bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
opgave 1Herbouwkosten in Amsterdam
De herbouwkosten zijn de kosten waarvoor een woning na afbraak
opnieuw gebouwd kan worden. De herbouwkosten zijn voornamelijk
afhankelijk van het vloeroppervlak, dat is het totale oppervlak van alle
verdiepingen met een stahoogte van ten minste 1,5 meter.
De gemeente Amsterdam gebruikt voor verschillende woningtypen
verschillende rekenmodellen om de herbouwkosten te berekenen1).
twee-onder-een-kapwoningen
Voor twee-onder-een-kapwoningen hanteert Amsterdam het volgende
Htwee = −5,63V + 2366,67 met 30 ≤ V ≤ 250
de herbouwkosten voor een twee-onder-een-kapwoning
in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning
12pRekenen met een gegeven formule 2p
Toon aan dat de herbouwkosten van een twee-onder-een-kap-woning met
een vloeroppervlak van 180 m2 (afgerond) 243 600 euro zijn.
met
30 ≤ V ≤ 180 wordt ook een lineair model voor de
herbouwkosten per m
2 vloeroppervlak (
gebaseerd op de volgende gegevens:
25pLineaire functies 2p · Extremen en optimaliseren 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken met behulp van deze gegevens de maximale herbouwkosten
voor een portiekflat met 30 ≤ V ≤ 180. Geef je antwoord in honderden
euro’s.
noot 1 In deze opgave wordt uitgegaan van de regels die in 2017 in Amsterdam golden.
Voor hoekwoningen bestaan de herbouwkosten per m2 vloeroppervlak uit
een vast bedrag van 1375 euro, met daarbovenop een variabel bedrag dat
exponentieel afneemt naarmate het vloeroppervlak groter wordt. Zie de
figuur.
figuur
De formule die wordt gebruikt is van de vorm Hhoek = b ⋅ gV + 1375 met
30 ≤ V ≤ 250.
Op de grafiek in de figuur liggen de punten (30, 3480) en (250, 1387).
34pFormules en vergelijkingen opstellen 1p · Formules herleiden en omwerken 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1
Bereken de waarden van b en g die uit deze gegevens volgen. Geef de
waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.
In de regelgeving hanteert men ook de volgende (nauwkeuriger) formule
voor hoekwoningen:
Hhoek = e−0,02359V+8,36 + 1375 met 30 ≤ V ≤ 250
de herbouwkosten voor een hoekwoning in euro’s per m
2vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m2.
De herbouwkosten van een hoekwoning zijn soms lager dan die van een
twee-onder-een-kapwoning met hetzelfde vloeroppervlak.
53pFormules herleiden en omwerken 3p
Geef deze herleiding. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van
g in vier decimalen.
De formule die men voor tussenwoningen gebruikt, is:
Htussen = e−0,02398V+8,144 + 1144 met 30 ≤ V ≤ 250
de herbouwkosten voor een tussenwoning in euro’s per
m2 vloeroppervlak en is V weer het vloeroppervlak van de woning in m2.
In elk model gaat men ervan uit dat de herbouwkosten per m2 afnemen
naarmate het vloeroppervlak groter is. De mate waarin de herbouwkosten
per m2 afnemen, verschilt per model.
64pKettingregel 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p
Stel de afgeleiden van Hhoek en Htussen op en onderzoek met behulp van
een schets van beide afgeleiden bij welke van deze twee woningtypen de
mate van afname het grootst is. Licht je antwoord toe.
opgave 2Groeimodellen
In de 18e eeuw werd algemeen aangenomen dat de toename van een
populatie dieren kan worden beschreven met behulp van een
meetkundige rij. Een model uit die tijd is:
In dit model geldt:
− 
is de
populatiefractie na
n jaar. Dat is de grootte van de populatie
als deel van de maximale populatie.
is dus een getal tussen 0 en 1.
− c is de startpopulatiefractie. Ook dit getal wordt uitgedrukt als een
deel van de maximale populatie (en dus geldt 0 < c < 1).
