opgave 1Aandelen
Veel mensen beleggen in aandelen. Daarvoor geven ze een opdracht aan een
zogenoemde ‘broker’. Die regelt bij een opdracht de aankoop (of de verkoop)
van de door de klant gewenste aandelen. Voor het uitvoeren van een opdracht
brengt de broker kosten in rekening.
Broker Haag hanteert voor een opdracht een tarief volgens de volgende formule:
K = 0,0045 ⋅w + 4
Hierbij is K de kosten in euro en w de totale waarde van de aandelen in euro op
het moment van aankoop of verkoop.
De klant moet echter altijd ten minste € 12,- voor een opdracht betalen.
Een klant koopt via Haag 150 aandelen ABN die per stuk € 19,18 kosten. Een
tijd later is de waarde van deze aandelen gestegen naar € 21,44 per stuk. De
klant neemt het besluit alle aandelen via Haag te verkopen. Voor de berekening
van zijn winst houdt de klant rekening met de kosten van aankoop en verkoop.
14pBereken hoeveel winst de klant heeft behaald op de aandelen ABN.
Handelaar Van der Meulen is ook een broker. Hij hanteert als tarief:
K = 0,004 ⋅w + 7
Hierbij is K weer de kosten in euro en w de totale waarde van de aandelen in
euro op het moment van aankoop of verkoop.
De klant betaalt bij Van der Meulen per opdracht nooit meer dan € 46,-.
Als de totale waarde van de aandelen hoog genoeg is, nemen de kosten die Van
der Meulen in rekening brengt, niet verder meer toe.
24pBereken hoe groot de totale waarde van de aandelen dan ten minste moet zijn.
Als een klant een aandelenopdracht wil plaatsen waarvan de totale waarde
behoorlijk groot is, kan hij dat beter doen bij Van der Meulen dan bij Haag.
Immers, bij Van der Meulen is hij nooit meer kwijt dan € 46,-. In veel andere
gevallen is Haag echter goedkoper.
In de figuur op de uitwerkbijlage is een grafiek getekend van het verband tussen
de totale waarde van de aandelen en de kosten daarvan bij aankoop bij Van der
Meulen.
36puitwerkbijlageOnderzoek bij welke totale aandelenwaarden de klant met zijn opdracht
goedkoper uit is bij Haag dan bij Van der Meulen. Gebruik hierbij de figuur op de
uitwerkbijlage.
opgave 3Overleven
Verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen gebruiken zogenoemde
overlevingstafels. Aan de hand van die overlevingstafels kunnen zij bepalen hoe
lang verzekerden en pensioengerechtigden naar verwachting in leven zullen
blijven. Een overlevingstafel is een tabel waarin van een groep van
100 000 pasgeborenen staat welk aantal er na x jaar naar verwachting nog in
leven is. Dit aantal heet L(x). Tabel 2 hieronder geeft een voorbeeld van een
overlevingstafel voor vrouwen in Nederland. In de tabel staat in de laatste kolom
het totaal resterend aantal persoonsjaren T(x).
tabel 2
In tabel 2 kun je in de tweede kolom bijvoorbeeld aflezen dat per 100 000
pasgeboren meisjes er naar verwachting nog 98 209 op hun 40e verjaardag in
leven zijn. In de derde kolom kun je aflezen dat deze 98 209 vrouwen samen
nog 4 081 590 jaar voor de boeg hebben.
Op basis van de gegevens in tabel 2 kun je de kans berekenen dat een vrouw
van een bepaalde leeftijd al dan niet een hogere leeftijd bereikt.
74pBereken de kans dat een vrouw die zojuist 30 jaar geworden is, vóór haar 60e
verjaardag overlijdt.
De waarde van T(0) in tabel 2 geeft aan dat pasgeboren meisjes gemiddeld
bijna 80,5 jaar oud worden.
84pLaat met een berekening zien dat vrouwen die hun 50e verjaardag bereiken,
volgens de tabel gemiddeld ruim 82 jaar oud worden.
Al in 1825 ontdekte Gompertz dat de waarden van L(x) in een overlevingstafel
goed te benaderen zijn met een formule van de vorm:
L(x) = 100000 ⋅ g(cx−1)
Hierin worden dan voor g en c geschikte getallen gekozen.
Een verzekeringsmaatschappij gebruikt voor een groep van 100 000 pasgeboren
meisjes de formule van Gompertz met g = 0,999 en c = 1,085. Het aantal
vrouwen dat na x jaar nog in leven is, kan dan worden berekend met de formule:
L(x) = 100000 ⋅ 0,999(1,085x−1)
In de rest van deze opgave gaan we steeds van deze laatste formule uit.
