naslagFormules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,parabool.
driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
cos
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin
opgave 4Bissectrice en cirkel
AB is een koorde van een cirkel met middelpunt M. Op deze koorde is
een gelijkbenige, stomphoekige driehoek ABC getekend met C op de
cirkel en AC = BC. De raaklijn aan de cirkel in A snijdt lijn BC in punt D.
Zie figuur 1. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Er geldt: lijn AC is bissectrice van hoek BAD.
53pBewijs dit.
In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. Door A, C en D is een
gestippelde cirkel getekend. Punt E is zo op lijnstuk AB gekozen, dat
lijnstuk EC de gestippelde cirkel in een punt F snijdt.
De lijnstukken AC en DF snijden elkaar in punt G.
Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
64pBewijs dat G op de cirkel door A, E en F ligt.
opgave 5Twee sinusoïden
De functies f en g zijn gegeven door:
sin
en
g(x) = sin
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven op het interval
![[0,(2)/(3)π]](fx/p07-105-168-143-13f140e5.webp)
. Verder is de lijn getekend met vergelijking
x = p, met
.
Deze lijn snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.
figuur
De lengte van lijnstuk AB is afhankelijk van p. Voor een bepaalde waarde
van p is deze lengte maximaal.
77pBereken exact voor welke waarde van p de lengte van lijnstuk AB
maximaal is.
opgave 6Sinus en parabool
Op het domein [0,π] is de functie f gegeven door:
f(x) = 3sin(x) − 2sin2(x)
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten (0,0) en (π,0). Zie figuur 1.
figuur 1
De lijn met vergelijking
y = 1 raakt de grafiek van
f in het punt
.
Deze lijn heeft nog twee andere punten met de grafiek van f
gemeenschappelijk.
85pBereken exact de afstand tussen deze twee andere punten.
V is het gebied dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f.
Zie figuur 2.
figuur 2
95pBereken exact de oppervlakte van V.
In figuur 3 is opnieuw de grafiek van f getekend. Ook is de parabool door
(0,0) getekend die de grafiek is van een functie g die is gegeven door:
g(x) = ax2 + bx, waarbij a en b constanten zijn.
Deze constanten zijn zo gekozen dat:
− het punt (π, 0) op de parabool ligt én
− de grafiek van f en de parabool in het punt (0,0) dezelfde helling
hebben én
− de grafiek van f en de parabool in het punt (π,0) dezelfde helling
hebben.
figuur 3
106pBereken exact de waarden van a en b.
opgave 7Brandwerendheid van een deur
De (lucht)temperatuur tijdens een bepaald soort natuurlijke brand kan
worden beschreven met het volgende model:
Tnat(t) = 20 + 1050 ⋅ e−ln2(t)+6ln(t)−9
Hierin is Tnat de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin
van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in figuur 1.
figuur 1 natuurlijke brand
In de figuur is te zien dat de temperatuur bij deze natuurlijke brand een
maximum bereikt.
115pBereken exact deze maximale temperatuur.
Deuren worden getest op hun brandwerendheid door ze in een
laboratorium aan een brand bloot te stellen.
De temperatuur tijdens zo’n laboratoriumbrand verloopt anders dan bij
de natuurlijke brand, namelijk volgens de formule:
Tlab(t) = 20 + 345 ⋅ log(8t + 1)
Hierin is Tlab de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin
van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in figuur 2.
figuur 2 laboratoriumbrand
Temperaturen onder de 300 °C leveren geen blijvende schade aan de
deur op. Pas vanaf een temperatuur van 300 °C heeft een deur onder de
brand te lijden. Het tijdstip t waarop deze temperatuur bij de
laboratoriumbrand wordt bereikt, is afgerond op twee decimalen 0,69. Zie
figuur 2.
124pBereken algebraïsch het tijdstip t waarop de temperatuur bij de
laboratoriumbrand de waarde 300 °C bereikt. Rond je antwoord af op drie
decimalen.
In de rest van deze opgave bekijken we een deur die wordt blootgesteld
aan een laboratoriumbrand. Deze deur blijkt precies 30 minuten stand te
houden. Men vraagt zich af hoe berekend kan worden of zo’n deur tijdens
de natuurlijke brand óók 30 minuten standhoudt.
In figuur 3 is het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de
grafiek van Tlab, de horizontale lijn met vergelijking T = 300 en de
verticale lijn met vergelijking t = 30.
figuur 3 laboratoriumbrand
De Amerikaan Simon Ingber deed in 1928 de volgende veronderstelling:
De deur bezwijkt tijdens de natuurlijke brand op dát tijdstip t , waarvoor b geldt dat de oppervlakte tussen de grafiek van T , de horizontale lijn met nat vergelijking T =300 en de verticale lijn met vergelijking t =t gelijk is aan b de oppervlakte van het grijze vlakdeel in figuur 3.
137pOnderzoek of volgens de veronderstelling van Ingber de deur tijdens de
natuurlijke brand minstens 30 minuten standhoudt.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
en