− r is de reproductiefactor: een getal dat aangeeft hoe snel een
populatie zich per jaar uitbreidt.
Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van
165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28
en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.
73pRijen en recursie 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van model 1 na hoeveel jaar dit maximale aantal
bereikt zal zijn.
In model 1 wordt ervan uitgegaan dat een populatie altijd even snel groeit.
Dit komt echter niet overeen met de werkelijkheid: als de populatie groeit
wordt de ruimte per dier namelijk steeds kleiner, waardoor het moeilijker
wordt om voedsel te vinden. Hierdoor zal een populatie steeds minder
snel gaan groeien naarmate deze toeneemt.
Een verbeterde versie van model 1 is het logistische model:
model 2
De variabelen in dit model hebben dezelfde betekenis als in model 1.
De Oostvaardersplassen is een natuurgebied in de buurt van Lelystad. In
2020 leefden er in dit gebied een groot aantal edelherten. Door dit grote
aantal konden andere diersoorten, voornamelijk vogels, zich niet meer
goed ontwikkelen. Mede daarom wordt sinds 2021 de populatie door het
afschieten van de dieren stabiel gehouden op 500 edelherten.
Neem aan dat er maximaal 2000 edelherten in de Oostvaardersplassen
kunnen leven. Er geldt vanaf 2021 dat r = 1,58 en c = 0,25.
83pRijen en recursie 3p
Bereken met behulp van model 2 hoeveel edelherten er in de periode
2021-2023 bij zouden komen als er geen dieren zouden worden
afgeschoten.
In de rest van deze opgave gaan we bekijken hoe model 2 zich gedraagt
bij verschillende waarden van r.
Als je voor
r een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert
voor iedere
startwaarde c (met 0 < c < 1) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de
formule voor
.
93pRijen en recursie 3p
Geef een redenering waaruit blijkt dat wanneer
r tussen de 0 en 1 is,
altijd naar 0 nadert.
Voor waarden van r groter dan 1 wordt het model erg onvoorspelbaar.
figuur
In de figuur is de grafiek getekend voor r = 3,15 en c = 0,25. Er is te zien
dat de waarde van P op den duur heen en weer gaat springen tussen
twee vaste waarden.n
103pRijen en recursie 3p
Onderzoek tussen welke twee waarden
heen en weer gaat springen
voor r = 3,15 en c = 0,25. Geef deze waarden in twee decimalen.
opgave 3Unieke woorden
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze
opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal
verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer
unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.
In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een
tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:
U: het aantal unieke woorden in een stuk tekst;
T: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.
We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:
112pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze
opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal.
Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het
verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 1.
figuur 1
In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De
gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T.
Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen
8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds
minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt
gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden
tegengekomen.
125puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur op de
uitwerkbijlage hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je
dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.
De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U
en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap
bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.
De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database – de
zogeheten RCV1 – beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek.
Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald.
Zie figuur 2, waarin log(U) tegen log(T) is uitgezet.
figuur 2
De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1
en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-
Heap.
Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
132pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Ga met behulp van figuur 2 na of deze tekst voldoet aan de wet van
Herdan-Heap.
Een formule voor de gestippelde lijn in figuur 2 is
log(U) = 0,49log(T) + 1,64
154pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding en bepaal daarmee c in één decimaal.
Naarmate je vanaf het begin onafgebroken verder leest in RCV1, komen
er steeds minder unieke woorden bij. Vanaf een bepaald totaal aantal
woorden komt er (gemiddeld) minder dan één uniek woord per 50
woorden bij.
opgave 4London Eye
De London Eye is een reuzenrad in
Londen. Zie de foto.
Een toerist heeft een kaartje gekocht
waarmee hij zelf een dagprogramma
kan samenstellen. Zo’n dagprogramma
bestaat uit een bezoek aan de London
Eye en aan nog twee andere attracties.