Met deze formule kunnen we uitrekenen welke leeftijd door maar 50% van de
vrouwen wordt gehaald volgens deze verzekeringsmaatschappij.
94pBereken deze leeftijd.
Gompertz bestudeerde aanvankelijk de zogenoemde sterfte-intensiteit in
plaats van de functie L(x). Deze sterfte-intensiteit S(x) is als volgt gedefinieerd:
Drie wiskunde-A1,2-leerlingen proberen bij een praktische opdracht over
overlevingstafels onder woorden te brengen wat de sterfte-intensiteit voorstelt.
Dit doen zij zonder de afgeleide van L(x) te bepalen. Ieder van hen komt met
een voorstel:
Johan: “De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, het aantal overlevenden per
sterfgeval na x jaar.”
Fiona: “De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, het aantal sterfgevallen per
overlevende na x jaar.”
Samira: “De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, de afname per jaar van het
aantal overlevenden na x jaar.”
Ze kunnen het niet eens worden. Hun wiskundeleraar geeft aan dat één van de
drie voorstellen correct is.
104pWelk van de drie voorstellen is correct? Licht je antwoord toe.
De verzekeringsmaatschappij gebruikt een exponentiële functie voor de sterfte-
intensiteit S(x). Om te laten zien dat S(x) inderdaad exponentieel is, moet eerst
de afgeleide van L(x) worden bepaald.
114pToon aan dat voor deze afgeleide geldt: L′(x) ≈ −8,16 ⋅ 0,999(1,085x−1) ⋅1,085x
Met behulp van de formules van L(x) en L'(x) kunnen we nu een formule
opstellen voor S(x). Deze formule is te schrijven in de vorm S(x) = b ⋅ gx.
opgave 4Tennisballen
Bij officiële wedstrijden mag een tennisbal niet te groot en ook niet te klein zijn.
In de spelregels staat daarover het volgende:
Bij alle proeven ter bepaling van de omvang moet een omvangmeter gebruikt worden. De omvangmeter bestaat uit een metalen plaat. In de plaat zitten twee cirkelvormige openingen met een diameter van respectievelijk 2,575 inch en 2,700 inch. De bal mag niet door zijn eigen gewicht door de kleine opening vallen, maar moet wel door zijn eigen gewicht door de grootste opening vallen.
Een tennisballenfabrikant produceert drie types tennisballen: Yellow, Silver en
Gold. Van het type Gold is de diameter (bij benadering) normaal verdeeld met
een gemiddelde van 2,620 inch en een standaardafwijking van 0,048 inch.
De fabrikant krijgt de opdracht 1200 tennisballen van het type Gold te leveren
die gebruikt kunnen worden bij officiële wedstrijden.
134pBereken hoeveel tennisballen de fabrikant naar verwachting moet produceren
om aan deze opdracht te voldoen.
Bij trainingen is men vaak veel soepeler met het accepteren van tennisballen.
Tennisclub Game4u vindt het niet zo erg als trainingsballen niet allemaal
voldoen aan de officiële wedstrijdregels. Een partij van dergelijke ballen is vaak
goedkoper.
Van het type Silver is de diameter (bij benadering) normaal verdeeld met een
gemiddelde van 2,630 inch en een standaardafwijking van 0,057 inch.
Tennisclub Game4u heeft bij de tennisballenfabrikant een groot aantal
trainingsballen van het type Silver besteld. Alleen wanneer veel ballen een erg
kleine diameter hebben, wordt deze bestelling niet geaccepteerd. Bij Game4u is
dat het geval wanneer in een steekproef van 20 tennisballen er meer dan 5 te
vinden zijn met een diameter die kleiner is dan 2,55 inch.
145pBereken de kans dat Game4u deze bestelling niet accepteert.
Naast het type Silver wordt ook het type Yellow veel gebruikt voor trainingen.
Tennisclub Racket wil een aantal trainingsballen van het type Silver en Yellow
kopen bij de fabrikant. Daarvoor heeft Racket wel een aantal voorwaarden
geformuleerd:
− het aantal Silver-ballen moet ten minste gelijk zijn aan 200;
− het aantal Yellow-ballen moet ten minste gelijk zijn aan 200;
− in totaal wil Racket ten minste 600 ballen kopen;
− het aantal Silver-ballen mag ten hoogste gelijk zijn aan het dubbele van het
aantal Yellow-ballen.
