bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2019, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Minimale lengte

De functie f wordt gegeven door f(x) = x(x − 3)2 + 2. Op de grafiek van f
ligt het punt P. Verder is gegeven het punt A(7,0). Zie de figuur.
De lengte van lijnstuk AP hangt af van de positie van P. In de figuur is P
zó gekozen dat de lengte van lijnstuk AP minimaal is.
figuur
y f P A O x
14p

Afstanden met coördinaten 2p · Extremen en optimaliseren 2pGR mag

Bereken deze minimale lengte. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 3Bewegend punt

De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = csions((22tt)) − − ssiinn((t2)t) met 0 ≤ t ≤ 2π
Op verschillende tijdstippen
figuur 1
24p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1pexact

bevindt P zich op de x-as. Op
een van die tijdstippen bevindt P
zich links van de y-as.
Zie figuur 1, waarin de positie
van P op dit tijdstip is
aangegeven.
Bereken exact de x-coördinaat
van P op dit tijdstip.
y P O x
Op de tijdstippen t = 0 en t = π
figuur 2
bevindt P zich in hetzelfde punt.
Dit punt is met een stip
aangegeven in figuur 2.
Ook zijn de snelheidsvector van P
op tijdstip t = 0 en de
snelheidsvector van P op
tijdstip t = π aangegeven.
y P O x
36p

Vectoren en inproduct 3p · Kettingregel 2p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1pexact

Bereken algebraïsch de hoek in graden tussen deze twee
snelheidsvectoren. Geef je eindantwoord in één decimaal.

opgave 5Optimale snijsnelheid

In de metaalindustrie worden met een boormachine gaten in harde
materialen geboord. Zie de foto.
foto
foto
De levensduur van een boor is afhankelijk van de (snij)snelheid: dit is de
snelheid waarmee de buitenkant van de boor door het metaal snijdt. Bij
een hoge snelheid zal de boor snel slijten waardoor de levensduur kort is.
Rond 1900 stelde F.W. Taylor het volgende verband vast:
V ⋅ Tm = C
Hierin is:
– V de (snij)snelheid van de boor (in meter per minuut (m/min))
(V ligt vaak tussen de 5 en 150 m/min),
– T de levensduur (in minuten),
– m een constante die afhangt van het materiaal waarvan de boor is
gemaakt,
– C een constante die afhangt van het materiaal waarin wordt geboord.
De waarden van m en C worden experimenteel bepaald.
De resultaten van een meting in een bepaalde situatie zijn:
− Bij een snelheid van 20 m/min is de levensduur 116 minuten.
− Bij een snelheid van 30 m/min is de levensduur 40 minuten.
54p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pexact

Bereken algebraïsch de waarden van m en C in deze situatie. Geef m in
twee decimalen en C als geheel getal.
In een fabriek boort één boormachine 24 uur per dag dezelfde soort
gaten. Het is belangrijk de snelheid van de boor goed in te stellen: een
hoge snelheid betekent dat het boren van een gat minder tijd kost. Maar
daar staat tegenover dat de boor sneller vervangen moet worden.
Men wil berekenen bij welke snelheid V het aantal geboorde gaten A per
24 uur maximaal is.
Om A uit te kunnen drukken in V doen we de volgende aannames:
a Het aantal gaten N dat in één minuut geboord kan worden, is recht
evenredig met de snelheid V van de boor. Bij een snelheid van
20 m/min boort deze boor 6 gaten in één minuut.
b Met behulp van de formule van Taylor is te berekenen na hoeveel
minuten boren de boor vervangen moet worden. Voor het boorproces
in deze fabriek geldt C = 150 en m = 0,25, dus V ⋅ T0,25 = 150.
c Het vervangen van een boor kost telkens 2 minuten. De boormachine
is dus maar een deel van de tijd bezig met boren.
Voor dit deel d geldt: d = (T)/(T + 2)
d Voor het aantal geboorde gaten A per 24 uur geldt: A = 1440 ⋅ N ⋅ d
Met de aannames a, b, c en d kun je voor A de volgende formule
opstellen:
A = (432V)/(2)150_4 ⋅ V^4 + 1
65p

