opgave 1Eten buiten de deur
Prijzen van producten, waaronder die van voedsel, stijgen elk jaar met
een bepaald percentage. We noemen dat percentage inflatie.
In 2020 werd een onderzoek naar de kosten van voedsel in de Verenigde
Staten gepubliceerd. Volgens het onderzoek gaf in 1988 een gemiddelde
Amerikaan $ 1143 per jaar uit aan eten thuis en steeg dit bedrag door
inflatie tot $ 2079 in 2008. Neem aan dat tussen 1988 en 2008 de inflatie
ieder jaar hetzelfde was.
13pExponentiële functies en groei 3p
Bereken deze inflatie. Geef je antwoord in procenten in twee decimalen.
In het onderzoek werd onderscheid gemaakt tussen eten thuis: voedsel
dat thuis gegeten wordt, en eten buiten de deur: voedsel dat elders
wordt gegeten (bijvoorbeeld in restaurants, onderweg of op het werk).
We gaan er verder van uit dat vanaf 2010 de inflatie jaarlijks 2% was.
Uit het onderzoek bleek dat vanaf 2010 de kosten voor eten buiten de
deur inclusief de jaarlijkse inflatie ook nog stegen met een extra
percentage van 0,84% per jaar.
Op 1 januari 2010 betaalde je voor een Bacon Cheeseburger bij een
bepaalde Amerikaanse fastfoodketen $ 4,25.
24pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Exponentiële functies en groei 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in welk jaar de prijs van dezelfde Bacon Cheeseburger volgens
deze aannamen $ 7,00 zal zijn.
In het onderzoek werd ook gekeken naar de totale uitgaven voor voedsel
(eten thuis plus eten buiten de deur). Om deze uitgaven uit verschillende
jaren met elkaar te kunnen vergelijken, werden alle bedragen omgerekend
naar bedragen in 1988. Hierdoor hoeft er geen rekening gehouden te
worden met inflatie.
De (naar 1988 omgerekende) uitgaven voor eten thuis blijken ieder jaar
hetzelfde te zijn, namelijk $ 1143. We nemen aan dat dit de komende
jaren zo zal blijven. De totale uitgaven voor voedsel per persoon,
omgerekend naar de bedragen in 1988, namen lineair toe van $ 1600 in
1953 tot $ 2250 in 2014.
opgave 2Goals in de Eredivisie
De Eredivisie is de hoogste voetbalafdeling in Nederland in de betaalde
mannencompetitie. Aan het einde van seizoen 2021/22 stond op een
voetbalwebsite de volgende uitspraak:
“Zorgelijke trend: steeds minder goals in de Eredivisie.”
Het gemiddelde aantal goals per wedstrijd lag in het seizoen 2021/22 op
2,8595. De competitie telde toen 306 wedstrijden.
In het seizoen 1965/66 werden er 779 goals gescoord. Er werden toen
240 wedstrijden gespeeld.
Op basis van deze gegevens is er een argument te geven waarbij je het
eens bent met de uitspraak op de website en is er ook een argument te
geven waarbij je het oneens bent met de uitspraak.
42pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Geef bij beide argumenten een berekening die het argument ondersteunt.
In de Eredivisie wordt een volledige competitie gespeeld. Dit betekent dat
elk team twee keer tegen elk ander team speelt – één keer thuis en één
keer uit. Het totaal aantal wedstrijden in de volledige competitie noemen
we W en het aantal teams in de competitie T.
Uit deze gegevens is af te leiden dat: W = T2 − T
In de seizoenen 1962/63 tot en met 1965/66 waren er minder teams en
minder gespeelde wedstrijden dan tegenwoordig. Ook in het seizoen
2019/20 werden er minder wedstrijden gespeeld, namelijk 232. Dit kwam
omdat de competitie eerder stilgelegd werd vanwege COVID-19.
53pRekenen met een gegeven formule 3p
Toon met behulp van de formule van W aan dat er met 232 wedstrijden
geen volledige competitie gespeeld kan zijn.
In de tabel staan van de seizoenen 2011/12 tot en met 2021/22 de
toenames (positieve getallen) of afnames (negatieve getallen) van het
aantal goals per seizoen ten opzichte van het seizoen ervoor.
tabel
In het seizoen 2018/19 werden er 1061 goals gescoord.
Bij het seizoen 2019/20 staat: –346. Dit betekent dat er in dit seizoen
346 goals minder gescoord werden dan in 2018/19. Dit lijkt een enorme
daling. In werkelijkheid valt dit wel mee, omdat er in het seizoen 2019/20
maar 232 wedstrijden gespeeld werden, ten opzichte van 306 in de
andere jaren.
De uitspraak “Zorgelijke trend: steeds minder goals in de Eredivisie” zegt
dat er een afname is in het aantal goals, maar niet of deze afname
toenemend, constant of afnemend is. Om het aantal goals in de
verschillende seizoenen eerlijk met elkaar te kunnen vergelijken,
berekenen we hoeveel goals er in het seizoen 2019/20 gescoord zouden
zijn als er in dat seizoen niet 232 maar 306 wedstrijden gespeeld zouden
zijn. We nemen daarbij aan dat in dat seizoen het aantal goals recht
evenredig is met het aantal gespeelde wedstrijden. Hierdoor zullen de
waardes in de tabel bij de seizoenen 2019/20 en 2020/21 veranderen.
74pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende scoreverlopen er mogelijk zijn voor een
wedstrijd met als einduitslag 4-5 en een ruststand van 1-2.
opgave 3Trappen
In Landgraaf (Zuid-Limburg) bevindt zich de langste
83puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 3p
openluchttrap van Nederland: de Wilhelminatrap.
