bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2009, tijdvak 2

opgave 1Kaas

Op foto 1 zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het
grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een
vlakke zijkant. De vorm van de vlakke zijkant bestaat bij benadering uit een
rechthoek van 30 cm bij 10 cm en twee halve cirkels met een diameter van
10 cm. Zie figuur 1.
30 10
foto 1
figuur bij de opgave
13p
Bereken de oppervlakte van de vlakke zijkant. Rond je antwoord af op een
geheel aantal cm2.
Als je verticaal door het midden van de kaas snijdt, kun je stukken kaas maken
zoals die ook op foto 1 te zien zijn. Bij een van de stukken kaas op foto 1 maken
de snijvlakken een hoek van 40° met elkaar.
Zo'n stuk wordt met een snijvlak op de bodem van een balkvormig doosje
gelegd. De binnenmaten van het grondvlak van het doosje zijn 20 cm bij 10 cm.
Zie figuur 2.
figuur 2
40 10 20
24p
Bereken hoe hoog de binnenkant van dit doosje minimaal moet zijn om dit stuk
kaas er in te laten passen. Geef je antwoord in een geheel aantal centimeters.
Het volume van hele kazen die de vorm hebben van de kaas op foto 1, kan
worden berekend met behulp van de volgende formule:
V = (1)/(6)π ⋅ h^3 + (1)/(8)π^2 ⋅ d ⋅ h^2 + (1)/(4)π ⋅ d^2 ⋅ h
Hierin is V het volume in cm3, h is de hoogte van de kaas in cm en d is de
zogeheten binnendiameter van de kaas in cm. Zie figuur 3.
figuur 3
d h
Iemand wil kazen maken met deze vorm. Het volume van een hele kaas moet
5000 cm3 zijn en de hoogte moet 8 cm zijn. De kaas wordt gerijpt in een kamer
van 3,50 m lang. Over de hele lengte van de kamer zijn planken tegen de muur
aan gemaakt waarop de kazen naast elkaar kunnen liggen. Zie foto 2.
foto 2
foto 2
36p
Bereken hoeveel van deze kazen er maximaal naast elkaar op een plank kunnen
liggen als ze worden neergelegd zoals op foto 2.
Als de binnendiameter 0 wordt, ontstaat een bolvormige kaas. De inhoud van
deze bolvormige kaas kun je ook uitrekenen met bovenstaande formule van V.
44p
Vul d = 0 in de formule van V in en werk de formule die hierbij ontstaat om tot
de bekende formule voor de inhoud van een bol met straal r.

opgave 2Atomium

Een bekend gebouw in Brussel is
foto
het Atomium. Zie de foto.
De constructie van het Atomium bestaat
uit 9 bollen die door buizen verbonden
zijn. Van deze 9 bollen liggen er 8 op de
hoekpunten van een kubus. De negende
bol ligt in het midden van deze kubus op
het snijpunt van de lichaamsdiagonalen.
De kubus steunt op een van de
hoekpunten zo dat het middelpunt van
de kubus recht boven het steunpunt ligt.
De bollen van het Atomium hebben een
diameter van 18 meter.
foto
In figuur 1 is een model van het atomium
te zien. Als de bollen van het Atomium als punten worden beschouwd en de
buizen als lijnen, dan ziet het Atomium er schematisch uit zoals in figuur 2.
figuur 1
figuur 2
figuur 1
G H C F M D E B A
Van 2003 tot 2005 heeft men gewerkt aan de renovatie van het Atomium. Hierbij
is de bekleding van aluminium platen aan de buitenkant van de bollen
vervangen door platen van roestvrij staal.
Er zijn plaatsen waar geen roestvrij staal aangebracht hoefde te worden.
Dat zijn:
− de plaatsen waar een buis aan een bol vastzit. De oppervlakte van één zo’n
aanhechting is 7 m2.
− de ramen, de trapaanhechtingen en het steunpunt van de onderste bol, met
een gezamenlijke oppervlakte van 750 m2.
54p
Bereken de totale oppervlakte van de roestvrijstalen bekleding van de bollen.
Door de stand van de kubus liggen de punten F, H en C van het schematische
model van figuur 2 op dezelfde hoogte. Ook de punten B, E en D liggen even
hoog.
Op de uitwerkbijlage is, op schaal, een begin gemaakt met het bovenaanzicht
van het model in figuur 2.
64p
Maak dit bovenaanzicht verder af. Zet de namen van alle punten erbij.
In enkele bollen van het Atomium zijn twee verdiepingen aangebracht. De
oppervlakten van de vloeren van de beide verdiepingen zijn even groot. Zie
figuur 3. De straal van de bol is 9 meter.
figuur 3
Afstand
De oppervlakte van de vloer van een verdieping is 240 m2.
75p
Bereken de afstand tussen de twee verdiepingen.

opgave 3Product van twee sinusoïden

De functie f is gegeven door f(x) = 2sinx ⋅ (1 + sin x) met domein [0, 1(1)/(3)π].
De afgeleide van deze functie is te schrijven als f'(x) = 2cosx ⋅ (1 + 2sinx)
84p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Op het interval [0, 1(1)/(3)π] heeft de functie f één minimum en één maximum.
96p
Bereken exact dit minimum en dit maximum.

