bij dit examen
OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Differentiëren naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 k ( x ) = f ( g ( x )) d k d f d g k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of = ⋅ kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of = ⋅ d x d g d x Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
opgave 1Dennenhout
Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat
een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m3 hout het bos
op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van
bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte.
Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt
van de volgende formule:
V = f ⋅ d2 ⋅ h met diameter d en hoogte h beide in m (meter)
In deze formule is V het volume aan hout in de boom in m3. De factor f heet de
vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de
diameter d van de boom.
Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove
den (Pinus sylvestris). Zie de figuur.
Voor de grove den wordt het verband tussen de
14pvormfactor f en de diameter d (in m) bij
benadering gegeven door de volgende formule:
f = 0,30 ⋅ d2 − 0,36 ⋅ d + 0,46
In een bos staat een grove den met een diameter
van 0,16 m.
Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze
boom afneemt als de diameter van deze boom
met 100% toeneemt.
De grootste bekende diameter van een grove den
is 1,2 m. Naarmate de diameter van een grove
den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering
het volgende verband tussen de hoogte h en de diameter d:
h = 44 ⋅ d0,65
Ook hier is de diameter in m en de hoogte in m.
Een grove den van 40 m hoog wordt gekapt.
24pBereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.
Op basis van de formule f = 0,30 ⋅ d2 − 0,36 ⋅ d + 0,46 en de formule h = 44 ⋅ d0,65
kan de formule V = f ⋅ d2 ⋅ h worden geschreven als
V = a ⋅ d4,65 + b ⋅ d3,65 + c ⋅ d2,65. Hierin zijn a, b en c constanten.
34pToon aan dat V inderdaad geschreven kan worden als
V = a ⋅ d4,65 + b ⋅ d3,65 + c ⋅ d2,65 en bereken a, b en c in twee decimalen
nauwkeurig.
Een bos met grove dennen moet worden gekapt. Alvorens tot de kap over te
gaan wordt eerst een schatting gemaakt van de houtopbrengst. Hiertoe worden
de diameters van de bomen opgemeten en ingedeeld in klassen van
verschillende grootte. Zie de tabel.
tabel
43pMaak met behulp van de eerste twee kolommen van de tabel een schatting van
de gemiddelde diameter.
De formule voor V is, met afgeronde getallen a, b en c:
V = 13 ⋅ d4,65 − 16 ⋅ d3,65 + 20 ⋅ d2,65
We bekijken de grafiek van V alleen maar voor waarden van d tussen 0 en 1,2.
Iemand beweert dat de grafiek van V op dit stuk toenemend stijgend is.
54pStel de afgeleide functie van V op en toon met de grafiek van deze afgeleide
functie aan dat deze bewering juist is.
In de derde kolom van de tabel staat het volume in m3 van een boom met een
diameter gelijk aan het klassenmidden. Door de getallen in de tweede kolom te
vermenigvuldigen met de getallen in de derde kolom wordt een schatting
verkregen van de bijdrage van elke klasse aan de totale houtopbrengst, zie de
vierde kolom in de tabel. Door de getallen in de vierde kolom op te tellen krijg je
een schatting van ongeveer 506,2 m3 voor de totale houtopbrengst. Als we
ervan uit gaan dat de diameters in een klasse gelijkmatig verdeeld zijn, zal deze
schatting afwijken van de werkelijke houtopbrengst.
63pIs de werkelijke houtopbrengst groter of kleiner dan 506,2 m3? Licht je antwoord
toe en maak daarbij gebruik van de toenemende stijging van V (zie vorige vraag).
opgave 2Kwartetten
Een supermarktketen houdt een actie: “Kwartetten”. Bij elke
vijf euro aan boodschappen krijg je een kaart waarop één van
de volgende zes producten staat afgebeeld: aardbeienijs,
kauwgum, chocoladereep, frisdrank, chips of douchegel. Als
je vier kaarten met hetzelfde product erop hebt, krijg je dat
product als prijs.
Op sommige kaarten staat geen product, maar een hand met
kaarten: dat is een joker. Je mag ook gebruik maken van een
joker: in plaats van vier kaarten met hetzelfde product kun je
ook drie kaarten met dat product en één joker gebruiken voor
een prijs. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken.
