bronnen

Eindexamen wiskunde C vwo 2011, tijdvak 2

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale…

OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1

opgave 1500 meter schaatsen

De prestaties van een wedstrijdschaatser zijn afhankelijk van zijn of haar
conditie, maar ook van externe factoren zoals de kwaliteit van het ijs en de
weersomstandigheden. Als een schaatser in een seizoen op dezelfde ijsbaan
meerdere keren een 500 meter aflegt, kunnen we de invloed van externe
factoren vrijwel verwaarlozen. We gaan er daarom van uit dat de 500-meter-
tijden in dat geval normaal verdeeld zijn.
Benjamin is een jonge schaatser, die altijd traint op dezelfde ijsbaan in Utrecht.
Zijn trainingstijden op de 500 meter zijn normaal verdeeld met een gemiddelde
van 39,72 seconden en een standaardafwijking van 0,43 seconden.
13p
Bereken hoeveel procent van de trainingstijden op de 500 meter van Benjamin
onder de 39 seconden ligt.
Ook Sabrina traint op deze baan voor de 500 meter. Haar gemiddelde tijd is
41,32 seconden. Van de 100 trainingsritten op de 500 meter reed zij 25 keer
onder de 41 seconden. Met behulp van deze gegevens en het feit dat haar
trainingstijden normaal verdeeld zijn, kan de bijbehorende standaardafwijking
van de trainingstijden van Sabrina berekend worden.
24p
Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.
figuur bij de opgave
Veel schaatsers vinden het een voordeel om
op de 500 meter tijdens de laatste bocht in de
buitenbaan te rijden. De snelheid is dan ruim
50 km/uur en in de binnenbaan blijf je
moeilijker overeind. Bij een toernooi worden
dan ook altijd twee 500 meters verreden: elke
schaatser rijdt de laatste bocht een keer in de
binnenbaan en een keer in de buitenbaan.
Tijdens een wereldkampioenschap reden 26 van de 40 schaatsers hun snelste
tijd op de 500 meter in de rit waarin zij de laatste bocht in de buitenbaan reden.
We zijn geïnteresseerd in de kans dat een schaatser zijn snelste tijd rijdt in de rit
waarin hij de laatste bocht in de buitenbaan rijdt. Deze kans noemen we p.
We nemen eerst aan dat het niet uitmaakt of een schaatser de laatste bocht in
de binnenbaan of in de buitenbaan rijdt. Dan geldt p = 0,5.
34p
Bereken de kans dat dan minstens 26 van de 40 schaatsers hun snelste tijd op
de 500 meter rijden in de rit waarin zij de laatste bocht in de buitenbaan rijden.
Bij nader inzien is p waarschijnlijk groter dan 0,5. Er bestaat één waarde van p
waarbij de kans het grootst is dat precies 26 van de 40 schaatsers op de
500 meter hun snelste tijd rijden in de rit waarin zij de laatste bocht in de
buitenbaan rijden.
44p
Laat met behulp van een tabel zien dat deze waarde van p gelijk is aan 0,65.