opgave 4Sluipwespen

Larven kunnen grote schade toebrengen
foto
aan gewassen. Larven kunnen milieuvriendelijk
bestreden worden met sluipwespen. Een
sluipwesp legt een eitje in de larve waardoor de
larve uiteindelijk dood gaat. Een onderzoeker
wilde weten hoeveel larven één sluipwesp
maximaal per dag kan bestrijden.
foto
Om dit te onderzoeken werd één sluipwesp in een grote afgesloten ruimte met
larven gezet. Na één dag werd geteld hoeveel larven er in totaal in de ruimte
waren. Dit aantal noemen we L. Ook werd geteld hoeveel larven er een eitje
bevatten. Dit aantal wordt E genoemd. Het experiment werd zes maal
uitgevoerd. De resultaten (stippen) zijn te zien in figuur 1.
figuur 1
60 E 40 20 0 0 50 100 150 200 250 300 L
Het verband tussen E en L kan redelijk worden benaderd door de formule
E = 64 ⋅ (1 − 0,60,02L)
In figuur 1 is de grafiek van E gestippeld. Uit de figuur valt af te lezen dat bij
L = 100 het aantal larven met eitjes volgens de formule nogal afwijkt van het
gemeten aantal larven met eitjes.
103p
Bereken bij L = 100 het verschil tussen het aantal larven met eitjes volgens de
formule, afgerond op een geheel aantal larven, en het gemeten aantal larven
met eitjes.
De formule is een hulpmiddel om te schatten hoeveel larven maximaal per dag
door één sluipwesp kunnen worden bestreden. Volgens de formule kan het
aantal larven met eitjes E niet boven een bepaalde grenswaarde uitkomen.
114p
Beredeneer hoe groot deze grenswaarde is, door in de formule het aantal larven
L te laten toenemen tot zeer grote waarden.

opgave 5Gebroken functie met rechthoek

De functie f is gegeven door f(x) = (1)/(x) + 1
figuur 1
123p
met x > 0.
Op de grafiek van f wordt een punt B gekozen.
Daarna worden punt A op de x-as en punt C op
de y-as zodanig gekozen dat vierhoek OABC
een rechthoek is. Zie figuur 1.
Van een punt B is gegeven dat de
y-coördinaat (4)/(3) is.
Bereken exact de omtrek van rechthoek OABC
in deze situatie.
Voor elk punt B(b,(1)/(b) + 1) op de grafiek van f is
de oppervlakte van rechthoek OABC groter
y B C O A x
dan 1.
133p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
144p
De raaklijn aan de grafiek van f in een punt B
heeft een richtingscoëfficiënt van − (1)/(2).
Zie figuur 2.
Bereken exact de x-coördinaat van punt B in
deze situatie.
figuur 2 y B O x

opgave 6Bumpersticker

In het verkeer zie je regelmatig auto’s met bumperstickers. Een veel voorkomende sticker is er een in de vorm van een visje zoals te zien is op de foto. Dit visje is opgebouwd uit twee even grote cirkelbogen die in een gemeenschappelijk punt beginnen en elkaar in een tweede punt snijden. Zie figuur…

In het verkeer zie je regelmatig auto’s met bumperstickers. Een veel voorkomende sticker is er een in de vorm van een visje zoals te zien is op de foto. Dit visje is opgebouwd uit twee even grote cirkelbogen die in een gemeenschappelijk punt beginnen en elkaar in een tweede punt snijden. Zie figuur 1. Ook is in deze figuur te zien dat het visje precies wordt omsloten door een rechthoek. foto figuur 1 In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een rechthoek past met een breedte van 10 cm en een hoogte van 4 cm. Om het visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten wat de straal is van de bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn. figuur 2 In figuur 2 zijn de rechthoek en een deel van de onderste cirkel getekend. Er geldt het volgende: - AB = CD = 10 cm - AD = BC = 4 cm - E is het midden van AD - G is het midden van FH - DH = EG = AF = p cm - De straal van de cirkelboog

Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MGE kan een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden
Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot r = ¼ p 2 + 1 . Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MBF een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot II p 2 − 20 p + 116 − 8 r = 0 De in vergelijking I…

Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot r = ¼ p 2 + 1 . Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MBF een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot II p 2 − 20 p + 116 − 8 r = 0 De in vergelijking I gegeven uitdrukking voor r kan in vergelijking II worden gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt tot III p 2 + 20 p − 108 = 0

Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om tot p 2 + 20 p − 108 = 0 . Op de uitwerkbijlage is een rechthoek van 10 cm bij 4 cm getekend. Om daarin een visje te kunnen tekenen, heb je de waarden van p en r nodig. Deze kunnen worden berekend door eerst…

Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om tot p 2 + 20 p − 108 = 0 . Op de uitwerkbijlage is een rechthoek van 10 cm bij 4 cm getekend. Om daarin een visje te kunnen tekenen, heb je de waarden van p en r nodig. Deze kunnen worden berekend door eerst vergelijking III op te lossen en daarna de gevonden waarde van p in vergelijking I in te vullen.

Bereken de waarden van p en r en teken daarmee een visje in de rechthoek op de uitwerkbijlage. Geef duidelijk uitleg over je werkwijze. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Wortelfunctie en raaklijn

De functie f is gegeven door f(x) = 4 √(9 + 3x). Lijn m is de raaklijn aan de grafiek
van f in het punt S(9, 24). Zie figuur 1.
figuur 1
y m f S B A O x
De richtingscoëfficiënt van lijn m is 1.
184p
Toon dit door middel van differentiëren aan.
De grafiek van f snijdt de y-as in punt A. De lijn m snijdt de y-as in punt B. Zie
figuur 1.
195p
Bereken exact de oppervlakte van driehoek ASB.