’s ochtends 10 gezonde planten plant, in twee rijen van vijf. Zie figuur 9. We nemen aan dat elke gezonde plant per dag een kans van 0,3 heeft om besmet te raken.

→ Bereken de kans dat op de eerste dag alle planten van de linkerrij wel besmet raken en alle planten op de rechterrij niet besmet raken. Rond je antwoord af op vier decimalen. De tweede situatie gaat over een experiment waarbij op een zeker moment 40 gezonde planten aan besmetting blootgesteld worden. We nemen ook hier aan dat elke gezonde plant per dag een kans van 0,3 heeft op besmetting.

→ Bereken de kans dat op de eerste dag van het experiment meer dan 12 planten besmet zullen raken. We bekijken nu de kans op besmetting van een willekeurig plantje van de 40 gezonde planten na twee dagen. In figuur 10 is de bijbehorende kansboom afgebeeld. De kans dat alle 40 planten na twee dagen niet besmet zijn, is minder dan een miljardste.

→ Toon dit met een berekening aan. Bij ditzelfde experiment bekijken we twee willekeurig gekozen gezonde planten. X is het aantal daarvan dat na twee dagen besmet is. In tabel 3 is een deel van de bijbehorende kansverdeling ingevuld. tabel 3 Uitkomst X 0 1 2 Kans op uitkomst X

→ Bereken de kansen op de verschillende uitkomsten, neem deze tabel over en vul de kansen op de verschillende uitkomsten in. Voor de kans p dat een plant bij dit experiment in de eerste n dagen besmet zal raken, geldt de formule: p = 1 − 0,7 n . Voor het experiment worden weer 40 gezonde planten gebruikt.