Die twee andere attracties mag hij
kiezen uit vijf bekende attracties in
Londen. De toerist mag zelf bepalen in welke volgorde hij de
drie attracties bezoekt.
173pTelproblemen 3p
Bereken hoeveel verschillende dagprogramma’s de toerist kan maken.
De London Eye heeft 32 gondels, waarin de bezoekers plaatsnemen.
Eén rondgang van een gondel duurt precies 30 minuten.
De grafiek in de figuur hoort bij de hoogte van een van de gondels.
figuur
Bij deze grafiek hoort de formule h = 75 + 60 ⋅ sin(0,209t). Hierbij is h de
hoogte van de gondel boven de grond in meters en t de tijd in minuten
met t = 0 om 11.00 uur ’s ochtends.
Deze grafiek hoort echter niet bij de gondel die zich om 11.00 uur bij het
instapplatform in het laagste punt bevindt. De grafiek van de gondel die
zich om 11.00 uur in het laagste punt bevindt, heeft een formule van de
vorm h = 75 + 60 ⋅ sin(0,209(t − d)).
182pSinusoïden: periode, amplitude en formule 2p
Bereken een mogelijke waarde van d.
De gondels draaien met een dusdanig lage constante snelheid dat bij het
in- en uitstappen het reuzenrad niet hoeft te worden stilgezet. Deze
constante snelheid is even groot als de maximale snelheid waarmee h
toeneemt of afneemt.
195pHelling en snelheid met de afgeleide 3p · Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken deze constante snelheid in km/uur. Geef je antwoord in twee
decimalen.
Hoe hoger je in het reuzenrad komt, hoe verder je kunt kijken. Met de
formule
, waarbij
a de maximale kijkafstand in
meters is en h de hoogte boven de grond in meters, kun je benaderen hoe
ver je kunt kijken vanaf een bepaalde hoogte boven de grond.
Windsor Castle ligt hemelsbreed 40 kilometer van de London Eye
vandaan. Op een heldere dag kun je vanuit de London Eye Windsor
Castle zien liggen.
opgave 5NS Flex
Voor reizigers met het openbaar vervoer verkoopt de NS de zogenaamde
NS Flex-abonnementen. Je kunt dan voor elke maand opnieuw het
abonnement kiezen waarmee je in die maand in totaal de laagste kosten
hebt.
Drie van deze Flex-abonnementen zijn Dal Voordeel, Altijd Voordeel en
Dal Vrij. In de tabel staan voor deze abonnementen de kosten per maand
aangegeven en de kortingen die bij deze abonnementen gegeven worden.
In deze opgave beperken we ons tot deze drie abonnementen.
tabel
Dal Voordeel Altijd Voordeel Dal Vrij € 5,- per maand € 23,- per maand € 105,- per maand 40% korting in het weekend 40% korting in het weekend onbeperkt reizen in het weekend 40% korting buiten de spits 40% korting buiten de spits onbeperkt reizen buiten de spits geen korting in de spits 20% korting in de spits geen korting in de spits
Eefje woont in Enschede en werkt in Deventer. Ze reist altijd met de trein
naar haar werk. Het aantal dagen dat ze per maand moet reizen is
verschillend. Eefje wil een schema maken waaruit ze voor elk mogelijk
aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het
voordeligst is.
Voor het maken van dit schema moet rekening gehouden worden met de
volgende gegevens:
− Eefjes werkdagen zijn van maandag tot en met donderdag.
− Eefjes heenreis is met de trein van 6.16 uur vanuit Enschede.
− Eefjes terugreis is met de trein van 17.30 uur vanuit Deventer.
− Eefje reist altijd 2e klas en via de goedkoopste route.
− Eefje reist alleen voor haar werk met de trein.
− De spits is op werkdagen van 6.30 tot 9.00 uur en van 16.00 tot
18.30 uur.
− Het tijdstip waarop je incheckt, bepaalt de korting die wordt berekend
voor de hele reis.
− Een enkele reis Enschede-Deventer vol tarief 2e klas kost € 12,10.