opgave 2Snelheidscontroles en boetes

De politie controleert de snelheden van auto’s op snelwegen op verschillende
manieren. Een betrekkelijk nieuwe manier is de zogeheten trajectcontrole. Met
een camera wordt een auto aan het begin en aan het eind van een traject
gefotografeerd. Met een simpel rekensommetje (lengte van het traject gedeeld
door de tijd) berekent de computer
hoe hard de auto gemiddeld
gereden heeft over het traject.
Op een voorlichtingssite van het
Openbaar Ministerie wordt dit
toegelicht met een voorbeeld.
Zie de figuur hiernaast.
In dit voorbeeld legt een auto een
traject van 3 km af in 00:01:23 uur
(1 minuut en 23 seconden).
figuur bij de opgave
In de figuur kun je aflezen dat de gemiddelde snelheid van de auto op het traject
dan 130 km/uur is.
53p
Toon dit met behulp van een berekening aan.
Bij dergelijke metingen zijn altijd kleine meetfouten mogelijk. Daarom krijgen
automobilisten pas bij een overschrijding van 4 km/uur of meer een boete.
Op sommige trajecten vindt de controle met meer dan twee cameraposten
plaats; voor ieder deeltraject wordt dan apart de gemiddelde snelheid berekend.
De hoogte van deze gemiddelde snelheden bepaalt dan of er een boete volgt.
Op de N256 geldt een maximumsnelheid van 80 km/uur. Op deze weg is een
traject van 9 km opgedeeld in deeltraject A van 4 km en deeltraject B van 5 km.
Een automobilist rijdt met hoge snelheid en remt in de loop van het traject flink
af. Hij legt deeltraject A af met een gemiddelde snelheid van 120 km/uur en
deeltraject B met een gemiddelde snelheid van 60 km/uur.
Voor het eerste deeltraject wordt hij beboet.
65p
Onderzoek door een berekening of deze automobilist een boete zou krijgen als
het traject van 9 km niet opgedeeld zou zijn in deeltrajecten.
Justitie onderscheidt drie soorten wegen, elk met een eigen boetesysteem:
buiten de bebouwde kom, autosnelwegen en binnen de bebouwde kom.
Buiten de bebouwde kom geldt voor auto’s een maximumsnelheid van
80 km/uur. Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen buiten de
bebouwde kom geldt (bij benadering) de volgende formule:
Bbuiten = 16,527 ⋅1,092s
Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bbuiten het
(onafgeronde) boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro’s.
Bijvoorbeeld: bij een snelheid v = 90 km/uur hoort een snelheidsoverschrijding
s = 10 km/uur. Het bijbehorende boetebedrag in euro’s is 16,527 ⋅1,09210 ≈ 39,85
en dit wordt afgerond op 40 euro.
Verkeersonderzoekers gebruiken liever een formule waarin niet de
snelheidsoverschrijding s voorkomt, maar de werkelijke snelheid v in km/uur.
Zo’n formule is van de vorm Bbuiten = a ⋅1,092v.
74p
Bereken de constante a in vier decimalen nauwkeurig.
Op autosnelwegen geldt voor auto’s een maximumsnelheid van 120 km/uur.
Voor de boetebedragen bij snelheidsoverschrijdingen op autosnelwegen geldt
(bij benadering) de volgende formule:
Bautosnelweg = 11,75 + 0,6874 ⋅ s1,616
Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bautosnelweg
het onafgeronde boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro’s.
84p
Bereken met welke snelheid je moet zijn aangehouden, als de boete € 198
bedraagt.
Het boetebedrag op de autosnelweg (in euro’s) hangt ook af van de grootte van
de overschrijding van de maximumsnelheid (in km/uur). Zie onderstaande tabel.
tabel
snelheidsoverschrijding (km/uur) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 boetebedrag (€) 16 20 24 27 32 37 40 45 51 56 62
Omdat bij hogere snelheden het risico van een ongeval steeds meer toeneemt,
vertonen de boetebedragen in de tabel een toenemende stijging. Althans, zo lijkt
het op het eerste gezicht, maar de stijging van de boetebedragen is soms
afnemend. Een voorbeeld: als de overschrijding toeneemt van 5 km/uur naar
6 km/uur neemt het boetebedrag met 4 euro toe, terwijl van 6 km/uur naar
7 km/uur de toename 3 euro is. Dat komt doordat de boetebedragen eerst met
een formule zijn berekend en vervolgens afgerond op hele euro’s.
Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen binnen de bebouwde kom
geldt (bij benadering) de volgende formule:
Bbinnen = 3,018 ⋅ s1,212
Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en Bbinnen het
onafgeronde boetebedrag in euro’s. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro’s.
94p
Toon aan dat zich bij deze formule ook het verschijnsel voordoet dat de stijging
van de afgeronde boetebedragen soms afnemend is.