De eigenaar van de supermarktketen heeft er voor gezorgd dat 4% van alle
kaarten een joker is. Verder zijn er van elk product evenveel kaarten gemaakt,
dus 16% kaarten met aardbeienijs, 16% met kauwgum, enzovoort. De kaarten
die de klanten krijgen, zijn willekeurig over de supermarkten verdeeld.
Er zijn 200 000 kaarten gedrukt. De actie duurt twee weken. Meneer De Vries
krijgt in deze twee weken in totaal 10 kaarten. Het aantal jokers dat hij krijgt,
noemen we X.
De kansverdeling van X kan benaderd worden met een binomiale verdeling.
72pWaarom mag de kansverdeling van X benaderd worden met een binomiale
verdeling? Geef de twee argumenten die hiervoor nodig zijn.
83pBereken de kans dat er bij die 10 kaarten van meneer De Vries minstens één
joker is.
De eigenaar van de supermarktketen probeert van tevoren in te schatten welke
inkomsten hij door deze actie misloopt.
In de tabel staan de prijzen van de producten.
tabel
We gaan uit van de volgende denkbeeldige situatie: er zijn 10 000 klanten, die
gemiddeld elk 20 kaarten krijgen tijdens de twee weken dat de actie duurt. Bij
elke kaart is voor precies 5 euro aan boodschappen gedaan.
Door kaarten te ruilen of door samen te werken, kunnen klanten meer prijzen
winnen tijdens deze actie. We nemen aan dat al deze klanten hun kaarten
onderling ruilen of aan elkaar weggeven, zodat alle 200 000 kaarten gebruikt
worden voor een kwartet. De klanten gebruiken de jokers bij het duurste
product. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken.
In de hierboven beschreven situatie heeft de eigenaar maximaal
inkomstenverlies. Dit bedrag is een klein percentage van het bedrag dat de
klanten hebben uitgegeven voor de kaarten.
96pBereken dit percentage.
Deze kwartetactie wordt in een 6e klas bij wiskunde A besproken. Zoals in het
begin van de opgave vermeld wordt, heeft de eigenaar van de supermarktketen
ervoor gezorgd dat elk product op 16% van de kaarten afgebeeld is. De
leerlingen van de 6e klas vermoeden echter dat er te weinig kaarten met de
duurste producten zijn. Om hun vermoeden te onderzoeken, voeren ze een
hypothesetoets uit. Ze besluiten om bij te houden welke kaarten ze de komende
week krijgen. Na afloop van die week hebben ze in totaal 123 kaarten waarvan
51 kaarten met de drie duurste producten.
106pTot welke conclusie komen ze op grond van hun hypothesetoets? Licht je
antwoord toe en neem daarbij een significantieniveau van 5%.
opgave 3Containers
In alle havens wordt met containers gewerkt.
Daarom moet elke container herkenbaar zijn.
Hiervoor is een code ontwikkeld. Elke code is
geregistreerd bij de ISO (International
Organization for Standardization).
Elke container krijgt een nummer bestaande uit
4 letters, 6 cijfers en 1 controlecijfer.
Bijvoorbeeld EMCU 315579 1.
Het containernummer bestaat uit 3 delen:
− de eerste drie letters zijn vrij te kiezen uit het alfabet, de vierde is de U van
unit;
− de eerste 6 cijfers vormen het serienummer;
− het laatste cijfer is een controlecijfer, dat op een ingewikkelde manier
rechtstreeks afhangt van de eerste zes cijfers en dus vastligt.
114pBereken het aantal verschillende containernummers.
Voor de verscheping worden de containers gegast. De lading en ook de pallets
waarop de goederen liggen, kunnen drager zijn van schadelijke parasieten en
schimmels en daarom wordt een dodelijk gas in hoge concentratie in de
container aangebracht.
Het RIVM1) heeft in opdracht van de VROM-Inspectie2) in 2006 een onderzoek
uitgevoerd naar de concentraties van gassingsmiddelen. In dit onderzoek
werden 2 containers gegast met de stof fosfine. Door kleine ventilatieopeningen
in de container nam de concentratie fosfine geleidelijk af. In de figuur zie je het
verloop van de concentratie fosfine.
noot 1 RIVM: Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu
noot 2 VROM: Volkshuisvesting, Ruimtelijke Ordening en Milieubeheer
figuur
De concentratie van het gas fosfine in container 1 is bij benadering te
beschrijven met een dalend exponentieel verband.
124pBereken met behulp van de figuur met hoeveel procent de concentratie fosfine
in container 1 per dag afneemt.
