opgave 1Continu Vakantie Onderzoek
Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) doet sinds 1990 jaarlijks onderzoek naar het vakantiegedrag van Nederlanders. Dit onderzoek wordt het Continu Vakantie Onderzoek (CVO) genoemd. Bij dit onderzoek gaat het CBS niet uit van alle Nederlanders. Mensen die niet op vakantie kunnen doordat ze bijvoorbeeld in een instelling zitten, doen niet mee in het onderzoek. De onderzochte populatie wordt de CVO- populatie genoemd. Deze is dus kleiner dan de hele Nederlandse populatie. Uit het CVO blijkt dat 80,7% van de CVO-populatie in 2016 ten minste één keer op vakantie is geweest. Deze 80,7% ging maar liefst 35,5 miljoen keer op vakantie: een gemiddelde van 2,78 vakanties per persoon. Met behulp van deze gegevens is de omvang van de CVO-populatie in 2016 te berekenen.
Procenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de omvang van de CVO-populatie in 2016. Geef je antwoord in gehele duizendtallen. In het vervolg van deze opgave zullen we de CVO-populatie gewoon ‘Nederlanders’ noemen. Uit het CVO blijkt dat het aantal vakanties naar het buitenland in de loop van de jaren behoorlijk veranderd is. In figuur 1 is het verloop van het aantal buitenlandse vakanties weergegeven. figuur 1 aantal buitenlandse vakanties ) 0001x (/l a t
In figuur 1 is bovendien de trendlijn voor het verloop van het aantal buitenlandse vakanties met een stippellijn in de periode tot en met 2001 weergegeven. Hoewel het CVO pas sinds 1990 plaatsvindt, is er, gebruikmakend van de trendlijn tot en met 2001, toch een uitspraak te doen over het aantal buitenlandse vakanties in de periode voorafgaand aan 1990.
Lineaire functies 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van lineair extrapoleren het aantal buitenlandse vakanties in 1985. In figuur 1 is te zien dat de lineaire trend die er tot en met 2001 was, eindigt. In 2002 is er een forse toename. Die is te verklaren doordat het CBS sinds 2002 één of meer overnachtingen bij familie in het buitenland ook als een vakantie telt, terwijl dat in de jaren ervoor niet het geval was. In figuur 2 is nogmaals het aantal buitenlandse vakanties weergegeven. Verder is ook het verloop van het totaal aantal vakanties (in binnen- en buitenland samen) weergegeven. Bovendien is voor beide een model opgesteld en weergegeven. Die modellen komen pas na de volgende vraag aan de orde. figuur 2 aantal vakanties in binnen- en buitenland ) 0001x ( l/t a
Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bij de modellen in figuur 2 horen de volgende formules: B = − 10,1 t ² + 587 t + 10 200 en T = − 20,3 t ² + 951 t + 24 800 In dit model is B het aantal buitenlandse vakanties per jaar, T het totaal aantal vakanties per jaar en t de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990. B en T zijn beide in duizenden. Volgens bovenstaand model had het aantal binnenlandse vakanties ook een maximum.
Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 2p · Extremen en optimaliseren 2p
Bereken in welk jaar dat was. Het CBS onderzoekt ook hoe lang mensen op vakantie gaan. Hoewel Nederlanders steeds vaker op vakantie gaan, worden deze vakanties steeds korter. Een model dat het aantal vakanties per jaar en de lengte van deze vakanties beschrijft, is: A = 0,0136 t + 2,43 en L = − 0,024 t + 9,3 In dit model is A het gemiddelde aantal vakanties per jaar per Nederlander, L de gemiddelde lengte van een vakantie in dagen, en t is weer de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990. Volgens dit laatste model blijft het aantal dagen per jaar dat een Nederlander gemiddeld op vakantie gaat, de rest van deze eeuw stijgen.
