opgave 1Asperges
Vooral in Zuid-Nederland worden asperges als
groente geteeld. Uit aspergezaad groeien
aspergeplanten en als deze voldoende gegroeid
zijn, worden de asperges geoogst.
De prijs van het zaad is € 4500 per kg. Per hectare
groeien ongeveer 20 000 aspergeplanten. Hiervoor
is ongeveer 750 gram zaad nodig. Een
aspergeplant levert in een oogstseizoen gemiddeld
twintig asperges. In één kilo gaan gemiddeld tien asperges.
De gemiddelde opbrengst van één kilo asperges is € 4.
14pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken het verschil van de gemiddelde opbrengst per hectare en de
kosten voor het benodigde zaad.
De geoogste asperges worden op basis van kleur en dwarsdoorsnede
gesorteerd. In deze opgave bekijken we witte asperges met een
dwarsdoorsnede van 10 tot 38 mm. Een aspergeteler heeft in een week in
mei 20 000 asperges geoogst en daarna gesorteerd. In tabel 1 staan de
aantallen per klasse weergegeven.
tabel 1
25puitwerkbijlageProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Kansen en kansverdelingen 1p
Zet de gegevens uit tabel 1 uit op het normaal waarschijnlijkheidspapier
op de uitwerkbijlage en toon daarmee aan dat de dwarsdoorsneden van
de geoogste asperges van deze aspergeteler bij benadering normaal
verdeeld zijn.
We nemen vanaf nu aan dat we de dwarsdoorsneden van asperges
mogen benaderen met de normale verdeling met µ = 20,1 mm en
σ = 5,6 mm. Zoals in tabel 1 te zien is, verdelen we de asperges in vijf
klassen.
We kunnen nu het percentage asperges in klasse AA1 berekenen met
behulp van de normale benadering, maar ook met behulp van de
gegevens uit tabel 1.
34pKansen en kansverdelingen 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken deze beide percentages. Rond je antwoord af op hele
percentages.
Op een ochtend oogst een andere aspergeteler 200 asperges. Neem weer
aan dat de dwarsdoorsneden van asperges benaderd mogen worden met
de normale verdeling met µ = 20,1 mm en σ = 5,6 mm.
45pKansen en kansverdelingen 5p
Bereken hoe groot de kans is dat er van de 200 geoogste asperges
minstens 50 in klasse A1 zitten.
opgave 2Topinkomens
Op 17 mei 2008 stond in de Volkskrant een artikel waarin gesteld werd
dat de salariskloof tussen topbestuurders en gewone werknemers in
Nederland steeds groter wordt. Bij het artikel was een figuur afgedrukt
waarin het gemiddelde van de 100 topinkomens en het modale inkomen in
de periode 1983-2007 te zien waren. Zie figuur 1. Alle bedragen in deze
figuur zijn jaarinkomens in euro’s.
figuur 1
De Volkskrant stelt dat in de periode 1983-2007 de inkomens van
topbestuurders elk jaar met gemiddeld 7,2% zijn gestegen. In figuur 1
staan geen gegevens over topinkomens in 1983 en 1984 omdat die toen
nog niet openbaar waren.
In 1985 was het gemiddelde van de 100 topinkomens € 295 000.
Uitgaande van het bedrag voor 1985 levert een gemiddelde groei van
7,2% per jaar inderdaad ongeveer het gemiddelde jaarsalaris van de 100
topinkomens op zoals dit in figuur 1 bij 2007 af te lezen is.
54pExponentiële functies en groei 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken dit gemiddelde jaarsalaris en vergelijk je antwoord met het
gemiddelde jaarsalaris dat in figuur 1 af te lezen is.
In figuur 1 is ook te zien dat het gemiddelde topinkomen in 2007
aanzienlijk hoger was dan in 2006. In 2006 was het gemiddelde
jaarsalaris van de 100 topinkomens € 980 000. Als men met de gegevens
van 1985 en 2006 berekent met hoeveel procent het gemiddelde
jaarsalaris van de 100 topinkomens gestegen is, komt men niet uit op
7,2% per jaar maar op een lager percentage.
