Eindexamen wiskunde A vwo 2014 tijdvak 2

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde S en het gemiddelde X van de X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Differentiëren naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x

Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log a − log b = log b g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g

opgave 1Wikipedia

Wikipedia is een internationale internet-encyclopedie.

In maart 2012 bevatte de Nederlandstalige editie ruim één miljoen

artikelen. In de tabel staan gegevens van 2012.

tabel

datum 22 maart 29 maart 5 april 12 april 19 april aantal 1 033 414 1 034 660 1 035 882 1 037 184 1 038 340

Zoals in bovenstaande tabel te zien is, groeit het aantal artikelen flink.

Sommigen beweren dat hier sprake is van lineaire groei, anderen houden

het op exponentiële groei.

14p

Onderzoek elk van deze beweringen.

Over een langere periode bleek de groei sterker te worden: in de

23 weken van 19 april tot 27 september 2012 groeide de Nederlandstalige

Wikipedia uit tot 1 120 987 artikelen.

Neem aan dat het aantal artikelen vanaf 19 april exponentieel groeide en

in de toekomst met dezelfde factor blijft groeien.

24p

Bereken het aantal artikelen op 19 april 2014.

De relatief grote omvang van de Nederlandstalige Wikipedia is voor een

deel te verklaren door het grote aantal door computers gegenereerde

artikelen. Het zijn wel echte artikelen maar ze zijn erg kort en geven

informatie die niet bijzonder interessant is. Een voorbeeld van zo'n artikel:

Miedzianów

Miedzianów is een dorp in de Poolse woiwodschap Groot-Polen. De

plaats maakt deel uit van de gemeente Nowe Skalmierzyce en telt 200

inwoners.

Het valt niet op dat er zo veel van deze artikelen zijn. Alleen door in het

beginscherm van Wikipedia een willekeurige pagina te vragen, komen

deze 'computerartikelen' tevoorschijn.

In januari 2013 werd vastgesteld dat een derde deel van alle artikelen

door computers gegenereerd was. Het aantal gewone artikelen groeide op

dat moment exponentieel met een jaarlijkse toename van 5%. Het aantal

computerartikelen groeide echter jaarlijks met 17%. Veronderstel dat de

groei van beide soorten artikelen zich de jaren erna op dezelfde wijze

voortzet.

35p

Bereken na hoeveel jaar er meer computergegeneerde artikelen zullen

zijn dan gewone artikelen. Geef je antwoord in maanden nauwkeurig.

Inmiddels wordt beweerd dat meer dan 40% van alle artikelen van de

Nederlandstalige Wikipedia door een computer gegenereerd is. Bij een

test in 2014 werden 50 willekeurige artikelen opgevraagd. Daarvan waren

er 28 door een computer gegenereerd.

46p

Onderzoek met het toetsen van hypothesen met een significantieniveau

van 1% of dit voldoende reden geeft om te veronderstellen dat meer dan

40% van de artikelen computerartikelen zijn.

opgave 2Touchscreens

Bij het ontwerpen van touchscreens (aanraakschermen) foto

voor moderne media als tablets en mobiele telefoons

besteedt men veel aandacht aan het gebruiksgemak.

Gebruikers willen immers snel kunnen navigeren.

Op de foto zie je een touchscreen met een menu

bestaande uit 13 knoppen.

De tijd die je nodig hebt om in een menu de juiste knop

te vinden, hangt mede af van het aantal knoppen in het

menu.

Volgens de psycholoog Hick kun je deze benodigde

tijd T berekenen met de formule:

T(n) = b ⋅² log(n + 1)

Hierbij is T de tijd in seconden, n het aantal knoppen in het menu en

b een positieve constante die afhangt van de behendigheid van de

gebruiker.

In deze opgave kijken we naar dit model van Hick.

Om de juiste knop te vinden op het touchscreen van de foto heeft Irene

8 seconden nodig.

53p

Bereken haar waarde van b in één decimaal nauwkeurig.