opgave 3Schroeven

Een fabriek produceert grote hoeveelheden schroeven. Bij het produceren van
schroeven is het onvermijdelijk dat een (klein) percentage van de
geproduceerde schroeven ondeugdelijk is.
Er wordt elk uur een steekproef genomen. De schroeven die in een uur
geproduceerd zijn, worden een partij genoemd. Op grond van de uitkomst van
de steekproef wordt een partij schroeven goedgekeurd of afgekeurd.
Er wordt elk uur een steekproef van 10 schroeven genomen. De partij wordt
afgekeurd als er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef gevonden
worden.
In de tabel hieronder staat voor verschillende percentages ondeugdelijke
schroeven in de partij (p) de kans dat de partij afgekeurd wordt (K), bij een
steekproefgrootte van n = 10.
tabel
percentage ondeugdelijke schroeven in de partij ( p ) 1 2 3 4 5 6 kans dat de partij afgekeurd wordt ( K ) 0,10 0,18 0,26 0,34 0,40 …
De kans dat de partij afgekeurd wordt (K) is dus de kans op minstens
1 ondeugdelijke schroef in de steekproef van 10.
Als in een partij het percentage ondeugdelijke schroeven 6 is, is de kans dat je
een ondeugdelijke schroef pakt dus 0,06. De kans dat de gehele partij dan wordt
afgekeurd kan dan berekend worden.
103p
Bereken deze kans.
Bij steekproefgrootte n kan een formule gemaakt worden waarbij de kans dat de
partij wordt afgekeurd (K) wordt uitgedrukt in het percentage ondeugdelijke
schroeven in de partij (p):
K = 1 − 1 − (p)/(100)^n
In de tabel is te zien dat bij een toename van het percentage ondeugdelijke
schroeven in de partij (p) de kans dat de partij wordt afgekeurd (K) ook
toeneemt.
113p
Leg uit dat dit ook uit de formule volgt.
Het is redelijk dat een klant verlangt dat een slechte partij bijna zeker wordt
afgekeurd. We definiëren deze twee vetgedrukte begrippen als volgt:
Een partij is slecht als het percentage ondeugdelijke schroeven p = 5 of groter
is;
Bijna zeker afkeuren betekent afkeuren met een kans van ten minste 0,80.
Om te berekenen hoe groot de steekproefgrootte n minstens moet zijn zodat een
slechte partij bijna zeker wordt afgekeurd, hoeven we in de formule
K = 1 − 1 − (p)/(100)^n slechts te kijken naar het geval p = 5.
124p
Bereken hoe groot de steekproefgrootte n in dit geval minstens moet zijn.
Het vergroten van de steekproef terwijl de partij nog steeds afgekeurd wordt als
er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef zitten, heeft ook een
nadeel. Een goede partij heeft dan een tamelijk grote kans om afgekeurd te
worden. We definiëren een partij als goed als het percentage ondeugdelijke
schroeven p = 1 of kleiner is.
Daarom zal een fabrikant verlangen dat voor een goede partij de kans om
afgekeurd te worden kleiner is dan 0,10.
Als een partij pas wordt afgekeurd bij 3 of meer ondeugdelijke schroeven in de
steekproef en er wordt een steekproef van 100 schroeven genomen, wordt aan
het verlangen van de klant voldaan.
134p
Onderzoek of dan ook aan het verlangen van de fabrikant wordt voldaan.

opgave 4Internationale trein

De internationale trein van Amsterdam naar Stettin (Polen) legt de 775 km tussen beide plaatsen af in 8 uur en 38 minuten. De gemiddelde snelheid over de hele reis is dus iets minder dan 90 km/uur. Onderweg stopt de trein op 21 tussenliggende stations. De werkelijke tijd dat de trein rijdt, de…

De internationale trein van Amsterdam naar Stettin (Polen) legt de 775 km tussen beide plaatsen af in 8 uur en 38 minuten. De gemiddelde snelheid over de hele reis is dus iets minder dan 90 km/uur. Onderweg stopt de trein op 21 tussenliggende stations. De werkelijke tijd dat de trein rijdt, de zogeheten netto reistijd, is daardoor minder dan 8 uur en 38 minuten. De gemiddelde snelheid gedurende de netto reistijd is 107,64 km/uur.

