opgave 1De wet van Moore
Eén van de belangrijkste onderdelen van de computer is de chip. Een chip is
een elektronische schakeling die uit vele duizenden transistors bestaat. Toch is
een chip niet groter dan een paar vierkante millimeter.
foto
In 1961 maakte men de eerste experimentele chip, bestaande uit 4 transistors.
Deze chip zie je sterk vergroot in de foto hierboven. Gordon Moore was een van
de mensen die bij het ontwerp van de chip betrokken waren. In 1965 voorspelde
hij dat het aantal transistors per chip exponentieel zou gaan groeien. Deze
voorspelling werd bekend als de wet van Moore.
Tot nu toe is gebleken dat er per twee jaar ongeveer een verdubbeling van het
aantal transistors op één chip optreedt. De formule voor de wet van Moore die
hierbij hoort, is:
Hierin is A het aantal transistors op één chip en t het aantal jaren vanaf 1961.
13pBereken uit hoeveel transistors één chip in 1975 volgens deze formule bestond.
Naarmate het aantal transistors per chip groter wordt, is er steeds minder ruimte
per transistor beschikbaar. Neem aan dat een bepaalde chip in 2004 een grootte
had van 8 mm2 en dat alle transistors een even grote oppervlakte op de chip in
beslag namen.
23pBereken met behulp van de formule voor de wet van Moore hoeveel vierkante
millimeter er maximaal beschikbaar was voor een transistor op deze chip.
Rond je antwoord in vierkante millimeter af op tien decimalen.
Het steeds meer transistors op 1 mm2 plaatsen heet miniaturisering. Volgens de
huidige wetenschappers kan deze miniaturisering niet onbeperkt doorgaan. Er
kunnen niet meer dan 107 transistors op één vierkante millimeter geplaatst
worden. Vanaf het moment dat die dichtheid bereikt wordt, zal de wet van Moore
niet meer geldig zijn.
Neem aan dat in de toekomst de chips een grootte van 8 mm2 hebben.
35pBereken vanaf welk jaar de wet van Moore niet meer geldig zal zijn volgens de
huidige wetenschappers.
In 1968 was Moore een van de oprichters van het bedrijf Intel dat vooral bekend
werd door een speciaal soort chip: de processor. De eerste Intel-processor werd
gemaakt in 1971. Hij bestond uit ongeveer 2250 transistors.
Men neemt aan dat het aantal transistors van één processor ook elke twee jaar
verdubbelt. De formule die hierbij hoort, is:
Hierin is P het aantal transistors van de processor en t het aantal jaren vanaf
1971.
Veronderstel dat, tegen de verwachting van de huidige wetenschappers in, de
formules voor A (het aantal transistors per chip) en P (het aantal transistors per
processor) onbeperkt blijven gelden.
46pBereken het aantal jaren verschil tussen de momenten waarop A en P de grens
van een miljard (109) overschrijden.
opgave 3Mobiele telefoon
Een mobiele telefoon werkt op een batterij. Zo’n telefoon kan vrij lang aanstaan
als je niet belt. De maximale tijd dat de mobiele telefoon aan kan staan zonder
gebruikt te worden, heet de stand-by-tijd. Als je wel belt, verbruikt de telefoon
meer energie. De batterij is dan sneller leeg.
figuur
Bij een telefoon op stand-by-stand met een moderne batterij wordt het
spanningsverloop benaderd door de formule
.
Hierin is V de spanning van de batterij in Volt en t de tijd in uur.
Op tijdstip t = 0 is de batterij vol.
De telefoon staat vanaf het ogenblik waarop de batterij net helemaal is
opgeladen stand-by totdat de spanning tot 0 is gedaald. In minuten nauwkeurig
is deze stand-by-tijd gelijk aan 141 uur en 39 minuten.
93pLaat dit met een berekening zien.
De spanning die de batterij levert, kun je aan de rechterkant van het scherm
aflezen. Als de batterij vol is, staan alle blokjes (nummers 1 t/m 4) aan. Zie de
figuur.
Bij een volle batterij bedraagt de spanning ongeveer 3,2 Volt.
Het aantal zichtbare blokjes wordt bepaald door het percentage van de
maximale spanning. Als het percentage minder dan 75% bedraagt, kan er niet
meer getelefoneerd worden en zijn alle blokjes uit. Zie onderstaande tabel.
tabel
Iemand laadt de batterij helemaal op. Vervolgens legt hij de telefoon in de
stand-by-stand weg. De telefoon wordt niet gebruikt. Na verloop van tijd gaat
blokje nummer 1 uit. Een tijd nadat blokje nummer 1 is uitgegaan, gaat
blokje nummer 2 uit. Juist op dat moment pakt hij de telefoon, ziet blokje
nummer 2 uitgaan en denkt dat de telefoon op de helft van zijn stand-by-tijd is.
Er zijn dan immers nog twee blokjes (nummers 3 en 4) van de vier zichtbaar.
105pOnderzoek met behulp van de gegeven formule of de telefoon op het moment
dat blokje nummer 2 uitgaat, op de helft van zijn stand-by-tijd is.
Bij een ouderwetse batterij neemt de spanning als de telefoon stand-by staat
lineair met de tijd af volgens de formule V = −0,01t + 3,2.
In deze formule is V de spanning van de batterij in Volt en t de tijd in uur.
We kijken nu naar het spanningsverloop van de ouderwetse en dat van de
moderne batterij als de telefoon stand-by staat.