Formules herleiden en omwerken 4p · Evenredigheden en machtsverbanden 1pexact

Leid deze formule voor A af uit de aannames a, b, c en d.
In de figuur is de grafiek van A weergegeven voor 5 ≤ V ≤ 150.
figuur
30 000 20 000 10 000 O 50 100 150 V
Uit de grafiek blijkt dat er een snelheid is waarbij het aantal geboorde
gaten per 24 uur maximaal is.
75p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Product- en quotiëntregel 1p · +1exact

Bereken algebraïsch deze snelheid in m/min. Geef je eindantwoord in
één decimaal.

opgave 6Oppervlakte onder een sinusgrafiek

De functie f met domein [0,π] wordt gegeven door f(x) = 2sin(x).
We bekijken het gebied dat begrensd wordt door de grafiek van f, de x-as,
de lijn met vergelijking x = p en de lijn met vergelijking x = π − p. Hierin is
0 < p < (1)/(2)π. In figuur 1 is dit gebied grijs. De oppervlakte van het gebied
is A(p).
figuur 1
y 2 f 1 O p π − p π x
Er geldt: A(p) = 4cos(p).
84p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 1p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bewijs dat deze formule voor A(p) juist is.
De lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt P.
De lijn met vergelijking x = π − p snijdt de grafiek van f in het punt Q.
De horizontale lijn door P en Q verdeelt het grijze gebied in twee delen.
Het deel boven deze lijn is V, het deel onder deze lijn is W. Zie figuur 2.
figuur 2
y 2 f V P Q 1 W O p π − p π x
Er is één waarde van p waarvoor de oppervlakten van V en W aan elkaar
gelijk zijn.
94p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 7Horizontale en verticale asymptoot

De functie f wordt gegeven door:
f(x) = (e − 1000)/(ex − 10)^2^x
De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot en een verticale
asymptoot. In de figuur is de grafiek van f met de beide asymptoten
weergegeven. De twee asymptoten snijden elkaar in het punt B.
Het punt A is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de y-as.
Het punt C is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de grafiek
van f.
figuur
y f A B C O x

opgave 8Wind aan zee

Wind heeft een richting en een snelheid. Daarom kan wind als een vector worden weergegeven. In de figuren bij deze opgave wordt een wind met een snelheid van 1 m/s weergegeven als een vector van 1 cm. Op een warme zomerdag worden aan de kust de windrichting en de windsnelheid door twee processen…

Wind heeft een richting en een snelheid. Daarom kan wind als een vector worden weergegeven. In de figuren bij deze opgave wordt een wind met een snelheid van 1 m/s weergegeven als een vector van 1 cm. Op een warme zomerdag worden aan de kust de windrichting en de windsnelheid door twee processen bepaald: − de luchtstroming van een gebied r met hoge luchtdruk naar een gebied met lage luchtdruk: dit is wind w d . − de luchtstroming die ontstaat doordat r de temperatuur boven zee anders is dan boven land: dit is wind w z . We gaan er in deze opgave van uit dat deze wind loodrecht op de kustlijn staat en richting het land waait. In figuur 1 is een voorbeeldsituatie getekend waarbij wind w d in westelijke richting waait. figuur 1 De resulterende wind w r is de wind zoals die wordt ervaren door iemand r r r die zich aan de kust in punt O bevindt. Er geldt: w r = w z + w d . Op de uitwerkbijlage is een deel van een kust getekend. Er geldt: − De wind w z waait met een snelheid van 4 m/s landinwaarts. − De wind w d waait met een snelheid van 6 m/s. − De resulterende wind w r waait evenwijdig met de kustlijn.