Bereken hoe lang de trein op de tussenliggende stations in totaal stil staat. De treinreis bestaat uit 22 trajecten. Uit de dienstregeling blijkt dat de afstanden en tijden van traject tot traject flink verschillen. Dit kunnen we op verschillende manieren weergeven. Afstand-tijd-diagram Een manier…

Bereken hoe lang de trein op de tussenliggende stations in totaal stil staat. De treinreis bestaat uit 22 trajecten. Uit de dienstregeling blijkt dat de afstanden en tijden van traject tot traject flink verschillen. Dit kunnen we op verschillende manieren weergeven. Afstand-tijd-diagram Een manier om de trajecten weer te geven is een afstand-tijd-diagram. Langs de horizontale as staat de duur van een traject in minuten, langs de verticale as de afstand in km. In zo’n diagram kun je de snelheid op een traject als het ware aflezen. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 1 In figuur 1 is ieder traject met een punt aangegeven. Zo hoort punt A bij een traject van 68 km dat in 35 minuten wordt afgelegd. De gemiddelde snelheid op dat traject is dan bijna 117 km/uur. Marieke bekijkt figuur 1 en zegt: “Er zijn maar weinig trajecten waarop de gemiddelde snelheid lager is dan op traject C. ”

Onderzoek op hoeveel trajecten de gemiddelde snelheid lager is dan op traject C . Licht je antwoord toe. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage. Lorentz-kromme Er is ook een andere manier om de trajecten weer te geven. Dat gaat als volgt: − eerst berekenen we van elk…

Onderzoek op hoeveel trajecten de gemiddelde snelheid lager is dan op traject C . Licht je antwoord toe. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage. Lorentz-kromme Er is ook een andere manier om de trajecten weer te geven. Dat gaat als volgt: − eerst berekenen we van elk traject de gemiddelde snelheid; − daarna maken we een lijst van de trajecten op volgorde van gemiddelde snelheid, van langzaam naar snel; − vervolgens maken we lijsten van cumulatieve tijden en cumulatieve afstanden. In de volgende tabel is hiermee een begin gemaakt.

tabel Voorbeeld: De som van de tijden van de drie langzaamste trajecten uit kolom 2 is 7 + 4 + 10 = 21 (zie kolom 5). De som van de afstanden van de drie langzaamste trajecten uit kolom 3 is 5 + 4 + 11 = 20 (zie kolom 6). Hierna zetten we de cumulatieve tijden en afstanden om in percentages van de…

tabel Voorbeeld: De som van de tijden van de drie langzaamste trajecten uit kolom 2 is 7 + 4 + 10 = 21 (zie kolom 5). De som van de afstanden van de drie langzaamste trajecten uit kolom 3 is 5 + 4 + 11 = 20 (zie kolom 6). Hierna zetten we de cumulatieve tijden en afstanden om in percentages van de totale tijd en de totale afstand. Deze percentages zetten we uit in een speciaal soort afstand-tijd-diagram, een zogenoemde Lorentz-kromme. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 2 Traject A uit figuur 1 is ook in figuur 2 opgenomen. In figuur 2 geeft punt A aan dat alle trajecten die niet sneller worden afgelegd dan traject A , ongeveer 70% van de totale tijd innamen, en ongeveer 60% van de totale afstand. Ook kun je in figuur 2 aflezen dat 5 trajecten afgelegd worden met een hogere gemiddelde snelheid dan traject A .

Geef op de uitwerkbijlage in figuur 1 punt B aan en in figuur 2 punt C . Licht je werkwijze toe. In figuur 2 is ook de grafiek van s = 100 ⋅ cumulatieve afstand (in procenten) is, en t de cumulatieve tijd (in procenten). De grafiek benadert de punten van de trajecten goed. Dit model kan ook…

Geef op de uitwerkbijlage in figuur 1 punt B aan en in figuur 2 punt C . Licht je werkwijze toe. In figuur 2 is ook de grafiek van s = 100 ⋅ cumulatieve afstand (in procenten) is, en t de cumulatieve tijd (in procenten). De grafiek benadert de punten van de trajecten goed. Dit model kan ook geschreven worden in de vorm s = c ⋅ t 1,326 , waarbij c een constante is.