Op tijdstip t = 0 zijn beide batterijen helemaal vol. Bij een spanning van 2,4
(Volt) of lager kan er niet meer getelefoneerd worden, omdat de spanning dan te
laag is. Bij de moderne batterij gebeurt dat na 124,9 uur. Bij de ouderwetse
batterij zal dat op een ander moment gebeuren.
113pBereken het tijdsverschil tussen de beide momenten waarna men de telefoon
niet meer kan gebruiken. Rond het antwoord af op hele uren.
opgave 4Pakjesspel
Een spel om met een groep mensen te spelen is het pakjesspel.
Bij dit spel heeft elke persoon van tevoren thuis drie pakjes gemaakt. Eén pakje
bevat een cadeautje van ongeveer € 2,-. De andere twee pakjes zijn nep en
bevatten iets zonder waarde. Dat kan bijvoorbeeld een kapotte pen of een leeg
rolletje plakband zijn.
Aan de buitenkant van het pakje is niet te zien of de inhoud echt of nep is.
Bij het begin van het spel worden alle pakjes op de vloer op een stapel gelegd
en alle personen gaan er in een kring omheen zitten.
Het spel bestaat uit twee rondes. In de eerste ronde wordt er om de beurt met
één dobbelsteen gegooid.
Er gelden de volgende regels:
Aantal gegooide ogen Actie voor de persoon 1 of 6 Neem één pakje van de stapel. 2 Neem twee pakjes van de stapel (of één pakje als er nog maar één pakje over is). 3 Neem één pakje van een andere persoon (indien mogelijk). 4 Geef één pakje van je eigen stapeltje weg aan een andere persoon (indien mogelijk). 5 Wijs een ander aan, die één reeds verkregen pakje aan iemand anders moet weggeven (indien mogelijk).
Indien een actie voor een persoon niet mogelijk is, is de volgende persoon aan
de beurt.
De eerste ronde is pas afgelopen als alle pakjes van de stapel zijn
weggenomen.
In deze eerste ronde worden de pakjes nog niet uitgepakt.
Een groep van 20 personen met 60 pakjes begint aan de eerste ronde.
123pBereken de kans dat de eerste drie personen die met de dobbelsteen gooien,
allemaal twee pakjes van de stapel moeten nemen.
Veronderstel nu dat de eerste vier personen die met de dobbelsteen gooien,
samen precies 4 pakjes van de stapel hebben genomen. Er zijn verschillende
manieren waarop dit gebeurd zou kunnen zijn. Enkele voorbeelden hiervan zijn:
− De eerste persoon heeft niets van de stapel mogen pakken. (0)
− De volgende persoon heeft twee pakjes mogen pakken.
− De laatste twee hebben elk één pakje van de stapel genomen. (1)
Kortweg: 0, 2, 1, 1.
Een andere manier met dezelfde aantallen pakjes is bijvoorbeeld: 1, 0, 1, 2.
Er bestaan nog meer manieren, bijvoorbeeld 2, 2, 0, 0.
134pLeg uit op hoeveel verschillende manieren vier personen samen precies
4 pakjes van de stapel konden nemen.
Iemand gooit in de eerste ronde van dit spel vier keer met de dobbelsteen.
145pBereken de kans dat deze persoon bij deze vier keer gooien één keer één pakje
van de stapel moet nemen en drie keer één pakje aan een ander zou moeten
geven.
Nu begint de tweede ronde waarin de pakjes worden opengemaakt.
Om de beurt wordt er nu door de 20 personen met twee dobbelstenen gegooid.
Er gelden de volgende regels:
Uitkomst van de worp Actie voor de persoon Totaal 7 ogen Geef, als je meer dan één ongeopend pakje hebt, er eentje weg. De ander maakt het open. Twee keer hetzelfde aantal ogen Neem één ongeopend pakje van een ander die meer dan één zo’n pakje heeft, en maak het open. Twee verschillende aantallen ogen (geen 7 in totaal) Maak één pakje van je eigen stapel open.
De eerste persoon gooit met de beide dobbelstenen.
153pBereken de kans dat hij één pakje van een ander mag openen en dat dit pakje
nep is.
Alle 20 personen hebben één keer gegooid met de beide dobbelstenen en
hebben nog minstens één ongeopend pakje over.
165pBereken de kans dat meer dan de helft van de groep bij de volgende beurt één
pakje van zijn eigen stapel mag openmaken. Rond je antwoord af op drie
decimalen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5Machtsfuncties en rechte lijn
In deze opgave gaat het over functies die de som zijn van een machtsfunctie
met een functievoorschrift van de vorm xp (met p > 1) en de
eerstegraadsfunctie k met het voorschrift k(x) = −6x + 5.
In onderstaande figuur zijn de grafieken van f en g, alsmede de lijn k getekend.
figuur
Zowel de lijn k als de grafieken van f en g gaan door het punt M(0, 5).
175pOnderzoek met behulp van differentiëren of de hellingen van deze drie grafieken
in dit punt gelijk zijn.
De grafiek van g snijdt de x-as in drie punten.
Het functievoorschrift van g is ook te schrijven als g(x) = (x −1)(x2 + x − 5).
184pBereken langs algebraïsche weg de exacte x-coördinaten van de drie snijpunten
van de grafiek van g met de x-as.
De grafiek van g heeft twee toppen A en B.
195pOnderzoek of het punt M(0, 5) exact het midden van lijnstuk AB is.
De functie h is gegeven door h(x) = xp − 6x + 5, waarin p > 1.
Voor p = 2 en p = 3 ontstaan de functies f en g.
Er is een waarde van p waarvoor geldt dat de grafiek van h de x-as snijdt in het
punt (2, 0).
204pBereken exact deze waarde van p.
