opgave 1Startende ondernemingen
In Nederland starten elk jaar ongeveer 50 000 bedrijven. Sommige van deze startende
bedrijven verdwijnen weer snel, andere overleven langere tijd. De Kamers van Koophandel
houden de gegevens hierover nauwkeurig bij. Op basis hiervan is in figuur 1 weergegeven
hoeveel procent van deze bedrijven na een aantal jaren verdwenen is.
Startende ondernemingen Ieder jaar worden er in ons land zo'n 50000 nieuwe bedrijven opgericht. Na 9 jaar is 60% van de bedrijven alweer opgeheven. percentage60 opgeheven 50 bedrijven 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 aantal jaren na de start
figuur 1
We maken een wiskundig model. In dit model gaan we ervan uit dat elk bedrijf elk jaar
dezelfde vaste overlevingskans heeft. Uit figuur 1 kun je afleiden dat een startend bedrijf
40% kans heeft om de eerste 9 jaar te overleven. Op grond hiervan kan de jaarlijkse vaste
overlevingskans van startende bedrijven worden berekend.
14p
Bereken deze jaarlijkse overlevingskans in vier decimalen nauwkeurig.
In de volgende twee vragen gaan we uit van een jaarlijkse overlevingskans van 0,9.
24p
Bereken de kans dat een startend bedrijf na 4 jaar nog bestaat en onderzoek of deze
uitkomst in overeenstemming is met de gegevens van figuur 1.
Bij een steekproef worden uit de landelijke gegevens van de Kamers van Koophandel
willekeurig 50 startende bedrijven geselecteerd.
34p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat van de 50 startende bedrijven na 1 jaar
minstens 45 bedrijven nog bestaan.
Gemeente A heeft door goede begeleiding van startende bedrijven weten te bereiken dat de
jaarlijkse overlevingskans voor die bedrijven in deze gemeente op 0,95 uitkomt. Het beleid
is erop gericht dat in deze gemeente jaarlijks 144 bedrijven starten. Een ambtenaar heeft
namelijk berekend dat er dan ‘een heel grote kans’ is dat na 5 jaar ten minste 100 van deze
bedrijven nog bestaan.
45p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe groot die kans is.
Volgens figuur 1 is de kans 0,60 dat een startend bedrijf in Nederland binnen 9 jaar al weer
is opgeheven. Ondanks het feit dat Nederland en België in economisch opzicht als gevolg
van Europese regelgeving steeds meer op elkaar zijn gaan lijken, bestaat het vermoeden dat
deze kans in België groter is dan 0,60. Om dit vermoeden te onderzoeken, neemt men uit de
verzamelde Belgische gegevens een aselecte steekproef van 925 startende bedrijven.
Daarvan blijken er 581 binnen 9 jaar te zijn opgeheven.
57p
Onderzoek of dit resultaat het vermoeden bevestigt dat in België de kans dat een startend
bedrijf binnen 9 jaar is opgeheven, groter is dan 0,60. Gebruik een significantieniveau van
0,05.
opgave 2Records
De ontwikkeling van records in de sport is vaak onderzocht. In kranten en tijdschriften
worden grafieken getoond waarin die ontwikkeling zichtbaar wordt. In figuur 2 zie je zo’n
grafiek. Het gaat om de 100 meter hardlopen voor mannen. De recordtijden zijn in
seconden.
figuur 2
Door de ontwikkeling over een langere periode te bekijken is het wellicht mogelijk om
voorspellingen te doen voor de verdere ontwikkeling.
Iemand heeft, uitgaande van het vanzelfsprekende feit dat elk wereldrecord beter moet zijn
dan het vorige, een model opgesteld voor de ontwikkeling van het wereldrecord op de
100 meter hardlopen voor mannen:
Wt = 0,999 ⋅Wt−1 met W0 = 10,4
Hierin is Wt het wereldrecord t jaar na 1921. Dus t is de tijd in jaren en t = 0 komt overeen
met 1921.
Dit model is tot en met 1968 een redelijke benadering van de werkelijkheid. Daarna zijn de
tijden volgens het model lager dan de werkelijke tijden.
65p
Hoeveel procent wijkt het wereldrecord volgens het model in 1999 af van de werkelijkheid?
