bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Temperatuurschalen
In Nederland drukken we temperaturen meestal uit in graden Celsius (°C),
maar er bestaan veel meer temperatuurschalen. In deze opgave bekijken
we een aantal van deze temperatuurschalen.
In de Verenigde Staten wordt de temperatuur uitgedrukt in graden
Fahrenheit (°F). De Fahrenheitschaal is in 1724 ontwikkeld door de
Duitser Gabriel Fahrenheit. Hij gebruikte bij het bedenken van deze
schaal de volgende drie referentiepunten:
1 Hij maakte een mengsel van ijs, water en een bepaald soort zout. Dat
was in die tijd de manier om een zo laag mogelijke temperatuur te
verkrijgen. Die temperatuur noemde hij 0 °F.
2 Het vriespunt van water. Dat noemde hij 32 °F.
3 De lichaamstemperatuur van een gezond mens. Die noemde hij 96 °F.
In graden Celsius is de lichaamstemperatuur van een gezond mens gelijk
aan 37 °C en is het vriespunt van water 0 °C. Zowel de Celsiusschaal als
de Fahrenheitschaal is lineair. En ook het verband tussen de temperatuur
in graden Celsius en die in graden Fahrenheit is lineair.
14pLineaire functies 4p
Bereken met behulp van de bovenstaande referentiepunten de
temperatuur in °C van het ijsmengsel dat Fahrenheit gebruikte.
De metingen van Fahrenheit waren vrij onnauwkeurig en daarmee was
zijn temperatuurschaal dat ook. Inmiddels is de Fahrenheitschaal
nauwkeuriger vastgesteld en geldt tussen graden Celsius (C) en graden
Fahrenheit (
F) het volgende verband:
.
23pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken bij welke temperatuur beide temperatuurschalen dezelfde
temperatuur aangeven.
In de wetenschap werkt men meestal met de Kelvinschaal. Deze schaal is
afgeleid van de Celsiusschaal, maar heeft een ander nulpunt, namelijk het
zogenoemde absolute nulpunt. Dat is de laagst mogelijke temperatuur. In
graden Celsius is dat −273,15 °C.
Er geldt: K = C + 273,15 met K in Kelvin.
Door de twee bovenstaande formules te gebruiken, kun je een formule
opstellen die de temperatuur in Kelvin uitdrukt in graden Fahrenheit. Deze
formule heeft de vorm K = aF + b.
33pFormules herleiden en omwerken 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de waarden van a en b. Geef je antwoorden in twee decimalen.
In de figuur zijn de grafieken getekend van verschillende
temperatuurschalen: Celsius, Fahrenheit en Kelvin. Beide assen hebben
een lineaire schaalverdeling. Op de horizontale as is echter geen
schaalverdeling weergegeven: daar staan enkele natuurkundige
verschijnselen die bij de betreffende temperaturen plaatsvinden.
In de figuur is ook de grafiek getekend van de schaal van Rankine. Deze
schaal is in de negentiende eeuw afgeleid van die van Fahrenheit, maar
heeft, net als de Kelvinschaal, het absolute nulpunt als nulpunt. De
grafieken die horen bij Fahrenheit en Rankine zijn evenwijdig.
figuur
Met behulp van deze grafieken en/of de voorgaande formules is het
mogelijk om een verband op te stellen tussen de temperatuur in °C en die
in graden Rankine (°Ra).
Dat verband heeft de vorm: C = pR + q met C de temperatuur in °C en
R de temperatuur in °Ra.
44pLineaire functies 4p
Stel deze formule op. Licht je antwoord toe en geef de waarden van p en
q in twee decimalen.
opgave 2Zonkracht en beschermingsfactor
Op de verpakking van een zonnebrandcrème staat de volgende tabel:
tabel
De beschermingsfactor van een zonnebrandcrème geeft aan met welke
factor je de maximale tijd in de zon zonder crème moet vermenigvuldigen
om de maximale tijd in de zon met crème te krijgen. Zo kun je in de tabel
aflezen dat met huidtype 1 de maximale tijd in de zon zonder crème
7,5 minuten is. Met crème factor 20 is deze maximale tijd 20 maal zo lang.
