bij dit examen
OVERZICHT FORMULES Kansrekening -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: = = ⎛ n ⎞ ⋅ k ⋅ − n − k P( X k ) ⎜ ⎟ p (1 p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n ⎝ k ⎠ Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g − g = g a log a log b log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a p log g g >0, g 1, a >0, p >0, p 1
opgave 1Verzekering
Verzekeringsmaatschappijen maken op verschillende manieren reclame voor
allerlei verzekeringen. Een voorbeeld daarvan vind je in figuur 1 hieronder. Daar
zie je een deel van een reclamefolder die in 2004 huis aan huis werd verspreid.
In de folder legt de verzekeraar uit dat de kosten voor een uitvaart sneller stijgen
dan de kosten voor het levensonderhoud. Ook wordt de ontwikkeling van beide
kostensoorten met een grafiek in beeld gebracht.
figuur 1
E nig idee wat een u itvaart gemiddeld kost? 30000 Al gauw zo’n € 4.700. En uitvaartkosten stijgen jaarlijks kosten uitvaart kosten 25000 gemiddeld met 4,5%. Dit is kosten dagelijks leven in anderhalf keer harder dan de euro 20000 kostenstijging voor het levensonderhoud*. 15000 Over 40 jaar kost zo’n zelfde uitvaart dus maar liefst 10000 € 27.000. Hoe dekt ú zich daar zo 5000 voordelig mogelijk voor in? 0 2004 2009 2014 2019 2024 2029 2034 2039 2044 *Gebaseerd op historische gegevens jaar van CBS en DELA
Uitgaande van een jaarlijkse kostenstijging met 4,5% berekende men de kosten
in 2044. De uitvaartkosten stijgen van € 4700 in 2004 tot ongeveer € 27 000 in
2044.
Het bedrag in 2044 is afgerond op duizendtallen.
13pBereken dit bedrag in euro’s nauwkeurig.
Met “anderhalf keer harder” bedoelt de schrijver van de folder dat de jaarlijkse
procentuele stijging van de kosten voor een uitvaart 1,5 keer zo groot is als die
van de kosten voor het levensonderhoud. Daardoor zullen de kosten voor het
levensonderhoud in de periode 2004 ─ 2044 stijgen met een percentage dat
aanzienlijk kleiner is dan 474% (het stijgingspercentage van de uitvaartkosten).
Dit is in de folder ook grafisch weergegeven.
23pBereken met hoeveel procent de kosten voor het levensonderhoud volgens de
folder zullen toenemen in de periode 2004 ─ 2044.
opgave 2Boomgroei
Naar de groei van bomen is veel onderzoek gedaan. Dat heeft geleid tot een
goed inzicht in het verband tussen de hoogte van een boom en de leeftijd van
die boom. In de bosbouw wordt voor veel bomen de te verwachten hoogte
berekend met de formule van Chapman-Richards:
h=a(1−bt)c
Hierin is h de hoogte van een boom in meters en t de leeftijd in jaren.
De waarden van de getallen a, b en c hangen af van de soort boom. De getallen
a, b en c zijn positief. In tabel 1 zijn deze waarden voor enkele boomsoorten
weergegeven.
tabel 1
Het verband tussen de hoogte en de leeftijd van de zomereik wordt dus gegeven
De zomereik wordt op den duur veel groter dan de Amerikaanse eik, maar in de
eerste levensjaren groeit de Amerikaanse eik veel sneller.
35pToon door berekening aan dat volgens de formule van Chapman-Richards de
Amerikaanse eik in het vierde levensjaar ruim 20 cm méér groeit dan de
zomereik.
Pas na een groot aantal jaren is de zomereik groter dan de Amerikaanse eik.
43pBereken na hoeveel jaren dit volgens de formule van Chapman-Richards voor
het eerst het geval is.
Voor de formule voor de zomereik hebben we gebruik gemaakt van de waarden
van a, b en c uit tabel 1. Maar niet alle zomereiken hebben de waarde 39,143
voor a.
Factoren zoals klimaat en bodemgesteldheid beïnvloeden de waarde van a.
Chapman en Richards gaan er in hun model van uit dat de waarden van b en c
uitsluitend afhangen van de boomsoort.
