opgave 1Lepelaars
Een lepelaar is een vogel met een lepelvormige
snavel die in Nederland onder andere op de
Waddeneilanden voorkomt. Sommige lepelaars hebben
ringen om hun poten, waardoor onderzoekers ze
individueel kunnen volgen.
Lepelaars die geringd worden, krijgen zes smalle ringen
om, drie om elke poot. Hierbij gelden de volgende
regels:
− één van de zes ringen is een zilverkleurige ring;
− de andere vijf ringen kunnen voorkomen in acht andere kleuren,
waarbij dezelfde kleur ook vaker gebruikt mag worden;
− één van die vijf gekleurde ringen heeft een uitsteeksel, een 'vlag'.
14pBereken op hoeveel verschillende manieren een lepelaar volgens deze
regels geringd kan worden.
Onderzoekers hebben op basis van waarnemingen modellen opgesteld
voor het aantal lepelaars in Nederland. In de figuur zie je de aantallen
lepelaars voor de Waddeneilanden en voor heel Nederland in de periode
1960-2040. De figuur staat ook op de uitwerkbijlage. De doorgetrokken
grafiek is een model voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden en
de gestippelde grafiek voor het totale aantal lepelaars in Nederland.
Uit de figuur kun je aflezen figuur
23pdat het percentage
van het totale aantal
lepelaars in
Nederland dat op de
Waddeneilanden
leeft, in de periode
1980 tot 2000 is
toegenomen.
Stel dat de aantallen
lepelaars zich
ontwikkelen volgens
de grafieken.
Onderzoek of het
percentage van het
totale aantal
lepelaars dat op de
Waddeneilanden leeft
in 2040 groter is dan dat in 2010.
In de periode 1980-2000 groeide het aantal lepelaars op de Wadden-
eilanden bij benadering exponentieel. In 1980 waren er ongeveer
200 lepelaars op de Waddeneilanden en in 2000 ongeveer 2100. Op basis
van deze gegevens kun je een formule opstellen voor deze exponentiële
groei. Met deze formule is het aantal lepelaars op de Waddeneilanden in
2010 te voorspellen.
35pStel deze formule op en bereken het verschil tussen het aantal lepelaars
op de Waddeneilanden in 2010 volgens deze formule en volgens het
model in de figuur. Rond je antwoord af op honderdtallen.
Het volgende model geeft een betere benadering voor het aantal
lepelaars op de Waddeneilanden:
Hierin is N het aantal lepelaars en t de tijd in jaren met t = 0 op
1 maart 1980. De afgeleide van N is:
De grafiek van N is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend
stijgend.
45pBeredeneer dit aan de hand van een schets van de grafiek van N' en
bereken met behulp van deze grafiek in welk jaar de toenemende stijging
overgaat in een afnemende stijging.
Volgens de bovenstaande formule van N(t) nadert het aantal lepelaars op
de Waddeneilanden op den duur de grenswaarde 2780.
55pLeg uit hoe die grenswaarde uit deze formule volgt en bereken in welk
jaar het aantal lepelaars op de Waddeneilanden volgens deze formule
voor het eerst minder dan 5% verschilt van de grenswaarde.
opgave 2Taalonderzoek
In 2013 was er een onderzoek naar de woordenschat van mensen in
Nederland en Vlaanderen. Iedereen kon meedoen met het onderzoek
door een test te doen op internet. Bij deze test kreeg een deelnemer
100 willekeurig gekozen woorden te zien uit een lijst van 50 000
bestaande Nederlandse woorden en 20 000 door de onderzoekers
verzonnen 'nepwoorden'. Van elk woord moest worden aangegeven of het
een bestaand woord is of niet. Het aantal nepwoorden in een test is (bij
benadering) binomiaal verdeeld.
Marieke heeft de test gedaan. In haar test zaten 37 nepwoorden.
64pBereken de kans dat in een test van 100 woorden 37 of meer nepwoorden
voorkomen.