Bovengenoemde tabel geldt voor zonkracht 8. De zonkracht is een maat
voor de intensiteit van de zonnestraling. Zonkracht 8 is de maximale
zonkracht die in Nederland voorkomt. Hoe lang iemand in de zon kan
blijven, hangt niet alleen af van zijn huidtype en de zonnebrandcrème,
maar ook van de zonkracht. Voor T, de maximale tijd in de zon zonder
crème, wordt wel de volgende formule gebruikt:
Hierbij is T in minuten en heeft huidtype 1 huidwaarde 60, huidtype 2
huidwaarde 100, huidtype 3 huidwaarde 200 en huidtype 4 huidwaarde
300.
Er zijn zonnebrandcrèmes met beschermingsfactor 10, 15, 20, 30 en 50
beschikbaar.
Op een licht bewolkte dag in juni is de zonkracht 5. Iemand met
huidtype 2 wil 4 uur in de zon kunnen blijven.
53pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken welke beschermingsfactor hij van bovenstaande beschikbare
beschermingsfactoren minimaal nodig heeft in zijn zonnebrandcrème.
In werkelijkheid is de zonkracht gedurende een dag nooit constant, maar
varieert afhankelijk van de bewolking en het moment van de dag. In de
figuur zie je de gemeten zonkracht op 5 september 2015 in Bilthoven.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
De met lijntjes verbonden punten geven de metingen aan. In de figuur is
ook een grafiek getekend die de maximaal mogelijke zonkracht geeft, dat
wil zeggen de zonkracht bij onbewolkte hemel. Onderzoekers benaderen
deze grafiek met een formule van de vorm:
Z = a + bsin(c(t − d))
Hierin is Z de maximaal mogelijke zonkracht en t de tijd in uren.
64puitwerkbijlageSinusoïden: periode, amplitude en formule 4p
Bepaal, met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage, de waarden van a,
b, c en d in deze formule. Licht je antwoorden toe.
Op een bepaalde dag in augustus moet Marieke een lange tijd in de zon
werken. Marieke heeft huidtype 1 en ze smeert zich altijd in met
zonnebrandcrème factor 15. Je kunt nu berekenen dat Marieke maximaal
225 minuten in de zon kan blijven als de zonkracht constant 4 zou zijn.
Voor die dag in augustus is door een onderzoeker voor de maximaal
mogelijke zonkracht Z de volgende formule opgesteld:
Z = 2,65 + 2,65sin(0,50(t −10,7))
Hierin is t de tijd in uren met 7,6 ≤ t ≤ 20,1.
Neem aan dat de zon op deze dag de hele dag schijnt met de maximaal
mogelijke kracht, dus volgens de formule.
opgave 3Touwtjespringen
Op veel schoolpleinen van basisscholen zie je groepen kinderen
touwtjespringen. Twee kinderen draaien een lang touw rond, terwijl
andere kinderen één voor één al springend het draaiende touw
binnengaan en weer uitgaan.
In de figuur is een model van het springtouw in een assenstelsel
getekend. De doorgetrokken lijn is het springtouw in de laagste stand en
de stippellijn is het springtouw in de hoogste stand. Het springtouw wordt
door de draaiers vastgehouden in de punten A en B. Het springtouw raakt
de grond precies midden tussen de draaiers in. We gaan er in dit model
van uit dat het springtouw symmetrisch om de as AB heen draait.
figuur
De formule die hoort bij de doorgetrokken lijn in de figuur is:
H(x) = e−0,31x + e0,31x − 2
Hierin is H(x) de hoogte (in meters) van het springtouw en x de ‘afstand’1)
(in meters) gemeten vanaf het punt waar het springtouw de grond raakt.
In dit model verwaarlozen we de dikte van het springtouw. Het model is
symmetrisch ten opzichte van de H-as en de maximale hoogte van de
stippellijn in de figuur is 1,54 meter.
Uit de gegevens volgt dat de draaiers ongeveer 5,5 meter van elkaar
staan.
84pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de afstand tussen de punten A en B. Geef je antwoord in hele
centimeters.
noot 1 Als x negatief is, betekent dit dat het bijbehorende punt op de doorgetrokken lijn
ergens tussen A en het laagste punt van de doorgetrokken lijn ligt. Zie de figuur.