Vaak weet men niet van tevoren welke waarde van a een boom heeft. Om de
waarde van a voor een boom te bepalen, laat men de boom eerst een aantal
jaren groeien.
Daarna meet men de boom op en berekent men welke waarde van a past bij de
groei van die boom. Men gaat ervan uit dat die waarde van a daarna niet meer
verandert.
Een zomereik bereikt op de leeftijd van 10 jaar een hoogte van 6,18 meter.
53pBereken de waarde van a die hierbij hoort.
Afhankelijk van de waarde van a krijgen we verschillende groeiformules. In
figuur 1 zie je de grafieken van enkele groeiformules van de grove den. De
waarde van a staat er steeds bij vermeld.
figuur 1
grove den
33
hoogte
in
leeftijd in jaren
Als je naar deze figuur kijkt, kun je je afvragen of deze grafieken door de
oorsprong (0, 0) gaan als we ze verder naar links zouden doortekenen. Dit is
inderdaad het geval.
Sterker nog: dit is het geval voor alle grafieken die horen bij de algemene
formule h=a(1−bt)c van Chapman-Richards.
64pBeredeneer, dus zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, dat alle grafieken die
horen bij de formule van Chapman-Richards door de oorsprong gaan.
opgave 3Stoppen met roken
Veel mensen beginnen op jonge leeftijd met roken en proberen daar op latere
leeftijd weer mee op te houden. Dat lukt niet altijd.
Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig cijfers
waarmee het rookgedrag van Nederlanders kan worden bestudeerd. In tabel 1
vind je enkele getallen.
tabel 1
rokers en aantallen sigaretten
74pBereken met hoeveel procent het totale aantal gerookte sigaretten in 2005 is
afgenomen ten opzichte van 2001.
Er zijn veel hulpmiddelen om minder te gaan roken of er zelfs helemaal mee te
stoppen. Eén daarvan is het gebruik van tabletten van het merk Fumostop.
Om na te gaan of Fumostop een middel is dat inderdaad helpt, wordt het
volgende onderzoek uitgevoerd.
Uit alle zware rokers wordt aselect een groep van 18 proefpersonen gekozen.
Elke proefpersoon krijgt 10 tabletten die uiterlijk niet van elkaar verschillen. De
tabletten zijn verpakt in doordrukstrips met bij elk tablet een nummer.
Zie figuur 1.
figuur 1
Elke proefpersoon moet 10 dagen lang iedere dag bij het opstaan één
willekeurig gekozen tablet innemen, het nummer van dat tablet noteren en
bijhouden hoeveel sigaretten hij die dag rookt.
Wat de proefpersonen niet weten maar de onderzoekers wel, is dat 5 van de
tabletten inderdaad van het merk Fumostop zijn. De andere 5 tabletten bevatten
geen enkele werkzame stof. We geven de ‘echte’ tabletten aan met F en de
andere tabletten met NF. Aan de genoteerde tabletnummers kunnen de
onderzoekers zien wanneer de F- en de NF-tabletten ingenomen zijn.
Nico is één van de 18 proefpersonen. De mogelijkheid bestaat dat hij op dag 1
start met een F-tablet en vervolgens om de andere dag een F-tablet inneemt.
Dus: op dag 1 een F-tablet, op dag 2 een NF-tablet, op dag 3 een F-tablet,
enzovoort.
83pBereken de kans op deze mogelijkheid.
Het kan gebeuren dat een proefpersoon de eerste dag van het onderzoek een
F-tablet inneemt. De kans dat niemand van de 18 proefpersonen dit doet, is
volgens de onderzoekers echter erg klein.
93pBereken deze kans.
De proefpersonen kiezen hun tabletten iedere dag dus volledig aselect. Het kan
dus gebeuren dat een proefpersoon de eerste dag een van de tabletten met
nummer 1 of nummer 2 kiest.
104pBereken hoe groot de kans is dat 6 of meer proefpersonen op de eerste dag van
het onderzoek een van de tabletten met nummer 1 of 2 kiezen.
Van de mensen die in 2006 rookten, rookte 24,5% per dag 20 sigaretten of
meer. Rokers rookten toen gemiddeld 11,4 sigaretten per dag. Tine wil
onderzoeken of het aantal sigaretten per dag normaal verdeeld zou kunnen zijn.
