opgave 1Examenresultaten
Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B.
In 2000 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het
Centraal Examen wiskunde A was de maximale score 90 punten. Zoals bij elk examen
werden de behaalde resultaten onderzocht door middel van een grote landelijke steekproef.
Van de 2255 kandidaten in de steekproef was er één met 0 punten en één met 88 punten.
Niemand behaalde meer dan 88 punten. De uitkomst van de steekproef is in de vorm van
een cumulatieve frequentiepolygoon weergegeven in figuur 1. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
examenresultaten VWO wiskunde A 2000
Uit figuur 1 blijkt bijvoorbeeld dat 29% van de kandidaten een score van 45 punten of
minder behaalde.
13p
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel kandidaten een score hadden die hoger was
dan 65.
De uitkomst van de steekproef zou ook in de vorm van een boxplot weergegeven kunnen
worden.
25puitwerkbijlage
Maak zo’n boxplot met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe.
De gemiddelde score in deze steekproef was 52,5 punten, met een standaardafwijking van
14,7 punten.
Vóór de tweede fase kwam het vrij vaak voor dat iemand zowel in wiskunde A als in
wiskunde B examen deed. In deze steekproef gold dat voor 546 kandidaten. We noemen
deze groep voor het gemak de A&B-groep. De scores voor wiskunde A van deze
A&B-groep waren bij benadering normaal verdeeld, met een gemiddelde van 63,8 punten.
De leerlingen in de A&B-groep verschillen in aanleg voor wiskunde minder van elkaar dan
de leerlingen in de hele steekproef. Daarom is het waarschijnlijk dat hun scores een kleinere
spreiding vertonen.
Van de 546 kandidaten in de A&B-groep haalde 6% een onvoldoende, namelijk een score
35p
Onderzoek of hieruit volgt dat de standaardafwijking van de scores van de A&B-groep
kleiner is dan die van de hele steekproef.
Een docent bekijkt deze cijfers en is er helemaal niet van overtuigd dat de A&B-leerlingen
het zoveel beter deden dan alle A-leerlingen. Volgens hem is dat geringe aantal van
33 onvoldoendes veroorzaakt door de kleine steekproef van 546 kandidaten. Hij beweert dat
de A&B-leerlingen het net zo goed deden als alle A-leerlingen.
Ga bij de volgende vraag ervan uit dat 29% van alle wiskunde A-leerlingen een
onvoldoende scoorde voor het examen.
46p
Onderzoek of de bewering van de docent door de gegevens bevestigd wordt. Gebruik
daarbij een significantieniveau van 5%.
opgave 2Autobanden
De firma Nedtyre verkoopt een speciaal type autobanden aan garages, bandenspecialisten en
autospeciaalzaken. Jaarlijks verkoopt Nedtyre 4500 banden van dit type.
Nedtyre koopt deze banden in bij de Italiaanse bandenfabriek Carrelli. Om de voorraad op
peil te houden doet Nedtyre steeds bestellingen van 360 banden. We nemen aan dat de
verkoop gelijkmatig over het jaar verdeeld is. Men zorgt ervoor dat de nieuwe bestelling
telkens precies arriveert op het moment dat er geen banden meer in voorraad zijn. Dan zit er
telkens 0,08 jaar, dus iets minder dan een maand, tussen twee opeenvolgende bestellingen.
De voorraad autobanden verloopt volgens de grafiek in figuur 2.
figuur 2
De voorraadkosten zijn evenredig met het aantal banden dat in voorraad is. De kosten om
een band een jaar lang in voorraad te houden bedragen € 180.
53p
Toon aan dat de totale voorraadkosten volgens dit model € 32 400 per jaar bedragen.
De banden worden door Nedtyre voor € 70 per stuk verkocht. De inkoopprijs die Nedtyre
betaalt, is € 30 per band. Bij het berekenen van de winst moet ook rekening worden
gehouden met bovengenoemde voorraadkosten en met de leveringskosten. Deze
leveringskosten bedragen € 3500 per bestelling.
63p
Laat met een berekening zien dat uit het voorgaande volgt dat Nedtyre gemiddeld per band
een winst van ongeveer € 23,08 maakt. Je mag hierbij geen gebruik maken van de formule
die later in deze opgave vermeld wordt.
De leveringskosten van € 3500 gelden voor elke bestelling, ongeacht het aantal bestelde
banden. Ook het jaarlijks verkochte aantal van 4500 banden blijft voortdurend gelijk.
Nedtyre wil nu onderzoeken of de gemiddelde winst per band verhoogd kan worden door in
plaats van 360 banden een ander aantal banden per keer te bestellen. Hierdoor zouden de
totale kosten af kunnen nemen. Men maakt de volgende formule:
W = 40
0,02
x Hierin is W de gemiddelde winst per band in euro’s en x de bestelgrootte (het aantal banden
dat telkens wordt besteld).
75p
Toon aan dat deze formule voor iedere bestelgrootte
x juist is.
Nedtyre wil zo veel mogelijk winst per band maken.
85p
Stel de afgeleide van
W op en bereken met behulp daarvan bij welke bestelgrootte
x de
gemiddelde winst per band maximaal is.
opgave 3Bevolkingsgroei
De wereldbevolking neemt nog steeds toe, maar groeit niet in ieder werelddeel even hard.