opgave 2Lengtegroei bij jongens
In deze opgave bekijken we de (gemiddelde) lengte van Nederlandse jongens tot 21 jaar. Met ‘lengte’ wordt in de hele opgave de gemiddelde lengte bedoeld. We gebruiken in deze opgave een veelgebruikt model uit de kindergeneeskunde, het zogenaamde KKP-model. In dit model bestaat de lengte uit drie componenten L 1 , L 2 en L 3 . Bij elkaar opgeteld geven deze drie componenten de lengte van Nederlandse jongens. In figuur 1 staan de drie componenten L 1 , L 2 en L 3 en is ook de som van de drie getekend. figuur 1 In het eerste half jaar is de bijdrage van de componenten L 2 en L 3 voor de lengte verwaarloosbaar en is L 1 alleen een goede benadering voor de lengte. De formule voor L 1 is: L 1 = 76,4 − 19,4 ⋅ 0,9704 w met L 1 in cm en w de leeftijd in weken De formule die hoort bij L 1 heeft een grenswaarde.
Helling en snelheid met de afgeleide 2p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1p
Bereken met behulp van de afgeleide van L 1 de groeisnelheid in cm/week van een jongen een half jaar na zijn geboorte, dus als w = 26 . Geef je antwoord in twee decimalen. Na het eerste halfjaar is de bijdrage van de component L 2 niet meer te verwaarlozen. De formule voor L 2 is: L 2 = − 0,235 t 2 + 9,5 t − 4,7 met L 2 in cm en t de leeftijd in jaren Deze formule speelt verderop in deze opgave nog een rol. De component L 3 is de extra lengte als gevolg van de groeispurt die jongens in de pubertijd ondergaan. De formule voor L 3 is: L 3 = 1 + e 16,1 16,4 − 1,2 t met L 3 in cm en t de leeftijd in jaren Voor de afgeleide van L 3 geldt: 19,32 ⋅ e 16,4 − 1,2 t L 3 = 2 ( 1 + e 16,4 − 1,2 t )
Extremen en optimaliseren 3p
Bereken met behulp van die afgeleide hoe groot de extra groeisnelheid in cm/jaar maximaal is. Geef je antwoord in één decimaal. De som van L 1 , L 2 en L 3 levert de lengte L van een jongen. L kan met de volgende formule beschreven worden: L = − 19,4 ⋅ 0,2096 t − 0,235 t 2 + 9,5 t + 71,7 + 1 + e 16,1 16,4 − 1,2 t Hierbij is L in cm en t de leeftijd in jaren .
Formules herleiden en omwerken 2p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 2p
In figuur 2 zijn voor de leeftijden van 1 jaar tot en met 21 jaar zowel de modellengte volgens de KKP-formule (de vloeiende kromme) als de echte groeigegevens, gebaseerd op de gemiddelde (werkelijke) lengte van jongens, (de stippen) weergegeven. Zoals je kunt zien, past het KKP- model behoorlijk goed bij de werkelijkheid; de stippen passen nagenoeg perfect op de kromme. Omdat het verschil tussen de echte groeigegevens en die van het model zo klein is, is die afwijking tussen de echte groeigegevens en de lengte volgens het model nog eens weergegeven als de gestippelde, onregelmatige grafiek. Hierbij moet de rechter verticale as gebruikt worden. Zo is uit figuur 2 bijvoorbeeld af te lezen dat de werkelijke lengte op 8-jarige leeftijd 0,15 cm afwijkt van de lengte volgens het model. figuur 2 In figuur 2 is af te lezen bij welke leeftijd de absolute afwijking van de berekende gemiddelde lengte met de KKP-formule ten opzichte van de echte groeigegevens het grootst is. De figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
opgave 4De bankenformule
Binnen de economie spelen rentepercentages en de bijbehorende
verdubbelingstijden een grote rol. De verdubbelingstijd is de tijd die nodig
is om een bedrag te verdubbelen.