Pim is veel handiger met een touchscreen dan zijn vader. Hij kan in een

menu met 16 knoppen even snel de juiste knop vinden als zijn vader in

een menu met 4 knoppen. Dit betekent dat zijn b-waarde (b_p) kleiner is

dan de b-waarde van zijn vader (b_v).

64p

Onderzoek of dit betekent dat de b-waarde van Pim precies half zo groot

is als die van zijn vader.

Sommige gebruikers vinden een menu met veel knoppen onoverzichtelijk.

Daarom deelt men een menu soms op in submenu's met minder knoppen.

Als er bijvoorbeeld in totaal 18 knoppen zijn, kan de ontwerper ervoor

kiezen om:

methode I één menu van 18 knoppen te maken

methode II een menu met 3 knoppen te maken, waarbij na elk van de

3 mogelijke keuzes weer een submenu met 6 knoppen

verschijnt.

De gebruiker wint hiermee overzichtelijkheid want hij weet nu precies in

welk submenu hij moet zoeken, maar hij verliest tijd omdat hij twee keer

(in een menu) de juiste knop moet zien te vinden.

Als b = 0,9 duurt het keuzeproces bij methode II minstens 0,5 seconde

langer dan bij methode I.

73p

Toon met behulp van de formule voor T(n) aan dat dit juist is.

Uit de formule volgt dat één menu met alle knoppen altijd sneller werkt

dan een opdeling in submenu's. Dus: één menu met p ⋅ q knoppen is altijd

sneller dan een hoofdmenu met p knoppen gevolgd door p submenu's met

elk q knoppen.

84p

Neem b = 1 en toon aan dat T(p) + T(q) altijd groter is dan T(p ⋅ q).

opgave 3Wind mee, wind tegen

Op de site buienradar.nl kun je

figuur

92p

verschillende weerkaarten bekijken.

De kaarten bevatten actuele

weergegevens zoals temperatuur,

windkracht en windrichting. In de

figuur hiernaast zie je de windkaart

van Nederland op maandag 11 maart

2013 om 20:40 uur. Deze kaart is

gebaseerd op gegevens van KNMI-

meetstations die over Nederland zijn

verspreid. Deze meetstations geven

elke 10 minuten een nieuwe

waarneming af.

In Nederland zijn er 53 officiële

KNMI-meetstations.

Bereken hoeveel waarnemingen er

elke dag in totaal door de officiële meetstations aan het KNMI worden

doorgegeven.

Als je in de ochtend van huis naar school fietst en in de middag

terugfietst, kan de wind invloed hebben op je totale reistijd. Hoe dat zit,

onderzoeken we in de rest van deze opgave.

Sylvia woont 10 km van school. Zij fietst elke schooldag. We gaan ervan

uit dat als er geen wind is, haar snelheid constant 20 km/u is. Haar totale

reistijd is op zo'n schooldag dus 1 uur.

Meestal waait het echter. We veronderstellen dat Sylvia altijd wind mee

heeft op de heenweg en wind tegen op de terugweg en dat de wind de

hele dag constant is. Dan is Sylvia's snelheid op de heenweg

20 + w km/u en op de terugweg 20—w km/u. Hierbij geldt 0 ≤ w < 20.

Op een dag geldt w = 5. Sylvia's totale reistijd is die dag langer dan 1 uur.

104p

Bereken hoeveel minuten haar totale reistijd die dag langer is dan 1 uur.

Sylvia's totale reistijd T in uren wordt gegeven door de formule:

De formule voor T kan worden gevonden door een formule voor de reistijd

voor de heenweg en een formule voor de reistijd voor de terugweg op te

stellen en deze formules bij elkaar op te tellen.

115p

Stel deze formules op en toon daarmee aan dat de bovenstaande formule

voor T juist is.

Op een dag is Sylvia's totale reistijd 1 uur en 20 minuten.

123p

Bereken de waarde van w op die dag.

Met de formule voor Sylvia's totale reistijd kun je zonder te rekenen

beredeneren dat haar totale reistijd op een dag met wind groter is dan op

een dag zonder wind.