Figuur 3 laat zien hoe men in 1984 verwachtte dat de bevolking zich zou ontwikkelen. Deze
figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
Ontwikkeling van de wereldbevolking,
onderverdeeld in acht regio's
3500 aantal West- en Zuid-Azië mensen (in miljoenen) 3000 AAAfffrrriiikkkaaa 2500 2000 VVVeeerrrrrreee OOOooosssttteeennn 1500 LLLaaatttiiijjjnnnsss---AAAmmmeeerrriiikkkaaa 1000 750 EEEuuurrrooopppaaa 500 SSSooovvvjjjeeettt---UUUnnniiieee 400 300 NNNoooooorrrddd---AAAmmmeeerrriiikkkaaa 200 100 OOOccceeeaaannniiiëë 0 19251950197520002025205020752100 tijd (in jaren)
In 2000 bedroeg de wereldbevolking 6,1 miljard mensen.
94puitwerkbijlage
Onderzoek of dit aantal in overeenstemming is met figuur 3. Gebruik daarbij eventueel de
figuur op de uitwerkbijlage.
Onlangs stelde iemand het volgende model op om een ruwe schatting van de toekomstige
wereldbevolking te maken:
Hierin is Bn de wereldbevolking in miljarden mensen en n het aantal eenheden van 10 jaar
na 2000. Dus B0 is de wereldbevolking in 2000, B1 de wereldbevolking in 2010, enzovoort.
De volgende vragen hebben betrekking op dit model.
Volgens dit model zal de wereldbevolking op de lange duur een grenswaarde bereiken.
104p
Onderzoek of de wereldbevolking volgens dit model in 2050 minder dan 10% van deze
grenswaarde verwijderd zal zijn.
Bij dit model kan een webgrafiek gemaakt worden. Zie figuur 4. Deze figuur staat vergroot
op de uitwerkbijlage.
113puitwerkbijlage
Teken de eerste drie stappen (dus van
B0 tot en met
B3) van de webgrafiek in de
bijbehorende figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe.
Of het model de toekomstige ontwikkeling redelijk beschrijft, moeten we nog afwachten.
Wel kunnen we controleren of het model in overeenstemming is met de ontwikkeling vóór
2000. Zo is te berekenen hoe groot volgens de formule voor Bn de wereldbevolking in 1990
was.
124p
Voer deze berekening uit.
opgave 4Orkanen
Orkanen zijn zeer zware stormen. Ze ontstaan boven de oceaan. Wanneer ze de kust
bereiken, kunnen ze enorme schade aanrichten. De zuidoostkust van de Verenigde Staten
wordt hier vrijwel elk jaar door geteisterd. In het gebied rond de Tampa Bay in Florida zijn
gedurende een lange periode alle zware stormen geregistreerd. Het staafdiagram in figuur 5
is hierop gebaseerd.
Je kunt bijvoorbeeld zien dat het in deze periode drie keer is voorgekomen dat het na een
zware storm 5
tot 6 jaar duurde tot de volgende zware storm.
10
8
6
4
134p
Laat door een berekening zien dat er ruim 110 jaar zit tussen de eerste en de laatste zware
storm waar figuur 5 betrekking op heeft.
Om bewoners van bedreigde kustgebieden tijdig te kunnen evacueren, doet het National
Hurricane Center om de zes uur een voorspelling over de plaats waar de orkaan zich 24 uur
later zal bevinden. Ook voorspelt het waar de orkaan 48 uur later en 72 uur later zal zijn.
Achteraf wordt van iedere voorspelling nagegaan hoe groot de afstand is tussen de
voorspelde plaats en de werkelijke plaats van de orkaan. Zo vindt men bij iedere
voorspelling een afwijking. Deze afwijkingen worden gemeten in zeemijlen (1 zeemijl =
1853 meter).
Elk jaar wordt het gemiddelde berekend van de afwijkingen van de 24-uurs-voorspellingen
en ook van de 48-uurs- en 72-uurs-voorspellingen. Deze gemiddelden zijn in figuur 6
weergegeven.
gemiddelde afwijking van de voorspelling
Het aantal voorspellingen verschilt sterk van jaar tot jaar. In 1970 is er slechts 3 keer een
72-uurs-voorspelling gedaan, in 1971 wel 118 keer. Ook de nauwkeurigheid van de
voorspellingen wisselt sterk. Iemand meent zich te herinneren dat in 1970 of 1971 bij één
van de 72-uurs-voorspellingen de afwijking wel 900 zeemijl was.
144p
Leg uit dat deze afwijking van 900 zeemijl niet in 1970 kan zijn voorgekomen.
In figuur 6 is te zien dat de 24-uurs-voorspellingen in de loop van de tijd steeds ‘beter’
worden. Om dit te bestuderen, worden twee modellen opgesteld.
Het volgende eenvoudige model stemt redelijk overeen met de werkelijkheid:
Hierbij is D de gemiddelde afwijking in zeemijlen en t de tijd in jaren vanaf 1970.
Op de lange termijn voldoet dit model niet meer omdat de gemiddelde afwijking volgens dit
eenvoudige model dan nul en zelfs negatief zou worden. Daarom is ook een ander model
opgesteld dat aan dit bezwaar tegemoet komt:
D 
52
154p
Onderzoek hoeveel de uitkomsten van deze twee modellen maximaal van elkaar verschillen
in de periode 1970-2010.
Men wil ook voor de 48-uurs-voorspellingen een model opstellen van de vorm
D 
b De opstellers stellen als voorwaarde dat de uitkomsten van dit model altijd groter moeten
zijn dan de uitkomsten van het overeenkomstige model voor de 24-uurs-voorspellingen.
Persoon I denkt dat het daartoe voldoende is om als eis te stellen: b > 52.
Persoon II is van mening dat behalve aan deze eis ook voldaan moet worden aan de eis:
a + b > 119,6.
Eén van beide personen heeft gelijk.
164p
Welke persoon heeft gelijk? Licht je antwoord toe.