Na afloop van de test wordt een score toegekend. Hiervoor wordt
berekend:
− het percentage bestaande woorden dat de deelnemer (terecht) als
bestaand aanmerkt; dit percentage, afgerond op gehelen, noemt men A;
− het percentage nepwoorden dat de deelnemer (ten onrechte) als
bestaand aanmerkt; dit percentage, afgerond op gehelen, noemt men B.
Vervolgens geldt: score = A–B.
Bij haar test van totaal 100 woorden heeft Marieke van de bestaande
woorden in de test er 56 herkend. Van de 37 nepwoorden heeft ze er 5
ten onrechte als bestaand bestempeld.
73pLaat met een berekening zien dat Marieke een score van 75 had voor de
test.
Eind oktober 2013 was de test 572 146 keer gemaakt door 368 798
verschillende deelnemers. Er waren dus (flink wat) deelnemers die de test
meer dan eens gedaan hadden. Uit onderzoek bleek dat de deelnemers in
drie groepen verdeeld konden worden:
− de proevers: deze deelnemers maakten de test één keer;
− de ambitieuzen: deze deelnemers maakten de test 2–10 keer;
− de doorzetters: deze deelnemers maakten de test meer dan 10 keer.
De verdeling van deze groepen over het totaal aantal deelnemers was:
proevers 76%, ambitieuzen 21% en doorzetters 3%.
Uit deze gegevens blijkt dat het gemiddeld aantal keren dat de
ambitieuzen de test deden, minder dan 3 was.
84pBereken hoe groot dit gemiddeld aantal keren ten hoogste kan zijn. Rond
je antwoord af op één decimaal.
Voor een vervolgonderzoek kiest men willekeurig 15 van deze 368 798
deelnemers.
93pBereken de kans dat deze groep 2, 3 of 4 ambitieuzen bevat.
opgave 3Bloedalcoholpromillage
Het drinken van alcohol beïnvloedt de rijvaardigheid negatief. Het
alcoholpromillage in het bloed hangt af van de hoeveelheid genuttigde
alcohol, van de tijd die verstreken is sinds het nuttigen van de alcohol en
van persoonlijke factoren zoals lichaamsgewicht en geslacht.
De hoeveelheid genuttigde alcohol drukken we uit in a, het aantal glazen
alcoholische drank met een vaste hoeveelheid alcohol per glas.
Het bloedalcoholpromillage P voor vrouwen kunnen we berekenen met de
volgende formule:
Hierbij is G het gewicht in kg en u het aantal uren na consumptie van de
alcohol. In Nederland is het verboden om met een bloedalcoholpromillage
van meer dan 0,5 aan het verkeer deel te nemen.
Een vrouw van 61 kg drinkt 5 glazen alcoholische drank.
103pBereken na hoeveel uur zij aan het verkeer mag deelnemen.
Sinds 2006 geldt voor nieuwe bestuurders een strengere norm:
gedurende de eerste vijf jaar nadat je je rijbewijs hebt ontvangen, mag het
bloedalcoholpromillage maximaal 0,2 zijn.
Een vrouw van 70 kg heeft drie maanden haar rijbewijs. De nieuwe norm
betekent dat ze minder alcoholische drank mag drinken als ze aan het
verkeer wil gaan deelnemen dan in de situatie vóór 2006.
114pBereken hoeveel glazen zij door de nieuwe norm minder mag nuttigen als
ze direct na het nuttigen van de alcohol aan het verkeer wil deelnemen.
Rond je antwoord af op halve glazen.
Een vrouw die al meer dan vijf jaar haar rijbewijs heeft, wil twee uur voor
zij gaat autorijden het voor haar maximaal toegestane aantal glazen
alcohol drinken. Volgens de formule hangt dit aantal a af van haar
gewicht G.
124pStel voor deze situatie een formule op die a uitdrukt in G.
