bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2022, tijdvak 2

opgave 1Logaritme en parabool

De functie f wordt gegeven door f(x) = 3 +2 log(x + 4).
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A.
13p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaat van A.
Het functievoorschrift f(x) = 3 +2 log(x + 4) is te herschrijven in de vorm
f(x) =2 log(ax + b).
22p

Formules herleiden en omwerken 2pexact

Bereken exact de waarden van a en b.
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S.
De grafiek van f heeft een verticale asymptoot. Deze asymptoot snijdt de
x-as in het punt T.
De functie g is een kwadratische functie. De grafiek is dus een parabool.
Punt T is de top van de parabool. De parabool gaat bovendien door S.
Zie de figuur.
figuur
figuur

opgave 2Gooilandkaart

In 1723 heeft landmeter M. Walraven onderstaande kaart van het Gooi
gemaakt. De hoekpunten van de driehoeken op de kaart zijn vaak de
kerktorens van de dorpen. Met behulp van een hoekmeetinstrument heeft
Walraven enkele hoeken zeer nauwkeurig opgemeten. Verder zijn twee
hemelsbrede afstanden bepaald. Met het netwerk van driehoeken op de
kaart kunnen zo de afstanden tussen de kerktorens berekend worden.
In 1723 zijn de volgende metingen gedaan:
− De afstand tussen (de kerktorens van) Laren en Hilversum is
5060 meter.
− De afstand tussen (de kerktorens van) Naarden en Huizen is
4810 meter.
− De hoek tussen Laren-Hilversum en Laren-Naarden is 90,9°.
− De hoek tussen Hilversum-Laren en Hilversum-Naarden is 49,3°.
− De hoek tussen Naarden-Huizen en Naarden-Laren is 47,7°.
Zie de figuur. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur
figuur
46puitwerkbijlage

Sinusregel en cosinusregel 6pGR mag

Bereken de afstand tussen (de kerktorens van) Huizen en Hilversum.
Geef je eindantwoord in tientallen meters nauwkeurig. Je kunt bij het
beantwoorden van deze vraag de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.

opgave 3Wortel en cirkel

De functie wordt gegeven door . In figuur 1 is de grafiek
van f weergegeven.
figuur 1
figuur 1
De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een horizontale
translatie en een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as.
53p

Transformaties van grafieken 3pGR mag

Geef aan welke translatie en vermenigvuldiging dit zijn en in welke
volgorde ze moeten worden toegepast.
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A(0,2). De lijn k is de raaklijn
aan de grafiek van f in A. De lijn l snijdt lijn k loodrecht in A. Het punt M is
het snijpunt van l met de x-as.
De cirkel c heeft punt M als middelpunt en raakt de grafiek van f in
punt A. Lijn k is dus ook de raaklijn in A aan c.
De punten P en Q zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
67p

Kettingregel 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2p · Raaklijnen aan grafieken 1p · +2exact

Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.

opgave 4Sinusoïden en somfunctie

De functies f en g worden
figuur 1
gegeven door:
f(x) = 1 + 3sin(2x)
g(x) = 1 + 3cos(2x)
Het punt P is de eerste top van
de grafiek van f rechts van de
y-as en het punt R is de eerste
top van de grafiek van g rechts
van de y-as.
Zie figuur 1, waarin ook het
lijnstuk PR getekend is.
figuur 1
74p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 3p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in
twee decimalen.
De grafiek van de somfunctie
figuur 2
h(x) = f(x) + g(x) blijkt ook een
sinusoïde te zijn. Zie figuur 2.
figuur 2
Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
h(x) = p + q ⋅ cos(r(x − s))
87p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 5p · Extremen en optimaliseren 2pGR mag

Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden,
indien nodig, in twee decimalen.

opgave 5Luchtvervuiling

De Air Quality Index (AQI) is een waarde die overheden gebruiken om
aan te geven hoe vervuild de lucht is: hoe hoger de AQI, des te sterker is
de luchtvervuiling. De AQI wordt berekend uit de ozonconcentratie C
in ppm. De ppm is een veelgebruikte eenheid voor concentratie.
Men heeft de mogelijke waarden van de AQI in categorieën opgedeeld.
In de tabel is voor elke categorie luchtkwaliteit te zien welke waarden
van C en de AQI daarbij horen. Zo is de laagste waarde van de AQI in
de categorie ‘gemiddeld’ gelijk aan 50 en dat is het geval als C = 0,065.
tabel
categorie luchtkwaliteit C ( ppm ) AQI goed 0 – 0,065 0 – 50 gemiddeld 0,065 – 0,085 50 – 100 ongezond voor kinderen en ouderen 0,085 – 0,105 100 – 150 ongezond 0,105 – 0,125 150 – 200 erg ongezond 0,125 – 0,375 200 – 300
Binnen elke afzonderlijke categorie is er een stijgend lineair verband
tussen de AQI en C.
Op een bepaalde plek wordt een ozonconcentratie gemeten van
0,20 ppm.
94p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Lineaire functies 2pGR mag

