opgave 1Machten van een derdegraadsfunctie
Gegeven is de functie
f (
x)
x
x3 op het domein [0, 3].
15p
Bereken algebraïsch de exacte waarde van de oppervlakte van
V.
Op het domein [0, 3] bekijken we de functies
g p (
x)
= (
f (
x))
x
x3)p,
waarbij p > 0.
In figuur 1 zijn de grafieken van g p getekend voor p = 10, p = 2, p = 1, p = 0,5 en
figuur 1
Voor elke positieve waarde van p gaat de grafiek van gp door O, T en S.
23p
Toon dat aan.
opgave 2Krasloten
Deze opgave gaat over krasloten waarmee je 3 euro of 6 euro of niets kunt ontvangen. Elk
kraslot heeft drie vakjes, die je open kunt krassen. Zie figuur 2.
In één van de vakjes is een MIN (–) verborgen, in de andere twee een PLUS (+).
Je kunt het kraslot inleveren na één vakje of na twee vakjes te hebben opengekrast. Voor
elke opengekraste PLUS ontvang je 3 euro, maar als je de MIN hebt opengekrast, is het lot
waardeloos geworden. Zie figuur 3.
Bij de mensen die de krasloten kopen onderscheiden we twee typen krassers:
• waaghalzen: krassen een tweede vakje open als het eerste vakje een PLUS oplevert;
• angsthazen: krassen één vakje open en stoppen.
Je kunt je afvragen welk type krasser het slimste is.
34p
Bereken voor zowel de
waaghalzen als de
angsthazen welk bedrag zij naar verwachting per
opengekrast lot zullen ontvangen.
Bij een bepaalde kiosk is gebleken dat 65% van de krassers waaghals is en 35% angsthaas.
Op zekere dag komen 500 mensen een lot kopen bij deze kiosk en krassen het open.
45p
Bereken hoeveel van deze mensen naar verwachting niets uitbetaald krijgen.
Van een groep mensen bestaande uit 65 waaghalzen en 35 angsthazen heeft ieder precies
één lot opengekrast.
56p
Bereken de kans dat uiteindelijk meer dan 60 mensen van deze groep precies één vakje
hebben opengekrast.
opgave 3Een verzameling functies
fn (x) = 1 + sin2 x + cos nx waarbij n een positief geheel getal is.
De grafiek van
fn gaat voor bepaalde waarden van
n door het punt (
).
64p
Onderzoek voor welke waarden van
n tussen 0 en 50 dit geldt.
f4 (
x) is te schrijven als
f4 (
x)
= 1
cos2
x + cos4
x.
73p
Toon aan dat dit juist is.
De grafiek van f4 verdeelt deze rechthoek in twee gebieden.
87p
Toon aan met behulp van integreren dat deze twee gebieden exact dezelfde oppervlakte
hebben.
opgave 5Grondprijs
Een nieuw industrieterrein grenst aan een
recht kanaal en heeft de vorm van een
rechthoek OABC.
OA = 400 m en OC = 200 m. Zie figuur 6.
De grondprijs is afhankelijk van de afstand
tot het kanaal: hoe dichter bij het kanaal, hoe
duurder de grond.
Het verband tussen de grondprijs P (in euro
per m2) en de afstand tot het kanaal x (in
meters) wordt gegeven door de formule:
De punten waar P gelijk is aan 63 liggen op
een lijn. Deze lijn is in figuur 6 getekend.
Deze figuur staat ook vergroot op de
uitwerkbijlage.
114puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de lijn waarop alle punten liggen waar
P gelijk is
aan 55. Licht je antwoord toe.
125pIemand wil een schatting maken van de
grondprijs van het gehele terrein.
Daartoe verdelen we rechthoek OABC in
rechthoekjes met lengte 200 meter en breedte
∆x meter.
In figuur 7 is één zo’n rechthoekje getekend
op x meter van het kanaal.
rechthoekje x meter van het kanaal. De totale
grondprijs is dan bij benadering de som van
de grondprijzen van deze rechthoekjes.
Bereken op deze manier de totale grondprijs
als ∆x = 5 meter. Geef je antwoord in
miljoenen euro, afgerond op twee decimalen.
De totale grondprijs is nauwkeuriger te
berekenen met behulp van een integraal.
134p
Bereken de totale grondprijs met behulp van
deze integraal.
opgave 6Ingesloten
In figuur 8 is een vierkant getekend met figuur 8 middelpunt M en zijden 2. In het vierkant zijn de horizontale en verticale symmetrieas getekend. Op afstand a van de middens van de zijden liggen de punten A , B , C en D . Hierbij is 0 < a ≤ 1. We gaan een rij punten op de symmetrieassen construeren. • Als startpunt P 0 kiezen we het midden van de rechterzijde • P 0 A snijdt een as in P 1 • P 1 B snijdt een as in P 2 • P 2 C snijdt een as in P 3 • P 3 D snijdt een as in P 4 enzovoort. In figuur 8 zijn de eerste drie stappen (dus tot en met punt P 3 ) uitgevoerd. Bij elke stap ontstaan twee gelijkvormige driehoeken. De lengte van MP n noemen we u n ( n = 0, 1, 2, 3, ...). Dus u 0 = MP 0 = 1. Neem a = 1. Dan liggen de punten A , B , C en D op de hoekpunten van het vierkant.
![Op het domein [0, 2π] zijn gegeven de functies:](fx/p04-84-74-290-67081aee.webp){kind=small}
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de
AMP = 
APD. S is het snijpunt van AD en
Bewijs dat AS = PS = MS.
PAF
QBF
Bewijs dit.
Bewijs dit.
