Eindexamen wiskunde B vwo 2009 tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Een benadering van een nulpunt

Voor elke positieve startwaarde x₀ is een rij x₀, x₁, x₂, … gegeven door de

volgende recursievergelijking: x_n_ +_1 = (1)/(2)x_n + (1)/(x)_n

Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als x_n+1 = g(x_n), waarbij

met x > 0.

In de figuur op de uitwerkbijlage zijn de grafiek van g en de lijn y = x getekend.

In deze figuur is op de x-as een getal x₀ gekozen.

13p

Teken in deze figuur met behulp van een webgrafiek de bijbehorende plaatsen

van x₁ en x₂ op de x-as.

De rij x₀, x₁, x₂, … convergeert. De grafiek van g heeft één top.

25p

Toon aan dat de limiet van de rij x₀, x₁, x₂, … exact gelijk is aan de

x-coördinaat van de top van de grafiek van g.

Een nulpunt van een functie f kan in het algemeen snel benaderd worden met

de recursievergelijking bij een geschikte keuze van .

Deze benaderingsmethode noemt men de methode van Newton-Raphson.

Passen we deze methode toe voor een benadering van het nulpunt √(2)

van

f(x) = x² − 2 dan volgt hieruit de gegeven recursievergelijking x_n_ +_1 = (1)/(2)x_n + (1)/(x)_n

34p

Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de vergelijking x_n_ +_1 = x_n − (f (xn))/(f'(x))_n

opgave 2Wachten op de bus

Bij een evenement worden mensen vanaf een opstapplaats per bus vervoerd

naar de ingang van de evenementenhal. Voortdurend pendelen drie bussen

tussen de opstapplaats en de ingang. De reistijd van een bus (van de

opstapplaats naar de ingang en terug) is gemiddeld 60 minuten.

In figuur 1 is de situatie weergegeven dat na elke 20 minuten een bus vertrekt.

Neem aan dat voor mensen die met de bus mee willen, elk aankomsttijdstip op

de opstapplaats even waarschijnlijk is. Een bezoeker aan het evenement komt

dus met kans

in elk van de drie tijdsintervallen tussen de vertrekkende

bussen aan en voor elk van die tijdsintervallen is de te verwachten wachttijd

10 minuten. De verwachtingswaarde van de wachttijd is dus

(1)/(3) ⋅ 10 + (1)/(3) ⋅ 10 + (1)/(3) ⋅ 10 = 10

minuten.

In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de bussen vertrekken met

tussenpozen van 10, 20 en 30 minuten.

figuur 1

figuur 2

44p

Bereken in de situatie van figuur 2 de verwachtingswaarde van de wachttijd voor

een bezoeker aan het evenement.

De reistijd van de bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van

60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter

duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 10% van de ritten langer

duurt dan 65 minuten.

54p

Bereken de maximale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij

aan deze eis voldaan is.

Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een

standaardafwijking van 3,4 minuten hebben.

We bekijken twee opeenvolgende bussen.

64p

Bereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de

tweede bus minder dan 55 minuten.

opgave 3Een buiteling

Een lijnstuk PQ met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel waarvan de straal OE 1 meter is. In figuur 1 zijn de beginstand, twee tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin PQ raakt aan de halve eenheidscirkel noemen we R . Dus op elk moment staat PQ loodrecht op OR en is het lijnstuk PR even lang als de cirkelboog ER . figuur 1 beginstand: R = P Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 m/s over de halve cirkel beweegt. Op tijdstip 0 begint PQ aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E . Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat O het punt (0, 0) is en E het punt (1, 0). Zie figuur 2. figuur 2

In figuur 2 is het lijnstuk PQ op tijdstip t getekend voor een waarde van t tussen 0 en π . Omdat de straal van de halve cirkel 1 m is en de snelheid van R gelijk is aan 1 m/s, geldt ∠ EOR = t (rad) en RP = t (m). Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. Voor de coördinaten van P geldt:

Toon de juistheid aan van de formule voor x ( t ) met 0 ≤ t ≤ ½ π . In figuur 3 zijn drie standen van PQ getekend en de gehele baan van P . figuur 3 De grootte van de snelheid in m/s van het punt P na t seconden noemen we v ( t ) . Er geldt: Hieruit volgt: v ( t ) = t .

opgave 4Twee parabolen met een gemeenschappelijke richtlijn

In figuur 1 zijn een lijn k en twee punten A en B getekend. Verder zijn getekend

de parabool p₁ met brandpunt A en richtlijn k en de parabool p₂ met brandpunt

B en richtlijn k. De parabolen snijden elkaar in de punten D en E.

Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 1

D en E liggen op de middelloodlijn van AB.

103p

Bewijs dit voor punt D.

Wanneer we het vlak verdelen tussen punt A, punt B en lijn k volgens het

naaste-buurprincipe, spelen onder andere de parabolen p₁ en p₂ daarbij een

rol.

113puitwerkbijlage

Geef in de figuur op de uitwerkbijlage met verschillende kleuren of arceringen

deze verdeling van het vlak aan.

Lijn AB snijdt lijn k in punt C. De lijn

figuur 2

124p

m gaat door C en raakt de parabool

p₁ in punt R. Zie figuur 2. Deze

figuur staat vergroot op de

uitwerkbijlage.

Er geldt: m is de bissectrice van een

hoek tussen de lijnen k en AB.

Bewijs dit.

opgave 5Een gemeenschappelijke raaklijn

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = ln(x) en g(x) = e^x. In figuur 1 zijn de

grafieken van beide functies getekend. De lijn k is een gemeenschappelijke

raaklijn aan de grafieken van f en g. Het punt waarin k de grafiek van f raakt,

noemen we P(p,ln(p)), met p > 0. Het punt waarin k de grafiek van g raakt,

noemen we Q(q,e^q), met q < 0.

figuur 1

5 y 4 3 g 2 P 1 k f Q q -1 O 1 2 3 4 p 5 x -1 -2

Omdat k raaklijn is in punt P aan de grafiek van f, is y = (1)/(p)x + ln(p) − 1

een

formule voor k.

133p

Toon dit aan.

Omdat k raaklijn is in punt Q aan de grafiek van g, is ook y = e^qx + e^q(1 − q) een

formule voor k.

Uit de twee formules voor k kunnen we twee verbanden tussen p en q afleiden:

(oftewel p = e^−q) en e^q(1 − q) = ln(p) − 1.

Uit deze twee verbanden volgt dat q voldoet aan de vergelijking e^q = (q + 1)/(q − 1)

143p

Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de twee genoemde verbanden

tussen p en q.

154p

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de richtingscoëfficiënt van de

gemeenschappelijke raaklijn k.

opgave 6Een koordenvierhoek?

Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. Aan weerskanten van

C liggen de punten K en L op de omgeschreven cirkel zo dat CK = CL. De

koorde KL snijdt de zijden AC en BC in P en Q.

Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 1

Er geldt:

165p

Bewijs dit.

174p

Bewijs dat vierhoek ABQP een koordenvierhoek is.

opgave 7Een vuurpijl met tegenwind

Een vuurpijl wordt vanaf de grond schuin weggeschoten. Door tegenwind beschrijft de vuurpijl een baan zoals die in figuur 1 getekend is. figuur 1 In deze figuur is een assenstelsel aangebracht met de x -as op de grond tegen de windrichting in en de y -as verticaal. In O wordt de vuurpijl afgeschoten. In B komt hij weer op de grond. A is het punt van de baan dat het meest naar rechts ligt. We gebruiken voor de baan de volgende formules: voor het eerste deel OA van de baan geldt voor het tweede deel AB van de baan geldt met x en y in meter.