bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2005, tijdvak 2 (wiskunde B1)

opgave 1Twee benaderingen van sin x

Met domein [0, π] is gegeven de functie f(x) = sin x .
De grafiek van f snijdt de x-as in O en A en heeft als top T. Zie figuur 1.
T A x O
figuur 1
Gegeven is verder de tweedegraadsfunctie g(x) = ax(x π), eveneens met domein [0, π].
In de vragen 1 en 2 nemen we a = (− 4)/(π2). De grafieken van f en g lijken dan op elkaar.
13p
Toon aan dat ook de grafiek van g door O, A en T gaat.
In O is de helling van de grafiek van g groter dan de helling van de grafiek van f.
25p
Toon dit aan met behulp van differentiëren.
Een andere benadering voor de grafiek van f krijgen we als we a zodanig kiezen dat geldt:
π
(g(x) f (x))dx 0 .
0
37p
Bereken in dit geval de exacte waarde van a.

opgave 2Eén, twee of drie keer testen

Bij een experiment doen proefpersonen een test. Zodra de test succesvol is, is de
proefpersoon klaar. Als de eerste test niet succesvol is, doet de proefpersoon een tweede
test; als die tweede test ook niet succesvol is, doet de proefpersoon een derde test. Een
proefpersoon doet hoogstens drie keer een test.
We nemen aan dat elke keer dat de test wordt gedaan de kans op succes 0,3 is,
onafhankelijk van eventuele vorige testen.
De verwachtingswaarde van het aantal keren dat een proefpersoon de test doet, is 2,19.
44p
Toon dit aan.
Voor het experiment is € 10 000 beschikbaar. Men betaalt elke proefpersoon € 100 voor
zijn deelname aan het experiment. De kosten per test bedragen € 50.
Men wil zo veel mogelijk proefpersonen laten meedoen.
54p
Bereken hoeveel proefpersonen men naar verwachting aan dit experiment kan laten
deelnemen.
65p
Bereken de kans dat van tien proefpersonen meer dan de helft na drie keer testen nog geen
succes heeft.

opgave 3Reistijd

rivier A B
figuur 2
Een boot vaart op een rivier van A naar B en terug. De afstand tussen A en B is 10 km. De
boot vaart altijd met een snelheid van 20 km/u ten opzichte van het water. De rivier stroomt
in de richting van A naar B. Zie figuur 2.
Tijdens de reis van de boot van A naar B en terug is de stroomsnelheid van de rivier
constant. We noemen de stroomsnelheid v (in km/u).
Een voorbeeld: als v = 5, dan vaart de boot op de heenreis met een snelheid van 25 km/u ten
opzichte van de oever en op de terugreis met een snelheid van 15 km/u ten opzichte van de
oever.
De totale reistijd T van een retourtocht wordt gegeven door:
T = (10)/(20 + v) + (10)/(20 − v)
Hierbij is T in uren en v in km/u met 0 < v < 20.
73p
Toon aan dat deze formule juist is.
83p
Bereken bij welke waarde van v de totale reistijd van een retourtocht 2 uur is. Geef je
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Als de stroomsnelheid van de rivier groter wordt, neemt de totale reistijd van een
retourtocht toe.
96p
Toon dit aan met behulp van de formule van de afgeleide functie van T.
Veronderstel dat v varieert tussen 0 en 10 km/u en dat alle waarden van 0 tot en met 10
even vaak voorkomen. De gemiddelde reistijd kun je dan benaderen door T uit te rekenen
voor v = 0, v = (1)/(10), v = (2)/(10), v = (3)/(10), enzovoort tot en met v = 10 en van de reistijden het
gemiddelde te nemen.
105p
Bereken de gemiddelde reistijd met deze benaderingswijze; geef je antwoord in minuten
nauwkeurig.
Je kunt de gemiddelde reistijd ook uitrekenen met een integraal.
116p
Toon langs algebraïsche weg aan dat de gemiddelde reistijd gelijk is aan ln 3 uur.