Bereken de bijbehorende AQI. Geef je eindantwoord als geheel getal.
In plaats van de concentratie in ppm te geven, kan deze ook in milligram
per kubieke meter (mg/m3) gegeven worden. Als de temperatuur bekend
is, kan de concentratie van ppm naar mg/m3 omgerekend worden.
Daarvoor geldt de volgende formule:
C_m_g_/_m_3 = (584,976 ⋅ Cppm)/(273,15 + T) met T de temperatuur in graden Celsius
Op zeker moment in 2015 werd in Amsterdam een ozonconcentratie van
0,0612 mg/m3 gemeten. De temperatuur was op dat moment
20 graden Celsius.
104p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bepaal de categorie luchtkwaliteit op dat moment.
Als de temperatuur constant 25 graden blijft, dan is het verband tussen
Cppm en Cmg/m3 recht evenredig.
113p

Evenredigheden en machtsverbanden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken de evenredigheidsconstante als Cppm wordt uitgedrukt in Cmg/m3
bij een temperatuur van 25 graden Celsius. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.

opgave 6Minimale omtrek

De functie f wordt gegeven door f(x) = (3)/(x3) met x > 0.
Punt P is een willekeurig punt op de grafiek van f. Bij zo’n punt P kun je
een rechthoek tekenen met horizontale en verticale zijden en hoekpunten
P en O. In figuur 1 is de rechthoek getekend als P het punt (1,3) is en in
figuur 2 is de rechthoek getekend als P het punt (2,(3)/(8)) is.
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
De omtrek van de rechthoek in figuur 1 is groter dan de omtrek van de
rechthoek in figuur 2. De omtrek is dus afhankelijk van de keuze van P.
Je kunt P zó op de grafiek van f kiezen, dat de omtrek van de
bijbehorende rechthoek minimaal is.
126p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Extremen en optimaliseren 1p · +2exact

Geef een formule voor de omtrek en bereken daarmee exact de
coördinaten van het punt P, zó dat de omtrek van de bijbehorende
rechthoek minimaal is.

opgave 7Een raaklijn en een evenwijdige lijn door O

De functie f wordt gegeven door f(x) = − 2 + √(8 + x). Het punt A is het
snijpunt van de grafiek van f met de x-as. De lijn k raakt de grafiek
van f in het punt A. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Een vergelijking van k is y = (1)/(4)x + 1.
135p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Raaklijnen aan grafieken 2p · Kettingregel 1pexact

Bewijs dit.
Het punt B is het randpunt van de grafiek van f. Lijn l is de lijn door B en
de oorsprong O. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
Lijnen k en l zijn evenwijdig.
154p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 3p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de afstand tussen k en l.

opgave 8Daglengte

De daglengte is het aantal uren tussen zonsopgang en zonsondergang.
De daglengte verandert in de loop van het jaar en varieert ook per plaats
op aarde.
Gedurende een jaar is voor elke dag in Luxemburg de daglengte bepaald.
Bij deze waarnemingen is een zo goed mogelijk passend model opgesteld
en vervolgens is daarbij de grafiek getekend. Zie de figuur. Hierbij is de
daglengte L in Luxemburg in uren gegeven als functie van de tijd t in
dagen met t = 0 op 1 januari.
Het functievoorschrift dat bij dit model hoort, ziet er als volgt uit:
L(t) = 12 + 4,1⋅ sin(a(t − b))
figuur
figuur
De periode van het model is 365 dagen en de langste dag is op t = 168.
162p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 2pGR mag

Bepaal de waarden van a en b. Geef de waarde van a in drie decimalen
en de waarde van b als geheel getal.
De toename van de daglengte volgens het model is het grootst als de
helling van de grafiek van L maximaal is. Met behulp van de figuur op de
uitwerkbijlage kun je de maximale helling bepalen.
173puitwerkbijlage

Helling en snelheid met de afgeleide 2p · Tekenen en construeren in een figuur 1pGR mag

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de maximale helling
van de grafiek van L. Geef je eindantwoord in hele minuten per dag.

opgave 9Vierkant en halve cirkel

Het punt A(−3,3) ligt op lijn l met vergelijking y = − x en het
punt B(3,3) ligt op lijn k met vergelijking y = x.
Door de punten A en B gaat een halve cirkel met diameter AB en
middelpunt M.
Voor vierkant OPQR geldt:
− R ligt op l en P ligt op k.
− Zijde PQ raakt de halve cirkel in het punt K.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
figuur
185puitwerkbijlage

Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · +1exact

Bereken exact de coördinaten van K. Je kunt hierbij de figuur op de
uitwerkbijlage gebruiken.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.