Ze bedenkt de volgende aanpak: “Als er sprake is van een normale verdeling,
dan kan ik de bijbehorende standaardafwijking berekenen. Daarna kan ik
nagaan of die waarde – in combinatie met dat gemiddelde 11,4 – tot een
conclusie leidt.”
114pBereken die standaardafwijking en toon daarmee aan dat het aantal sigaretten
dat een roker per dag in 2006 rookte, niet normaal verdeeld kan zijn.
opgave 4Schoonheidssalons
Begin 2005 waren er in Nederland 10 820 schoonheidssalons. Daarvan hadden
er 9846 geen ander personeel in dienst dan alleen de eigenaar. Bij de overige
schoonheidssalons werkten dus 2 of meer personen. Daarover zie je in tabel 1
enkele gegevens.
tabel 1
123pBereken hoeveel procent van de schoonheidssalons 2 mensen in dienst had.
Tien jaar eerder waren er veel minder schoonheidssalons. In het begin van 1995
telde Nederland er 6800.
We gaan ervan uit dat het aantal schoonheidssalons in de periode 1995–2005
lineair toegenomen is en dat dit in de jaren daarna op dezelfde manier verder
gaat.
133pBereken hoeveel schoonheidssalons er dan zullen zijn in het begin van het
jaar 2012.
We kunnen ook naar het aantal schoonheidssalons per 25 000 inwoners
kijken. Zie daarvoor figuur 1.
We geven het aantal schoonheidssalons aan met A en lezen de bijbehorende
aantallen (x 1000) af op de linkeras. Het aantal schoonheidssalons per 25 000
inwoners geven we aan met V en de daarbij behorende aantallen staan op de
rechteras.
In figuur 1 is de ontwikkeling van zowel A als V weergegeven voor de periode
1995–2005.
figuur 1
De grafieken in figuur 1 kunnen zonder veel verlies van informatie door rechte
lijnen vervangen worden. De lijnen van A en V lopen ongeveer evenwijdig. Dat
kan het gevolg zijn van het gebruik van twee verschillende verticale assen in de
figuur.
Het is de vraag of de grafieken nog steeds (ongeveer) evenwijdig zijn wanneer
we deze tekenen in een assenstelsel met één verticale as voor beide grafieken.
143pOnderzoek of dat inderdaad het geval is. Motiveer je antwoord.
In China zijn tegenwoordig zeer veel schoonheidssalons te vinden. Begin 2005
waren dat er 1,6 miljoen, terwijl het land toen ongeveer 1300 miljoen inwoners
telde.
Om Nederland en China goed met elkaar te kunnen vergelijken, kijken we naar
het aantal schoonheidssalons per 25 000 inwoners.
In figuur 1 hebben we gezien dat in Nederland het aantal schoonheidssalons per
25 000 inwoners ongeveer lineair toeneemt. We gaan ervan uit dat deze lineaire
groei na 2005 op dezelfde wijze doorgaat. Het aantal schoonheidssalons in
Nederland per 25 000 inwoners geven we nu aan met VN. Dan geldt bij
benadering:
VN = 17 + 0,6t
In deze formule is t de tijd in jaren met t = 0 voor het begin van 2005.
Met VC geven we het aantal schoonheidssalons in China per 25 000 inwoners
aan. Dat aantal blijkt in China niet lineair, maar bij benadering exponentieel toe
te nemen. Iemand heeft vastgesteld dat de volgende formule voor VC dit proces
goed beschrijft:
VC = 30,8 ⋅1,06t
Hierbij is t de tijd in jaren met t = 0 voor het begin van 2005.
Volgens de bovenstaande formules zullen beide landen nog deze eeuw
1 schoonheidssalon op de 500 inwoners hebben.
154pHoeveel jaar later dan in China zal dit in Nederland het geval zijn? Licht je
antwoord toe.
opgave 5Ultralopen
Bij hardloopwedstrijden over zeer grote afstanden spreekt men van ultralopen.
De Atletiek Vereniging Texel organiseert om het jaar in de lente een ultraloop
over maar liefst 120 km.
De ultraloop van 2005 werd bij de mannen gewonnen door Wim-Bart Knol. Hij
legde de afstand af in 9 uur, 53 minuten en 48 seconden. Wij noteren dat in
wedstrijdnotatie als 9:53:48.