Bij een bepaald onderdeel van het spel moeten de kinderen rechtop onder
het springtouw door rennen, zonder daarbij het touw te raken. Dat moeten
ze zo dicht mogelijk bij een van de draaiers doen. Het is natuurlijk het
handigst om het zo te doen dat je onder het touw door rent als het in de
hoogste stand is.
Milan is 1,39 meter lang.
94pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Onderzoek op welke afstand van de draaiers Milan minimaal moet rennen
om het touw niet tegen zijn hoofd te krijgen. Geef je antwoord in hele
centimeters.
Bij het touwtjespringen kunnen verschillende spelletjes gespeeld worden.
Een groep van tien kinderen speelt zo’n spel. Bij dit spel wordt deze groep
als volgt verdeeld:
− twee kinderen draaien met het touw, de zogenaamde draaiers;
− de overige acht kinderen worden in twee gelijke teams verdeeld.
104pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende verdelingen er op deze manier mogelijk
zijn.
Bij dit spel gaan de kinderen van een team één voor één het springtouw
binnen. Het eerste kind maakt dan één sprong. Zodra het eerste kind één
sprong gemaakt heeft, komt het tweede kind het springtouw binnen en
samen maken ze twee sprongen.
Na deze twee sprongen komt het derde kind het springtouw binnen en
met z’n drieën maken ze vier sprongen.
Tot slot komt het vierde kind binnen en met z’n vieren springen ze dan
zes keer.
Direct na deze laatste sprongen verlaat het eerste kind het springtouw
weer en kind 2, 3 en 4 volgen hem steeds met tussenpozen van drie
sprongen. In totaal wordt er zo dus 22 keer gesprongen.
Op de uitwerkbijlage zie je een gedeeltelijk ingevuld schema bij dit spel.
opgave 4Hoe ver is de horizon?
Bij helder weer geldt: naarmate je hoger staat, kun je verder kijken. Maar
is het ook zo dat je tweemaal zo ver kunt kijken als je tweemaal zo hoog
staat? Dat onderzoeken we in deze opgave.
Daarvoor maken we een model: we beschouwen de aarde als een gladde
bol. Zie de figuur.
figuur
De ogen van een waarnemer staan in punt A en de waarnemer kan tot
punt H kijken: zó ver reikt zijn horizon. Punt M is het middelpunt van de
aarde. Lijnstuk MH is een straal van de aarde; MH = 6371 km. De lengte
van lijnstuk MA is 6371 km plus de hoogte van A boven de grond. De
hoogte van A boven de grond noemen we x (in kilometers).
Driehoek AHM is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras
AH2 + HM2 = AM2 kunnen we nu de afstand AH (in kilometers)
uitdrukken in x:
133pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel je op 90 meter ooghoogte verder kunt kijken dan op
75 meter ooghoogte. Geef je antwoord in gehele km nauwkeurig.
Dat je verder kunt kijken als je hoger staat, betekent dat AH toeneemt als
x toeneemt.
Uit de formule blijkt dat dit het geval is.
142pStijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p
Beredeneer aan de hand van de formule van AH dat AH toeneemt als x
toeneemt.
Ook door te differentiëren kun je aantonen dat AH toeneemt als x
toeneemt.
155pKettingregel 3p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p
Bepaal de afgeleide
en beredeneer aan de hand van de formule
van deze afgeleide, dus zonder een schets of tekening van de grafiek van
de afgeleide te maken, dat AH toeneemt als x toeneemt.
Henk beweert dat, als je tweemaal zo hoog staat, je ook altijd tweemaal
zo ver kunt kijken.