133p

Geef zo'n redenering.

Dat de totale reistijd toeneemt als w toeneemt, kun je ook aantonen met

behulp van de afgeleide van T.

145p

Stel een formule op voor de afgeleide van T en toon daarmee aan dat de

totale reistijd toeneemt als w toeneemt.

opgave 4Financieel risico

Value-at-Risk-model Sinds de financiële crisis van 2009 zijn banken verplicht hun financiële risico's extra in de gaten te houden. Een veelgebruikte manier om financieel risico in te schatten is het Value-at-Risk-model (VaR). Dit is een statistisch model dat het mogelijke verlies op een aandelenportefeuille van een bank berekent. De maandopbrengsten van 1000 maanden van een aandelenportefeuille zijn verzameld. Deze opbrengsten zijn weergegeven in een frequentieverdeling. Zie de figuur. Langs de horizontale as zijn de maandopbrengsten gezet in duizenden euro's. Uit de figuur kun je bijvoorbeeld afleiden dat er 68 keer een maandwinst is behaald tussen € 7 500 en € 12 500. Ook kun je afleiden dat er 43 keer een verlies was tussen € 22 500 en € 27 500. figuur frequentie 10/5 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 maandopbrengst in duizenden euro´s Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. Op basis van de figuur wordt een model gemaakt. In dat model wordt gesteld dat de kans op een verlies de komende maand van € 42 500 of meer gelijk is aan 5%. Op basis van de figuur kan ook een schatting worden gemaakt van de kans dat de volgende maand het verlies € 17 500 of meer zal zijn.

Bereken deze schatting in procenten met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage.

De € 42 500 uit het voorbeeld wordt de 5%-VaR van de maandopbrengst van deze aandelenportefeuille genoemd: het bedrag dat je in een maand met een kans van 5% ten minste riskeert te verliezen. De VaR kan ook berekend worden voor andere tijdsperioden dan een maand, bijvoorbeeld een week of 10 dagen en ook voor andere kanspercentages, bijvoorbeeld 1%. De weekopbrengst van een bepaalde aandelenportefeuille is normaal verdeeld met een gemiddelde van € 752 en een standaardafwijking van € 2500. De 1%-VaR van de weekopbrengst is het verlies dat men met een kans van 1% de komende week ten minste zal lijden.

Bereken de 1%-VaR van de weekopbrengst van deze aandelenportefeuille in euro's nauwkeurig. In het zogenoemde akkoord van Basel staan eisen voor de minimale hoeveelheid kapitaal die banken moeten aanhouden om ervoor te zorgen dat ze niet te snel in financiële problemen komen. Vereenvoudigd kan gesteld worden dat het minimaal vereiste kapitaal gelijk is aan driemaal de 1%-VaR van de tiendaagse opbrengst. De dagopbrengst van een aandelenportefeuille van een bepaalde bank is normaal verdeeld met een gemiddelde van 380 000 euro en een standaardafwijking van 1,4 miljoen euro. Aangenomen wordt dat de dagopbrengsten onafhankelijk van elkaar zijn. De som van de dagopbrengsten is in dat geval ook normaal verdeeld.

Bereken de minimale hoeveelheid kapitaal die de bank volgens het akkoord van Basel moet aanhouden.

Risico bij leningen Behalve met risico's bij de aandelenportefeuille heeft een bank ook te maken met het risico dat leningen niet terugbetaald worden. Om dit risico in te schatten worden personen die bij een bank geld geleend hebben verdeeld op grond van bepaalde kenmerken in risicocategorieën. In de tabel zie je een voorbeeld van zo'n indeling voor een sterk vereenvoudigde situatie. tabel categorie aantal personen kans dat de lening terugbetaald wordt A 850 95% B 530 80% C 260 60% In dit vereenvoudigde model zijn er drie categorieën en gaan we ervan uit dat een lening ofwel helemaal terugbetaald wordt ofwel helemaal niet.