In container 2 is ook sprake van exponentiële afname. Het RIVM geeft in zijn
rapport de volgende formule hiervoor:
C = 0,75t−20,6
Hierbij is C de concentratie fosfine in mg/m3 en t de tijd in dagen na 10 augustus
2006.
Het RIVM had de formule ook op een andere wijze kunnen geven: bijvoorbeeld
in de vorm C = b ⋅ gt met b en g constanten.
133pSchrijf de formule van het RIVM voor de afname van het gas in container 2 in de
vorm C = b ⋅ gt.
Fosfine is een gevaarlijke stof. Het RIVM hanteert een
alarmeringsgrenswaarde van 2 mg/m3. Dat betekent dat er gevaar is voor
mensen en dieren wanneer de concentratie fosfine groter is dan 2 mg/m3.
144pBereken met de formule C = 0,75t−20,6 op welke datum de concentratie fosfine in
container 2 onder de alarmeringsgrenswaarde zakt.
opgave 4Aandelen
Grote bedrijven zoals Philips, KPN en Unilever zijn niet het eigendom van één
persoon. In principe kan iedereen een of meer aandelen van het bedrijf kopen;
alle eigenaars van aandelen bezitten samen het bedrijf. Door veranderingen op
de markt, in de politiek en in de economie varieert de prijs van zo’n aandeel
nogal.
Een eenvoudig voorspellingsmodel
Wiskundigen proberen waarschijnlijkheidsmodellen op te stellen voor de
toekomstige prijsontwikkeling van een aandeel. In het begin van deze opgave
kijken we naar zo’n (sterk vereenvoudigd) model.
In de huidige ‘24-uurs-economie’ staat de handel in aandelen nooit stil. Het is in
het model niet goed mogelijk de prijs van moment tot moment bij te houden. We
bekijken daarom de veranderingen in prijs per dag. Het model gaat ervan uit dat
de prijsveranderingen per dag normaal verdeeld zijn met gemiddelde 0 en een
standaardafwijking die per bedrijf kan verschillen. In de economie wordt die
standaardafwijking de volatiliteit van een aandeel genoemd.
De prijzen en de prijsveranderingen per dag worden onafgerond weergegeven.
Meneer Kok koopt aandelen Forpins voor € 30,00 per aandeel. De volatiliteit van
een aandeel Forpins is € 0,119.
Binnen het model gaat men er gemakshalve van uit dat de prijsverandering op
de ene dag onafhankelijk is van de prijsverandering op een andere dag.
We onderzoeken de totale verandering van de prijs van een aandeel Forpins na
zeven dagen. Hiertoe moeten de prijsveranderingen van de zeven afzonderlijke
dagen bij elkaar worden opgeteld.
154pLaat zien dat de standaardafwijking na een periode van zeven dagen ongeveer
€ 0,315 is en bereken daarmee de kans dat een aandeel na zeven dagen
afgerond meer dan € 0,20 in waarde is gedaald.
Een verfijnder model
In een meer verfijnd model wordt er ook rekening mee gehouden dat aandelen
die het goed doen in het algemeen steeds duurder worden. De prijstoename
bestaat dan uit twee delen. Het ene deel is lineair en het andere deel is een
normaal verdeelde toevalsvariabele met gemiddelde 0 en de volatiliteit als
standaardafwijking, net als in het eerste model.
De totale prijsverandering V is volgens dit model normaal verdeeld met
verwachtingswaarde
at en standaardafwijking
. Hierbij is
a een vast getal
(de toename per dag), σ de volatiliteit en t het aantal dagen.
figuur
Een aandeel Unilever in 2006 en 2007
In de figuur is de ontwikkeling van de waarde van een aandeel Unilever
gedurende een bepaalde periode af te lezen. We nemen aan dat deze
ontwikkeling redelijk beschreven wordt door het verfijnde model.
163pBepaal de toename per dag a, uitgaande van de getekende trendlijn, met behulp
van de figuur.
Meneer Specken koopt aandelen Valutex voor € 12,36 per stuk. Hij denkt erover
om deze aandelen pas over 180 dagen te verkopen. De toename per dag a van
deze aandelen is 0,001. Ga ervan uit dat de volatiliteit van een aandeel Valutex
gelijk is aan € 0,15.