Bereken c in drie decimalen nauwkeurig.

opgave 5Dobbelspel

Al in de 17e eeuw hielden wiskundigen zich bezig met
kansrekening. Het belangrijkste doel hiervan was het
berekenen van kansen bij dobbelspelen waarbij om geld
werd gespeeld. De Nederlandse wiskundige en
natuurwetenschapper Christiaan Huygens (zie afbeelding)
heeft als een van de eersten een boek over kansrekening
geschreven. Hierin staat het volgende dobbelspel
beschreven, in Huygens eigen formulering:
citaat
Als ick en noch een ander met beurten werpen met 2 steenen, ende bespreecken dat ick sal winnen, soo haest ick 7 ooghen werp, ende hy, soo haest als hy 6 ooghen werpt, mits dat ick hem de voorwerp geve. Te vinden in…

Als ick en noch een ander met beurten werpen met 2 steenen, ende bespreecken dat ick sal winnen, soo haest ick 7 ooghen werp, ende hy, soo haest als hy 6 ooghen werpt, mits dat ick hem de voorwerp geve. Te vinden in wat reden mijn kans tegen de sijne staet.

figuur bij de opgave
Vertaling in hedendaags Nederlands:
Ik speel met een ander door om de beurt met twee dobbelstenen te gooien, en
we spreken af dat ik zal winnen zo gauw ik zeven ogen gooi, en de ander, zo
gauw hij zes ogen gooit, onder voorwaarde, dat ik hem de eerste worp laat
gooien. Wat is de verhouding tussen mijn kans om te winnen en zijn kans?
In deze opgave volgen we twee spelers, Aad en Christiaan. Zij werpen dus om
de beurt twee dobbelstenen. Zodra Aad met de twee dobbelstenen samen zes
ogen gooit, heeft hij gewonnen en stopt het spel. Zodra Christiaan zeven ogen
gooit, is hij de winnaar en stopt het spel.
De kans dat Aad in een worp zes ogen gooit is (5)/(36). De kans dat Christiaan in
een worp zeven ogen gooit is (6)/(36).
183p
Laat met een berekening zien dat de kans dat Aad in een worp zes ogen gooit
inderdaad (5)/(36) is.
Het spel lijkt oneerlijk, omdat de kans op zes ogen kleiner is dan de kans op
zeven ogen. Maar misschien valt dit mee, aangezien Aad altijd begint met
werpen.
Het spelverloop is weergegeven in onderstaande figuur.
figuur
A werpt C werpt A werpt C werpt A werpt C werpt
A wint 5 36 C wint start 6 36 A wint 31 5 36 36 C wint 30 6 36 36 A wint 31 5 36 36 C wint 30 6 36 36 31 36 30 36
De kans dat het spel na maximaal zes worpen een winnaar oplevert, is ongeveer
0,63. Dit is als volgt in te zien:
De kans dat Aad in beurt 1, 3 of 5 wint, is (5)/(36) + (31)/(36) ⋅ (30)/(36) ⋅ (5)/(36) + (31)/(36) ⋅ (30)/(36) ⋅ (31)/(36) ⋅ (30)/(36) ⋅ (5)/(36) ≈0,31.
Op dezelfde manier kun je berekenen dat de kans dat Christiaan in beurt 2, 4 of
6 wint ongeveer 0,32 is.
193p
Bereken deze kans in vier decimalen.
De kans is echter klein dat er na 20 worpen nog niemand gewonnen heeft.
204p
Bereken de kans dat een spel langer dan 20 worpen duurt.
Huygens berekende de kans om het spel te winnen niet door het spel voor een
groot aantal worpen door te rekenen, maar op een andere manier.
Hij zag dat het patroon, zoals dat in de figuur staat, zich herhaalt. Als C in zijn
worp niet wint, zal A opnieuw werpen; het boomdiagram ziet er vanaf dat
moment precies zo uit als aan het begin.
Huygens noemde de kans dat A wint p en stelde de volgende vergelijking op:
p = (5)/(36) + (31)/(36) ⋅ (30)/(36) ⋅ p
Door deze vergelijking op te lossen, kon hij de kans dat A wint berekenen.
Daarna kon hij ook de kans dat C wint berekenen, en daarmee de verhouding
tussen beide winkansen.
214p
Los de vergelijking op en bereken de verhouding tussen beide winkansen.