De tijden volgens het bovenstaande model zouden op den duur in de buurt van 0 seconden
komen. Omdat dat niet realistisch is, heeft men het volgende nieuwe model opgesteld, dat
ook na 1968 redelijk goed past bij de gegevens uit figuur 2:
Wt = 0,9918 ⋅Wt−1 + 0,075 met W0 = 10,4
Hierbij is t weer de tijd in jaren en komt t = 0 overeen met 1921.
Volgens dit nieuwe model is in 2000 het wereldrecord 9,80 seconden.
73p
Bereken welke recordtijd dit nieuwe model voor het jaar 2010 voorspelt. Geef je antwoord
in 2 decimalen nauwkeurig.
Ook volgens dit nieuwe model zullen de recordtijden steeds lager worden. Maar op den
duur zullen de records nauwelijks meer veranderen; ze naderen tot een evenwichtswaarde.
86p
Maak een schets van de webgrafiek bij het nieuwe model. Leg uit hoe je in deze webgrafiek
ziet dat de recordtijden steeds lager worden en bereken de evenwichtswaarde.
opgave 3Hoogte van werkplaatsen
De Arbeidsomstandighedenwet schrijft voor dat bij het bouwen en inrichten van
werkplaatsen rekening wordt gehouden met de gezondheid, de veiligheid en het welzijn van
de mensen die er werken. Het ‘Handboek Ergonomie’ geeft op basis daarvan richtlijnen
voor de hoogte van werkplaatsen.
Een belangrijk criterium is de hoeveelheid vrije luchtruimte per persoon: dat is de ruimte
die per persoon beschikbaar is, buiten de ruimte die de personen zelf innemen.
Het Handboek Ergonomie noemt twee voorwaarden. Voorwaarde A geeft aan hoeveel vrije
luchtruimte er ten minste per persoon moet zijn, voorwaarde B zegt hoeveel daarvan zich
boven een hoogte van 1,80 m moet bevinden. Zie tabel 1. De twee voorwaarden voor
werkplaatsen met maximaal 9 personen worden in figuur 3 nog een keer toegelicht.
werkplaats voor werkplaats voor meer
maximaal 9 personen dan 9 personen
boven 1,80 m
figuur 3
We nemen aan dat een persoon zelf 0,5 m3 aan ruimte inneemt en niet langer is dan 1,80 m.
Van een bepaalde werkplaats is het vloeroppervlak 40 m2 en de hoogte 2,50 m. Er werken
9 mensen.
93p
Laat met een berekening zien dat deze werkplaats iets minder dan 11 m
3 vrije luchtruimte
per persoon bevat, waarvan ruim 3 m3 boven 1,80 m.
Een architect ontwerpt een werkplaats. De hoogte van de werkplaats is 3 m. Omdat nog niet
vaststaat voor hoeveel personen de werkplaats bestemd is, berekent hij voor verschillende
aantallen personen hoe groot het vloeroppervlak volgens tabel 1 ten minste moet zijn.
Hij berekent steeds eerst bij welk vloeroppervlak aan voorwaarde A is voldaan. Het valt
hem op dat dan telkens ook aan voorwaarde B is voldaan. Dit blijkt voor elk aantal
personen te gelden. We gaan dit alleen na voor meer dan 9 personen.
105p
Toon met een berekening aan dat voor alle werkplaatsen met een hoogte van 3 m die
bestemd zijn voor meer dan 9 personen, geldt: als aan voorwaarde A voldaan is, dan is ook
aan voorwaarde B voldaan.
Volgens tabel 1 zou een werkplaats lager mogen zijn naarmate het vloeroppervlak groter is.
Om te voorkomen dat een ruimte te laag wordt, geeft het Handboek ook nog voorwaarden
voor de hoogte. Zo moet een werkplaats met een vloeroppervlak van 200 m2 een hoogte van
ten minste 2,70 m hebben.
In de rest van deze opgave kijken we naar een werkplaats met een vloeroppervlak van
200 m2. We noemen de hoogte van zo’n werkplaats h (in meters).
Uit de voorwaarden in tabel 1 volgt dat h afhangt van het aantal personen x waarvoor de
werkplaats bestemd is.