Er wordt beweerd dat zware vrouwen 'beter tegen alcohol kunnen'. Dat
zou betekenen dat bij gelijkblijvende waarden van a en u het
alcoholpromillage kleiner is als het gewicht groter is. Dit is inderdaad het
geval. Je kunt dat concluderen met behulp van alleen de formule, maar
ook met behulp van de afgeleide
.
134pToon aan dat op grond van alleen de formule en op grond van de
afgeleide geconcludeerd kan worden dat zware vrouwen 'beter tegen
alcohol kunnen'.
opgave 4Klimaatverandering
Het KNMI rapporteert regelmatig over het klimaat in Nederland. De
gegevens in deze opgave zijn afkomstig uit het rapport van 2008.
Het KNMI heeft de seizoenen (winter, lente, zomer, herfst) over de
periode 1901-2007 op basis van de temperatuur een cijfer gegeven. Zie
tabel 1.
tabel 1
De cijfers voor het jaar 1918 staan in tabel 2.
tabel 2
Elk jaar heeft van het KNMI ook een jaarcijfer J gekregen. Dit jaarcijfer
staat in de laatste kolom van tabel 2. G is het gemiddelde van de cijfers
van de vier seizoenen (afgerond op een geheel getal). Het jaarcijfer J is
niet altijd gelijk aan dit gemiddelde G. We noteren het verschil V met:
V = G − J.
142pBereken de waarde van V voor het jaar 1918.
In tabel 3 staat van een aantal waarden van V hoe vaak ze voorgekomen
zijn in de 107 jaar in de periode 1901-2007.
tabel 3
Alle waarden van V opgeteld geeft 26.
154pBereken met behulp van bovenstaande gegevens hoe vaak geldt V = − 2.
In de 87 jaren van 1901 tot en met 1987 kwamen er 35 winters voor in de
categorieën 4 of 5 (zachte winters). Op basis hiervan gaat men ervan uit
dat de kans op een zachte winter ieder jaar
is. Het valt een
medewerker van het KNMI op dat in de 20 jaren na 1987, van 1988 tot en
met 2007, het aantal zachte winters relatief veel groter is. Die periode
telde namelijk maar liefst 15 zachte winters. Op basis van deze
waarneming stelt hij dat het klimaat in Nederland aan het opwarmen is en
dat als gevolg daarvan de kans op een zachte winter gestegen is.
165pLaat met een hypothesetoets zien dat er voldoende reden is om aan te
nemen dat de kans op een zachte winter in de periode 1988-2007
significant groter is dan die in de periode 1901-1987. Gebruik een
significantieniveau van 1%.
De jaartemperatuur is de gemiddelde temperatuur in een heel
kalenderjaar. Tot 1988 ging het KNMI uit van een model waarin de
jaartemperatuur normaal verdeeld is met een gemiddelde van 9,2 °C en
een standaardafwijking van 0,6 °C.
173pBereken de kans op een jaartemperatuur boven de 10,5 °C volgens dit
model.
De warme jaren 1988-2007 waren voor het KNMI aanleiding om te
veronderstellen dat de temperatuur in Nederland opvallend aan het stijgen
was. Zo kwam in de 20 jaren, van 1988 tot en met 2007, de
jaartemperatuur wel 8 keer boven de 10,5 °C. De onderzoekers wilden
daarom hun model met μ = 9,2 en σ = 0,6 zodanig bijstellen, dat de kans
op een jaartemperatuur boven de 10,5 °C (ongeveer) gelijk zou zijn
aan
.
Het KNMI bekeek twee verschillende manieren om het model bij te
stellen.
− Model A: het gemiddelde wordt met x °C verhoogd en de
standaardafwijking blijft 0,6 °C.
− Model B: het gemiddelde wordt verhoogd met 0,5x °C, dus met de helft
van de verhoging die voor model A nodig is. De standaardafwijking
moet dan echter wel verhoogd worden.
Onderzoekers berekenden dat voor model A het gemiddelde met
ongeveer 1,15 °C verhoogd moest worden.
184pBereken het gemiddelde en de standaardafwijking voor model B.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