Bij de vrouwen won Elke Streicher in 11:33:40. Knol liep dus sneller dan
Streicher.
165pOnderzoek door berekening of de gemiddelde snelheid van Knol meer
dan 2 km per uur groter was dan de gemiddelde snelheid van Streicher.
Bij controleposten langs het parcours noteerde men de tussentijden van de
atleten. In tabel 1 zijn de gegevens van Streicher weergegeven.
tabel 1
tussentijden Streicher
De gegevens van tabel 1 zijn in figuur 1 grafisch weergegeven. Daar zie je op de
horizontale as de afstand in kilometers en op de verticale as de bijbehorende tijd
in uren. De punten A tot en met H corresponderen met de acht uitkomsten uit
tabel 1. Ook is de lijn getekend die aangeeft hoe de ultraloop zou zijn verlopen
wanneer Streicher de hele afstand had gelopen met haar gemiddelde snelheid
over de eerste 15 km. Figuur 1 vind je ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Met behulp van tabel 1 kun je narekenen dat de gemiddelde snelheid van
Streicher gedurende de eerste 15 km hoger was dan gedurende de eerste
88 km. Maar je kunt dat ook zonder berekening zien in figuur 1.
173puitwerkbijlageLeg uit hoe je dit zonder berekening uit figuur 1 kunt afleiden. Je kunt hierbij
gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage.
In 1997 liep Dirk Westerduin de race met een gemiddelde snelheid van
12,78 km/u. Dit beschouwen we als het record op de afstand 120 km.
Elke wedstrijdafstand s kent een recordtijd. De recordsnelheid die daarbij hoort,
noemen we v. Voor elke wedstrijdafstand s kun je dus zeggen: “Het record op de
s km werd gelopen met een (gemiddelde) snelheid van v km/u.”
Voor lange afstanden zoals ultralopen kan het verband tussen de afstand s en
de recordsnelheid v vrij goed beschreven worden met de formule:
v = c − 3,32 ⋅ log s
Hierin is c een constante.
Als we deze formule ook willen gebruiken voor korte afstanden, bijvoorbeeld de
100 meter met een toenmalig wereldrecord van 9,77 seconden, dan krijgen we
een andere waarde voor de constante c dan bij lange afstanden.
184pLaat met een berekening zien dat dit inderdaad het geval is.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 6Het Doubema
Bij het 50-jarig bestaan van het Doubemacollege vindt een jubileummarkt plaats.
Op deze jubileummarkt staan diverse kraampjes waarbij leerlingen (tegen
betaling) spellen kunnen spelen. Bij een van de spellen zijn de foto’s van 7
verschillende leraren van het Doubemacollege opgehangen. Een deelnemer
moet onder elke foto een bordje hangen van de favoriete maaltijd van de
betreffende leraar. Er liggen namelijk ook 7 bordjes klaar met op ieder bordje de
naam van het favoriete gerecht van één van de 7 leraren. Die favoriete
gerechten verschillen ook allemaal van elkaar.
We gaan kijken naar de situatie waarin een deelnemer gokt. Hij hangt dus
willekeurig bij elke foto één bordje.
Martin denkt dat de 7 bordjes op meer dan 5000 manieren bij de 7 foto’s kunnen
worden gehangen.
193pOnderzoek of Martin gelijk heeft.
In tabel 1 staan de kansen dat een deelnemer die gokt, k van de 7 bordjes bij de
goede foto hangt. Twee kansen zijn niet ingevuld.
tabel 1
Die twee ontbrekende kansen kunnen we wel uitrekenen. Je kunt beredeneren
dat de kans op 6 goed gehangen bordjes, dus P(6), gelijk is aan 0.
204pBeredeneer dat P(6) = 0 en bereken daarmee P(5).
De kans dat een deelnemer die gokt, minder dan 2 bordjes goed hangt, is gelijk
aan 0,7360. Dat kun je uit tabel 1 afleiden.
Veronderstel nu eens dat er 6 mensen deelnemen die allemaal gokken.
213pBereken de kans dat elk van deze 6 deelnemers minder dan 2 bordjes goed
hangt.
Ook Jeannette hangt de bordjes in willekeurige volgorde.
223pHoe groot is de kans dat ze 3 of meer bordjes goed heeft gehangen? Licht je
antwoord toe.