opgave 5Hypotheek
In 2015 koopt Casper een nieuwe woning. Om die te kunnen betalen, sluit hij bij een bank een hypotheek af . Hij spreekt met de bank een periode af waarin hij de lening terugbetaalt, de looptijd van de hypotheek. Hierbij is het maandelijks te betalen bedrag gedurende de looptijd iedere maand hetzelfde. Dit bedrag bestaat voor een deel uit rente en voor een deel uit aflossing; deze aflossing is een terugbetaling van een gedeelte van het geleende bedrag. De hoogte van de maandelijkse betaling wordt zó gekozen dat aan het eind van de looptijd de hypotheek precies is afgelost en alle rente is betaald. De hypotheek van Casper is € 250 000. Bij zijn hypotheek is de rente gedurende de gehele looptijd van 30 jaar hetzelfde, namelijk 4,3% rente per jaar over het nog terug te betalen deel van het geleende bedrag. Voor de restschuld van Casper kan de volgende recursieve formule worden opgesteld: R n = 1,0035 ⋅ R n − 1 − B met R 0 = 250000 In deze formule is R n de restschuld (in euro’s) na n maanden en B het bedrag (in euro’s) dat hij per maand betaalt. De maandelijkse groeifactor is in deze formule afgerond op 4 decimalen tot 1,0035.
Procenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rijen en recursie 2p
Onderzoek of de hypotheekadviseur gelijk heeft. Het bedrag dat Casper per maand betaalt, bestaat voor een deel uit rente ( I ) en voor een deel uit aflossing ( F ). Er geldt dus: B = I + F . Aan het begin van de looptijd bestaat dit bedrag voor het grootste deel uit rente en slechts voor een klein deel uit aflossing, maar naarmate er meer afgelost wordt, neemt het rentedeel af en de aflossing toe. Voor de hypotheek van Casper is met B =1225,10 het verloop van I en F weergegeven in de figuur.
Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken na hoeveel maanden Casper voor het eerst meer aflossing dan rente betaalt. In het algemeen geldt voor het berekenen van het maandelijks te betalen bedrag B de In deze formule is L de hoogte van de lening, r het rentepercentage per maand en n de (resterende) looptijd van de lening in maanden . Na 10 jaar bedraagt de restschuld van Casper nog € 198 396. 1) Hij heeft op dat moment de mogelijkheid € 50 000 van zijn hypotheek af te lossen. Het nadeel is wel dat hij dan voor de resterende looptijd van 20 jaar een nieuwe lening moet afsluiten met 0,375% rente per maand .
Rekenen met een gegeven formule 2p
Toon aan dat het bedrag dat hij per maand moet betalen, gelijk wordt aan € 938,83 als hij € 50 000 van zijn hypotheek aflost. Casper heeft nu twee mogelijkheden: I Hij verandert niets aan zijn hypotheek en blijft € 1225,10 per maand betalen. De € 50 000 zet hij op een lange-termijnspaarrekening waar hij 2,95% rente per jaar krijgt. II Hij lost met de € 50 000 zijn hypotheek voor een deel af en betaalt nog maar € 938,83 per maand. Het geld dat hij per maand minder uitgeeft, zet hij op de bank maar hij ontvangt hier geen rente over.
opgave 6Wijkertunnel
‘Banken verdienen fors aan Wijkertunnel’
In mei 2013 stond deze kop boven een artikel in het Financieel Dagblad
over de Wijkertunnel. Deze tunnel, deel van de A9 tussen Velsen en
Beverwijk, is gebouwd tussen 1993 en 1996 om de fileproblemen op de
weg op te lossen.
Dit artikel is door vele kranten geciteerd.
Fragment uit het artikel
Wijkertunnel dubbel betaald De staat verliest tot 2026 honderden miljoen euro’s op de Wijkertunnel bij Beverwijk. De tunnel is in de jaren negentig gebouwd met privaat geld. De afspraak was dat de overheid de investeerders ING en Commerzbank in 30 jaar zou terugbetalen afhankelijk van het gebruik van de tunnel. Doordat er veel meer auto’s doorheen gaan dan verwacht, betaalt de staat meer dan de bouw van de tunnel de investeerders heeft gekost.
Op de uitwerkbijlage staan enkele infographics. Dat zijn figuren die de
gemaakte berekeningen van het Financieel Dagblad toelichten. Met
behulp van deze infographics kun je berekenen hoeveel meer de banken
in de periode van 1996 tot 2026 betaald krijgen door de staat dan ze
hebben uitgegeven aan de bouw van de tunnel.
Als de groei zoals die was in de periode 1997 tot en met 2010 zich zo
voortzet tot en met 2025 dan gaan de banken inderdaad veel verdienen
aan de tunnel.