opgave 4Maximumsnelheid

De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is
waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de
snelheidsmeter een snelheid van v km/u aangeeft, is de waarde van de werkelijke snelheid
normaal verdeeld, waarbij het gemiddelde gelijk is aan v en de standaardafwijking gelijk is
aan 1,5% van dat gemiddelde.
Bij snelheidscontroles wordt een marge aangehouden van 3%. Dus bijvoorbeeld bij een
maximumsnelheid van 100 km/u wordt er beboet bij snelheden van 103 km/u en hoger.
Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de
meter steeds met precies de toegestane maximumsnelheid.
Stel dat de toegestane maximumsnelheid 70 km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van
de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt, is dan, afgerond op
drie decimalen, gelijk aan 0,023.
124p
Toon dit aan.
De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is voor elke toegestane
maximumsnelheid even groot.
134p
Toon dit aan.
De bestuurder passeert in een jaar 200 keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer
men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de
bestuurder voor een boete in aanmerking komt, is telkens 0,023.
144p
Bereken de kans dat de bestuurder van die 200 keer meer dan 2 keer gewaarschuwd wordt.

opgave 5Exponentiële functie

Gegeven is de functie f(x) = e . Op de grafiek van f liggen de punten A en B met
x-coördinaten xA = 0 en xB = 1. Zie figuur 3.
y A 1 B x O 1
figuur 3
Het vlakdeel begrensd door het lijnstuk AB en de grafiek van f noemen we V.
156p
Bereken de oppervlakte van V.
Op de grafiek van f ligt een punt C waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan
het lijnstuk AB.
165p
Bereken de x-coördinaat van C. Rond af op twee decimalen.

opgave 6Achtervolging

Op tijdstip t = 0 beginnen de punten P en Q met een eenparige cirkelbeweging. De bewegingsvergelijkingen ⎧/⎪ x ( t ) = 5cos ( 10 11 t ) zijn ⎪ ⎧ x ( t ) = 5cos ( t + ⅔ π ) voor P : ⎨ en voor Q : ⎨ ⎪/⎩ y ( t ) = 5sin ( 10 11 t ) ⎪/⎩ y ( t ) = 5sin ( t + ⅔ π ) Hierbij is t in seconden en zijn x ( t )…

Op tijdstip t = 0 beginnen de punten P en Q met een eenparige cirkelbeweging. De bewegingsvergelijkingen ⎧/⎪ x ( t ) = 5cos ( 10 11 t ) zijn ⎪ ⎧ x ( t ) = 5cos ( t + ⅔ π ) voor P : ⎨ en voor Q : ⎨ ⎪/⎩ y ( t ) = 5sin ( 10 11 t ) ⎪/⎩ y ( t ) = 5sin ( t + ⅔ π ) Hierbij is t in seconden en zijn x ( t ) en y ( t ) in centimeters. In figuur 4 staat de beginsituatie op schaal getekend. Deze figuur is ook op ware grootte afgedrukt op de uitwerkbijlage. figuur 4 Tijdens de beweging wordt Q telkens door P ingehaald.

→ Bereken na hoeveel seconden Q voor het eerst door P wordt ingehaald. Op een bepaald tijdstip heeft P over de cirkel een afstand van 20 cm afgelegd.
→ Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats van P op dit tijdstip. Licht je werkwijze toe. ⎛ x P + x Q y P + y Q ⎞ Het punt M is het midden van lijnstuk PQ . De coördinaten van M zijn ⎜/⎜ ⎝ 2 ⎧ x ( t ) = ϕ ( t ) ⋅ cos( at + b ) De bewegingsvergelijkingen van M zijn van de vorm ⎨ ⎩ y ( t ) =…

→ Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats van P op dit tijdstip. Licht je werkwijze toe. ⎛ x P + x Q y P + y Q ⎞ Het punt M is het midden van lijnstuk PQ . De coördinaten van M zijn ⎜/⎜ ⎝ 2 ⎧ x ( t ) = ϕ ( t ) ⋅ cos( at + b ) De bewegingsvergelijkingen van M zijn van de vorm ⎨ ⎩ y ( t ) = ϕ ( t ) ⋅ sin( at + b )

→ Geef een formule voor φ uitgedrukt in t . Licht je antwoord toe. Einde