Als we het aantal Silver-ballen aangeven met x en het aantal Yellow-ballen met
y, kunnen we in een xy-assenstelsel het toegestane gebied aangeven dat door
deze voorwaarden wordt vastgelegd.
Op de uitwerkbijlage zie je drie tekeningen. Daarvan geeft tekening A het juiste
gebied aan.
154pLeg uit waarom tekeningen B en C niet het toegestane gebied aangeven.
De tennisballenfabrikant heeft een aanbieding voor Racket.
De Silver-ballen kosten 1 euro per stuk.
De Yellow-ballen kosten 1,20 euro per stuk, maar bij een afname van ten minste
300 stuks kosten de Yellow-ballen 1,10 euro per stuk.
Racket wil, uitgaande van de eerdergenoemde voorwaarden en de
bovenstaande prijzen, een bestelling bij de fabrikant plaatsen met zo laag
mogelijke kosten.
166pOnderzoek met behulp van tekening A welke bestelling Racket het beste kan
doen.
opgave 5Honing
Honing bestaat grotendeels uit vocht en suikers en voor een klein gedeelte uit
andere stoffen zoals enzymen en mineralen. De kwaliteit van honing hangt
onder andere af van de concentratie van het enzym diastase: hoe meer
diastase, hoe beter de kwaliteit van de honing. De concentratie van diastase in
honing wordt aangeduid met het diastase-getal.
Door het bewaren van honing gaat er diastase verloren en neemt dus het
diastase-getal af. De snelheid waarmee dat gebeurt, hangt af van de
temperatuur waarbij de honing wordt bewaard.
Een maat waarmee de afname van het diastase-getal kan worden weergegeven,
is de zogeheten halfwaardetijd. Dat is de tijd waarin het diastase-getal wordt
gehalveerd. In figuur 1 zie je deze halfwaardetijd uitgezet tegen de temperatuur
waarbij de honing wordt bewaard.
figuur 1
173pWat is beter: honing bewaren bij een lage temperatuur of bij een hoge
temperatuur? Licht je antwoord toe en maak daarbij gebruik van figuur 1.
Het diastase-getal is bij de meeste soorten honing direct na winning niet hoger
dan 30. Als het diastase-getal lager is dan 8, mag de honing alleen nog maar als
bakkershoning verkocht worden.
Een bepaald type honing heeft bij winning diastase-getal 28. Deze honing wordt
gedurende 3 jaar bewaard bij een temperatuur van 25 °C. We gaan ervan uit dat
de afname van het diastase-getal exponentieel verloopt.
183pLaat met behulp van de grafiek in figuur 1 zien dat deze honing na 3 jaar
bakkershoning is geworden.
Soms gaat honing versuikeren. Er ontstaan dan suikerkorrels op de bodem van
een pot honing. Versuikerde honing wordt weer vloeibaar door de honing te
verhitten.
In figuur 1 zie je dat het diastase-getal gehalveerd wordt als honing 24 uur lang
op een temperatuur van 60 °C wordt gehouden.
Een partij honing met diastase-getal 27 wordt gedurende een bepaalde tijd op
een temperatuur van 60 °C gehouden. We gaan er nog steeds van uit dat de
afname van het diastase-getal exponentieel verloopt.
195pBereken hoe lang het duurt totdat deze partij bakkershoning is geworden.
De houdbaarheid van de honing hangt af van het vochtgehalte van de honing.
Honing met een laag vochtgehalte is langer houdbaar dan honing met een hoog
vochtgehalte. Winkeliers die honing verkopen, hebben daarom liever geen
honing met een hoog vochtgehalte.
foto
Een honingimporteur heeft een grote voorraad potten honing. Het vochtgehalte
in een pot honing is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 0,5%.
Volgens de importeur is het vochtgehalte in een pot gemiddeld 17,1%.
Een winkelier die regelmatig honing bij de importeur inkoopt, heeft geklaagd bij
de importeur. Volgens de winkelier is het gemiddelde vochtgehalte hoger dan
17,1%.
De importeur selecteert willekeurig 10 potten honing en laat die onderzoeken.
Uit het onderzoek blijkt dat het vochtgehalte in de 10 potten gemiddeld 17,5% is.
206pOnderzoek of het onderzoeksresultaat aanleiding geeft om de winkelier in het
gelijk te stellen. Gebruik een significantieniveau van 1%.