In de praktijk wordt er binnen de economie vaak gebruikgemaakt van
vuistregels om bij een gegeven rentepercentage de verdubbelingstijd te
schatten.
Twee voorbeelden van zo’n vuistregel zijn de zogeheten 72-regel en de
zogeheten bankenformule:
− volgens de 72-regel geldt:
;
− volgens de bankenformule geldt:
.
In beide vuistregels is p het rentepercentage per jaar en is T de
verdubbelingstijd in jaren.
Een bank biedt een spaarrekening met een rente van 1,00% per jaar aan.
Met behulp van de bankenformule kan geschat worden welke
verdubbelingstijd hierbij geldt. Om met de 72-regel tot dezelfde
verdubbelingstijd te komen, zou er een iets hoger rentepercentage
moeten gelden.
183pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken vanaf welk rentepercentage de schattingen ten hoogste een
maand van elkaar verschillen.
Het werkelijke verband tussen p en T is (1 + 0,01p)T = 2.
Van de twee genoemde vuistregels wijkt de schatting volgens de
bankenformule bij lage rentepercentages het minst af van de werkelijke
verdubbelingstijd.
Bij een rentepercentage van 1,10% per jaar is het verschil tussen de
schatting van de verdubbelingstijd volgens de bankenformule en de
werkelijke verdubbelingstijd slechts enkele maanden.
194pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken dit verschil. Geef je antwoord in gehele maanden.
De schatting volgens de 72-regel en de schatting volgens de
bankenformule worden beide gegeven door een formule van de
vorm p ⋅ T = c met c = 72 bij de 72-regel en c = 70 bij de bankenformule.
Deze waarden voor c zijn onder andere zo gekozen om het rekenwerk te
vergemakkelijken.
Door in de formule p ⋅ T = c met een andere waarde van c te rekenen, kan
er een nauwkeurigere schatting van de verdubbelingstijd gegeven
worden.
Hiervoor bekijken we nogmaals het werkelijke verband tussen p en T.
Dit verband kan ook geschreven worden als:
ln ((1+0,01p)T)=ln(2)
Bij economen is bovendien bekend dat – voor de gangbare waarden van p
die in de economie gelden – de volgende benadering gebruikt mag
worden:
ln(1 + 0,01p) ≈ 0,01p
Met behulp van het verband ln ((1+0,01p)T)=ln(2) en de aanname
ln(1 + 0,01p) = 0,01p kan nu een nauwkeurigere waarde van c berekend
worden.
204pFormules herleiden en omwerken 4p
Onderzoek met behulp van ln ((1+0,01p)T)=ln(2) en
ln(1 + 0,01p) = 0,01p of deze nauwkeurigere waarde hoger of lager is dan
de gekozen waarde c = 70 in de bankenformule.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
opgave 5Kantwerk
Aan de rand van het dorp Olst in Overijssel is in 2008 het kunstwerk
'Kantwerk' geplaatst van de Belgische kunstenaar Marc de Roover.
Zie de foto.
foto
Het kunstwerk stelt de golvende rivier de IJssel voor. De voorkant van het
kunstwerk kan door een sinusoïde benaderd worden.
Op de website van de betreffende gemeente is te lezen dat er voor dit
kunstwerk 3200 latten zijn gebruikt en dat het een lengte heeft van
100 meter. Telwerk leverde op dat iedere hele periode is opgebouwd
uit 60 latten.
De uiteindes van de laagste en de hoogste latten liggen respectievelijk
17 cm en 70 cm boven het gras.
Annemarie en Floortje willen een
paar mooie foto’s voor hun
profielwerkstuk maken. Hiervoor
willen ze een soort bankje creëren
door een plank horizontaal in de golf
neer te leggen. Zie de schets in de
figuur.
Annemarie neemt hiervoor een plank met een lengte van één meter mee.
Floortje neemt een plank mee met een andere lengte. De zithoogte van
het bankje van Floortje komt uit op 50 cm boven het gras.