Volgens bovengenoemde voorwaarde uit het Handboek is h ≥ 2,70. Bij meer dan 9 personen
kunnen we de voorwaarden nu weergeven in de volgende drie formules:
114p
Laat zien hoe de formule
h ≥ 0,014
x +1,80 volgt uit voorwaarde B in tabel 1.
In figuur 4 is voor elke waarde van x aangegeven hoe groot h mag zijn. Het toegestane
gebied is grijs aangegeven. Omdat x een aantal personen voorstelt, hebben alleen gehele
waarden van x betekenis.
figuur 4
In figuur 4 kun je zien dat voor kleine waarden van x de voorwaarde h ≥ 2,70 de strengste
voorwaarde is: als daaraan is voldaan, is zeker aan de andere twee voorwaarden voldaan.
Het komt ook voor dat voorwaarde B uit tabel 1 de strengste voorwaarde is.
126p
Onderzoek bij welke aantallen personen dat het geval is.
opgave 4Vliegtuiglawaai
Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten
is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten
worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.
De geluidsbelasting B op een plaats in de buurt van een vliegveld hangt af van het aantal
vliegtuigen dat per jaar passeert en van het geluidsniveau van elk vliegtuig. In deze opgave
nemen we aan dat er geen onderlinge verschillen tussen vliegtuigen zijn wat het
geluidsniveau betreft. Het geluidsniveau per vliegtuig geven we aan met L. Door nieuwe
technieken is het mogelijk dit geluidsniveau per vliegtuig steeds verder omlaag te brengen.
Het aantal vliegtuigen per jaar noemen we N. Voor enkele waarden van L is het verband
tussen N en B weergegeven in figuur 5.
figuur 5
Zoals gezegd is in milieuwetten vastgelegd hoe groot de geluidsbelasting in de buurt van
vliegvelden maximaal mag zijn: Bmax = 45.
De waarde van L is bepalend voor het maximaal toegestane aantal vliegtuigen, Nmax. In
figuur 5 lees je af dat voor L = 70 bij benadering geldt: Nmax = 270 000.
Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau L van vliegtuigen af,
zodat Nmax toeneemt.
133p
Toon aan dat uit figuur 5 blijkt dat een verlaging van het geluidsniveau van vliegtuigen
met 5 niet steeds leidt tot eenzelfde toename van Nmax.
De formule die het verband tussen L, N en B geeft is:
(1)
B = 20
⋅ log
N 
L −157
Voor L, het geluidsniveau per vliegtuig, geldt op zeker moment: L = 72.
Vanzelfsprekend zal een toename van het aantal vliegtuigen ook de geluidsbelasting doen
toenemen. Met behulp van de afgeleide
kun je onderzoeken in welke mate dat het geval
is. Men wil weten bij welke waarde van N een toename van 10 000 vliegtuigen de
geluidsbelasting met 1 zal doen toenemen.
146p
Stel een formule op voor
en gebruik
om deze waarde van
N te berekenen.
In 2001 werd een nieuwe milieuwet van kracht. Sindsdien wordt de geluidsbelasting met
een andere formule berekend:
(2) B = 10 ⋅ log N + L − 79
Nog steeds geldt dat de maximale geluidsbelasting, ongeacht de gehanteerde formule, 45 is.
Het maximaal toegestane aantal vliegtuigen kan nu geschreven worden als:
Nmax = 2,512 ⋅1012 ⋅ 0,794L
156p
Laat zien hoe dit volgt uit formule (2) en
Bmax = 45.
In 2001 gold L = 69. Formule (2) is zó bepaald dat de oude en de nieuwe formule in 2001
dezelfde geluidsbelasting gaven rond het vliegveld. Desondanks veroorzaakte deze nieuwe
formule veel discussie. We vergelijken de oude en de nieuwe situatie met elkaar. In figuur 6
is voor de oude formule (1) het verband tussen L en Nmax getekend. Let op de bijzondere
schaalverdeling op de horizontale as: de waarden van L nemen naar rechts af. Deze figuur
staat ook op de bijlage.
figuur 6
165p
Schets op de bijlage ook voor de nieuwe formule (2) het verband tussen
L en
Nmax en geef
een argument waarom milieugroepen, met betrekking tot het lawaai, kritiek hebben op de
nieuwe formule. Gebruik je figuur om je argument te onderbouwen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