Tekenen en construeren in een figuur 4pGR mag

Op basis r van bovenstaande drie gegevens zijn er twee mogelijkheden voor w d . Teken op de uitwerkbijlage deze twee vectoren w d . Neem daarbij punt O als beginpunt van w d . Licht je aanpak toe.
Op een plek langs de Nederlandse kust (in figuur 2 het punt O ) maakt de kustlijn r een hoek van 30° met het noorden. Op zekere dag waait de wind w d met een snelheid van 5 m/s in zuidwestelijke richting. De wind w z heeft een snelheid van 3 m/s en staat loodrecht op de kustlijn. In figuur 2 zijn…

Op een plek langs de Nederlandse kust (in figuur 2 het punt O ) maakt de kustlijn r een hoek van 30° met het noorden. Op zekere dag waait de wind w d met een snelheid van 5 m/s in zuidwestelijke richting. De wind w z heeft een snelheid van 3 m/s en staat loodrecht op de kustlijn. In figuur 2 zijn de lijn noord-zuid en de lijn r oost-west de assen van het assenstelsel. De lijn door O waar vector w d op ligt, is gestippeld getekend; die maakt dus een hoek van 45 ° met het noorden. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2

opgave 9Twee logaritmische functies

De functies f en g worden gegeven door:
f(x) = log (√(x)) en g(x) = log (^x√(x))^ −^1
De lijn met vergelijking y = q snijdt de grafiek van f in het punt A en de
grafiek van g in het punt B. Zie figuur 1.
figuur 1
y y = q A B O x f g
Er zijn waarden van q waarvoor A links van B ligt en de lengte van lijnstuk
AB gelijk is aan 3.
134p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken deze waarden van q. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.
Het snijpunt van de twee grafieken ligt bij x = 10.
Gegeven is p > 10. De lijn met vergelijking x = p ligt dan rechts van het
snijpunt van de twee grafieken.
De lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt C, de
grafiek van g in het punt D en de x-as in het punt E.
Doordat p > 10, ligt D boven C. Zie figuur 2.
figuur 2
y x = p D C O 10 E x f g
De verhouding tussen de lengte van lijnstuk CD en de lengte van lijnstuk
CE hangt af van p. Er geldt:
(CD)/(CE) = (2log(p) − 2)/(log(p))
143p

Formules herleiden en omwerken 2pexact

Bewijs dat deze formule voor (CD)/(CE) juist is.
Als p onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding (CD)/(CE) tot een
grenswaarde.
152p

Formules herleiden en omwerken 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken exact deze grenswaarde.

opgave 10Parabool en cirkel met variabele straal

Gegeven is de parabool met vergelijking y = x2 en een punt M(0,r) op
de positieve y-as. We bekijken de cirkel met middelpunt M en straal r.
Het punt O(0,0) ligt op deze cirkel en op de gegeven parabool.
Afhankelijk van de waarde van r hebben de cirkel en de parabool één
gemeenschappelijk punt of drie gemeenschappelijke punten.
In figuur 1 is de situatie met r = (9)/(20) getekend, waarbij er één
gemeenschappelijk punt is. In figuur 2 is de situatie met r = 1 getekend,
met drie gemeenschappelijke punten.
figuur 1 r = (9)/(20)
figuur 2 r = 1
y M O x
y M O x
165p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1pexact

Bereken exact voor welke waarden van r de cirkel en de parabool drie
gemeenschappelijke punten hebben.
In de rest van deze opgave gaan we uit van de situatie waarin de cirkel en
de parabool alleen punt O gemeenschappelijk hebben.
De lijn k gaat door M en is evenwijdig aan de x-as.
V is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de cirkel,
de parabool en lijn k. In figuur 3 is dit gebied lichtgrijs gemaakt.
W is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de cirkel,
de y-as en lijn k. In figuur 3 is dit gebied donkergrijs gemaakt.
figuur 3
y M k W V x O
Wanneer de cirkel wordt gewenteld om de y-as, ontstaat een bol met
inhoud (4)/(3)πr^3.
De gebieden V en W worden gewenteld om de y-as.
Er is een waarde van r waarvoor de inhoud van de omwentelingslichamen
van V en W aan elkaar gelijk zijn.