64pExponentiële functies en groei 4p
Bereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.
figuur 2
modaal 35 000
jaarinkomen 30 000
(in euro s) 25 000
20/15 000/000 0 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 2 0 2 0 2 0 2 0
8 3 8 5 8 7 8 9 9 1 9 3 9 5 9 7 9 9 0 1 0 3 0 5 0 7
De kleine staafjes van het modale jaarinkomen uit figuur 1 zijn in figuur 2
nogmaals weergegeven. Het modale jaarinkomen is een maat voor het
salaris van de “gewone werknemer”: veel mensen verdienen een salaris
dat rond dit bedrag ligt. In 1983 verdiende een topbestuurder uit de top-
100 gemiddeld 16 keer zoveel als het modale inkomen en in 2007
gemiddeld 44 keer zoveel.
74pExponentiële functies en groei 4p
Toon aan dat het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens in 2007
ongeveer 5 keer zo hoog was als in 1983.
Ook binnen de 100 topinkomens zijn nog grote verschillen. In 2004 was
het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens € 910 000. Het
gemiddelde jaarsalaris van de 25 hoogste inkomens uit deze groep was
€ 1 720 000.
84pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek of de 25 topbestuurders met de hoogste inkomens gemiddeld
meer dan drie keer zoveel verdienen als het gemiddelde van de rest van
de bestuurders uit deze top-100.
Op de website van de Volkskrant kan iemand laten berekenen hoeveel hij
zou verdienen als zijn salaris de afgelopen 25 jaar evenveel gestegen
was als dat van topbestuurders. Op de website staat de onderstaande
tekst:
tekst 1
Hoe hoog zou jouw topsalaris moeten zijn? Kruip in de huid van een topbestuurder en doe net alsof je salaris in de afgelopen 25 jaar even hard opliep als het inkomen van de hoogste baas. Vul je huidige salaris in en zie wat je eigenlijk had moeten verdienen. Voor het gemak is ervan uitgegaan dat je er de afgelopen 25 jaar net als Jan Modaal maar 2,3 procent per jaar aan salarisverhoging bij hebt gekregen, terwijl Jan Top er jaarlijks 7 procent op vooruitging.
Bij ieder salaris dat je invult als huidig salaris geeft de website een salaris
als antwoord. Dit antwoord is het salaris dat je zou verdienen als je salaris
even snel gestegen zou zijn als dat van topbestuurders. Het blijkt dat de
website dan als antwoord een salaris geeft dat ongeveer 3 maal zo hoog
is als je huidige salaris.
opgave 3Zuivere dobbelsteen?
Op de foto zie je twee ronde dobbelstenen.
Op deze dobbelstenen staan aantallen ogen van
1 tot en met 6, net als op gewone dobbelstenen.
Een ronde dobbelsteen is hol met binnenin een
stalen kogeltje. Bij elk getal zit in de holle
binnenkant een soort kuiltje waar het kogeltje in
past. Aan het einde van een worp komt het
kogeltje in zo’n kuiltje terecht. Hierdoor blijft de
dobbelsteen liggen, bijvoorbeeld met de vier
onder en de drie boven: er is dan drie gegooid.
Of een dobbelsteen zuiver is of niet, kun je onderzoeken door er een
groot aantal keer mee te gooien. Dit wordt geïllustreerd door figuur 1. In
figuur 1 is het resultaat te zien van een aantal simulaties van het gooien
met een zuivere dobbelsteen. Er werd hierbij alleen gekeken naar het
aantal drieën.
figuur 1
Elk cirkeltje stelt het resultaat van een simulatie voor. Langs de
horizontale as is het aantal worpen bij een simulatie uitgezet op een
logaritmische schaalverdeling. Langs de verticale as staat de relatieve
frequentie van het aantal drieën dat hierbij gegooid is. In figuur 1 is
bijvoorbeeld te zien dat bij de simulatie van 10 worpen de relatieve
frequentie 0,1 is: er is precies één keer een drie gegooid.
Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage. Bij een simulatie van 60 worpen is
4 keer een drie gegooid.
103puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Teken het punt dat bij deze simulatie hoort in de figuur op de
uitwerkbijlage.
Licht je werkwijze toe.
In figuur 1 is de verwachte relatieve frequentie aangegeven met een
horizontale lijn op een hoogte van ongeveer 0,167. Dit komt overeen met
kans
. Het punt dat hoort bij de simulatie van 200 worpen ligt dichter bij
deze horizontale lijn dan het punt dat hoort bij de simulatie van
30 worpen. Bij de simulatie van 200 worpen is het verschil tussen de
verwachte en de werkelijke relatieve frequentie dus kleiner.