174pBereken de kans dat de aandelen na 180 dagen minimaal € 3,00 in waarde
zullen stijgen.
opgave 5Remweg
Wanneer een automobilist op de rem trapt, zal de snelheid van de auto
afnemen. In figuur 1 is voor beginsnelheden van 40, 60, 80, 100, 120 en 140 km
per uur het verband weergegeven tussen de snelheid van een auto en de
afgelegde afstand vanaf het punt waarop begonnen is met remmen.
figuur 1
afgelegde afstand vanaf het punt
van remmen in meters
In figuur 1 kun je bijvoorbeeld aflezen dat een auto die gaat remmen met een
beginsnelheid van 120 km per uur na 20 m nog een snelheid heeft van
(ongeveer) 101 km per uur.
Je zou kunnen zeggen dat bij een beginsnelheid van 120 km per uur de auto na
20 m remmen (ongeveer) 16% in snelheid is gedaald.
183pBereken hoeveel procent de snelheid van de auto is gedaald na 20 m remmen
bij een beginsnelheid van 80 km per uur.
De bovenste grafiek in figuur 1 hoort bij een beginsnelheid van 140 km per uur.
Voor deze grafiek wordt het verband tussen de snelheid en de afgelegde afstand
vanaf het punt van remmen gegeven door de volgende formule:
In deze formule is v de snelheid in km per uur en x de afgelegde afstand vanaf
het punt van remmen. In de formule zijn a en b constanten.
193pBereken de waarden van deze twee constanten bij een beginsnelheid van
140 km per uur.
In figuur 1 kun je aflezen dat de auto bij een beginsnelheid van 40 km per uur na
ongeveer 7,5 m remmen tot stilstand is gekomen. We zeggen dat bij een
beginsnelheid van 40 km per uur de remweg 7,5 m bedraagt. Ook voor grotere
beginsnelheden kun je de remweg uit figuur 1 aflezen.
Iemand beweert dat de remweg van de auto evenredig is met het kwadraat van
de beginsnelheid. Dat betekent dat het verband tussen de beginsnelheid en de
remweg wordt gegeven door de volgende formule:
remweg = c ⋅ v02
Hierin is v0 de beginsnelheid in km per uur. De remweg is in m. Het getal c is
een constante.
206pLees in figuur 1 bij de zes genoemde beginsnelheden de remweg af en laat met
behulp daarvan zien dat de remweg inderdaad evenredig is met het kwadraat
van de beginsnelheid. Bepaal ook de waarde van de constante c in drie
decimalen nauwkeurig.
De grafieken in figuur 1 gelden voor gewone banden op een droge weg. Op een
besneeuwde weg wordt de remweg aanzienlijk langer. Daarom rijden sommige
automobilisten ’s winters op winterbanden. Winterbanden zorgen ervoor dat op
een besneeuwde weg de remweg veel korter is dan bij gewone banden.
We laten op hetzelfde moment twee auto’s met beginsnelheid 60 km per uur
remmen op een besneeuwde weg. De ene auto heeft gewone banden (auto G),
de andere auto heeft winterbanden (auto W).
figuur 2
In figuur 2 kunnen we aflezen dat auto W een remweg heeft van ongeveer 43 m.
Op het tijdstip dat de auto W tot stilstand komt, heeft auto G nog een behoorlijke
snelheid.
Alex, Bernhard en Cynthia doen alle drie een bewering over die snelheid.
Alex: “De snelheid op dat tijdstip is zeker groter dan 44,5 km per uur.”
Bernhard: “De snelheid op dat tijdstip is ongeveer gelijk aan 44,5 km per uur.”
Cynthia: “De snelheid op dat tijdstip is zeker kleiner dan 44,5 km per uur.”
213pLeg uit waarom Cynthia gelijk heeft.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
Wanneer een band zo versleten is dat er minder dan 1,6 mm profiel op zit, dan
wordt die band afgekeurd bij de jaarlijkse keuring (APK) in de garage. De
versleten band moet dan worden vervangen.
Volgens een autobandenspecialist is de jaarlijkse slijtage van de banden
normaal verdeeld met een gemiddelde van 1,5 mm en een standaardafwijking
van 0,45 mm.
Bij de APK van vorig jaar had de linker voorband van de heer Groenwold nog
een profiel van 2,8 mm.
224pBereken de kans dat deze band wordt afgekeurd bij de eerstvolgende jaarlijkse
keuring.