We kunnen ook kijken naar de verschillen bij het aantal geworpen drieën.
Rik beweert dat het verschil tussen het werkelijke en het verwachte aantal
geworpen drieën bij de simulatie van 200 worpen kleiner is dan bij de
simulatie van 30 worpen.
115pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Onderzoek of Rik gelijk heeft.
Als het aantal gesimuleerde worpen groter wordt, komen de punten van
de simulaties steeds dichter bij de horizontale lijn te liggen. De resultaten
van de simulaties benaderen de werkelijke kans van
dan steeds beter.
Dit is ook theoretisch te berekenen.
Het aantal geworpen drieën bij een simulatie van n keer gooien is voor
grote waarden van n te benaderen met een normale verdeling. Hiermee
kan men berekenen dat voor een simulatie van 10 000 worpen geldt: de
kans dat de relatieve frequentie van het aantal geworpen drieën minder
dan 1% van
verschilt, is ongeveer 0,35.
Voor een simulatie van 100 000 worpen is deze kans veel groter.
126pKansen en kansverdelingen 4p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Laat dit met een berekening zien.
Jesse vermoedt dat de kans om met zijn ronde dobbelsteen drie te gooien
kleiner is dan
. Na het zien van figuur 1 besluit hij om 600 keer met zijn
ronde dobbelsteen te gooien om dit te onderzoeken. Na 600 keer gooien
heeft hij 87 keer drie gegooid.
136pKansen en kansverdelingen 6p
Onderzoek of Jesse op grond van dit steekproefresultaat mag
concluderen dat de kans om met deze dobbelsteen drie te gooien kleiner
is dan
. Neem een significantieniveau van 5%.
opgave 4Bouwgrafiek
Bij nieuwbouw stellen gemeentes bestemmingsplannen op om onder meer
te voorkomen dat een nieuwe wijk een rommelig aanzicht krijgt.
In het bestemmingsplan voor de wijk “Den Brabander fase 2” van de
gemeente Alphen-Chaam is de grafiek van figuur 1 opgenomen.
Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 1
In de nieuwe wijk wordt een aantal bouwpercelen verkocht. Een
bouwperceel is een stuk grond waarvan een gedeelte bebouwd mag
worden. In figuur 1 kun je aflezen hoeveel vierkante meter bij een
bepaalde oppervlakte van een bouwperceel maximaal bebouwd mag
worden.
Voorbeeld: van een bouwperceel met een oppervlakte van 300 m2 mag
maximaal 175 m2 bebouwd worden.
Mevrouw Groen koopt een bouwperceel van 20 bij 20 meter. Zij wil
precies de maximaal toegestane oppervlakte aan bebouwing gebruiken
voor een vierkant huis. Op de overige grond wil zij rondom het huis
grindpaden van 3 meter breed aanleggen.
153puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Gebruik de figuur op de uitwerkbijlage om te bepalen vanaf welke
perceelgrootte de regeling die is weergegeven in figuur 1 strenger is dan
deze vuistregel.
De bouwpercelen zijn minstens 100 m2 groot. Voor bouwpercelen van
500 m2 tot 800 m2 neemt de maximale bebouwing lineair toe. Van geen
enkel bouwperceel mag meer dan 240 m2 bebouwd worden. De grafiek in
figuur 1 bestaat dus uit drie delen: van 100 tot 500, van 500 tot 800 en
vanaf 800.
De drie delen van de grafiek in figuur 1 kunnen we elk karakteriseren met
een beschrijving uit de volgende lijst:
− toenemend stijgend
− constant stijgend
− afnemend stijgend
− constant
− afnemend dalend
− constant dalend
− toenemend dalend.
Tussen 100 en 500 is de grafiek afnemend stijgend, van 500 tot 800
constant stijgend en vanaf 800 constant.
Met behulp van figuur 1 kunnen we ook een grafiek tekenen van de
oppervlakte die minimaal onbebouwd moet blijven. Ook de drie delen van
deze nieuwe grafiek kunnen we karakteriseren met behulp van
bovenstaande lijst.