Zie foto 1. De 508 treden tellende trap is 248 meter
lang. De treden beneden zijn breder dan boven:
beneden zijn ze 12 meter breed en boven 2 meter.
Op deze manier wordt de illusie gewekt dat de trap
oneindig lang is.
Op de uitwerkbijlage staan drie vereenvoudigde
perspectieftekeningen van de bovenste en onderste
trede van een trap. Ook is de ‘horizon’ aangegeven.
Beredeneer met behulp van de figuur op de
uitwerkbijlage welke perspectieftekening (A, B of C)
het beste bij de Wilhelminatrap past.
Er bestaan verschillende trappen en niet alle trappen lopen even
gemakkelijk. Dit heeft onder andere te maken met:
− de optrede o: dit is de verticale lengte van een traptrede in cm;
− de aantrede a: dit is de horizontale lengte van een traptrede in cm;
− de helling h: de richtingscoëfficiënt van de ‘raaklijn’ aan de trap.
Zie figuur 1. Er geldt
en dan volgt:
h ⋅ a = o (formule 1)
figuur 1
Er zijn drie typen trappen, afhankelijk van de helling. Zie de tabel.
tabel
93pRekenen met een gegeven formule 2p · Ongelijkheden oplossen 1p
Bereken de mogelijke aantreden van een normale trap met een optrede
van 20 cm. Geef je antwoord in gehelen.
De Wilhelminatrap bestaat uit 22 trapdelen, verbonden door
21 horizontale plateaus. Zie foto 2 en (schematisch) figuur 2.
De trap is 248 meter lang. In figuur 2 is dit weergegeven met een
stippellijn. De trap overbrugt een hoogte van 95 meter.
Een architect wil een trap maken die net als de Wilhelminatrap 248 meter
lang is en 95 meter hoog. De architect wil alle 22 trapdelen even lang en
even steil maken. Ook alle plateaus worden onderling even lang.
105pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken wat de maximale lengte van één horizontaal plateau zou moeten
zijn, zodat alle trapdelen nog net in de categorie luie trap vallen. Geef je
antwoord in gehele cm.
Voor trappen binnenshuis geldt dat deze vaak steiler zijn dan trappen
buiten (zoals bijvoorbeeld de Wilhelminatrap). Voor een trap binnenshuis
geldt meestal een helling van 0,76. Om een trap met zo weinig mogelijk
energie te betreden bedacht de Franse architect François Blondel (al in
de 17e eeuw) de volgende formule:
Hierin is o de optrede in cm en a de aantrede in cm.
Met behulp van formule 1 en formule 2 én een helling van 0,76 kunnen de
optrede en aantrede van een zo efficiënt mogelijk te betreden trap
berekend worden.
114pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken de optrede en de aantrede van deze trap.
Niet alle trappen lopen recht omhoog. Binnenshuis loopt een trap soms
met een draai, zoals de trap op foto 3. In figuur 3 staat een vooraanzicht
van deze trap, getekend vanuit de positie recht voor de paal waar de trap
omheen draait. In figuur 4 is een bovenaanzicht van deze trap te zien,
waarin de treden elkaar niet overlappen. In figuur 5 is een losse trede van
de trap te zien.
Verder geldt:
− De trap is 2,47 meter hoog.
− De trap maakt een draai van 190 graden.
− De buitendiameter van de trap is 1,82 meter en de binnendiameter is
12 cm.
− De 12 treden van de trap hebben allemaal precies dezelfde vorm en
afmetingen.
− De 12 optreden van deze trap zijn allemaal even groot.
We nemen voor de aantrede de lengte van de cirkelboog die precies door
het midden van een trede loopt. Zie figuur 5. Met behulp van de formule
van de omtrek van een cirkel (omtrek cirkel = 2π ⋅ straal) is deze aantrede
te berekenen.
opgave 4Dr. Nim
The Amazing Dr. Nim is een bordspel uit de
jaren 60 van de vorige eeuw. Het is een spel
voor één speler, waarbij het spel zelf (Dr. Nim)
de tegenstander is.
Het spel werkt met een ingenieus systeem van
schakelaartjes die ervoor zorgen dat Dr. Nim
een bepaalde strategie kan uitvoeren.
De spelregels zijn eenvoudig: het spel begint met 12 knikkers. De speler
is altijd eerst aan de beurt en mag in zijn beurt 1, 2 of 3 knikkers pakken.
Daarna mag Dr. Nim op zijn beurt 1, 2 of 3 knikkers pakken. Dit gaat zo
door tot er geen knikkers meer over zijn. Degene die de laatste knikker
pakt wint.
Als je het spel met slechts 4 knikkers zou spelen in plaats van 12, kan
Dr. Nim altijd winnen.
132pLogisch redeneren 2p
Licht dat toe.
Voor het vervolg van de opgave voeren we de volgende notaties in:
− Sn betekent ‘de speler pakt n knikkers’
− Dn betekent ‘Dr. Nim pakt n knikkers’
− W betekent ‘de speler kan winnen’
Bij dit spel met 12 knikkers is de strategie van Dr. Nim als volgt:
Als de speler 1 knikker pakt, dan pakt Dr. Nim 3 knikkers;
als de speler 2 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 2 knikkers;
als de speler 3 knikkers pakt, dan pakt Dr. Nim 1 knikker.
144pLogisch redeneren 4p
Vertaal elk van de drie stappen van deze strategie, gebruikmakend van de
bovenstaande notaties, in logische symbolen en leg uit waarom deze
strategie altijd tot winst voor Dr. Nim zal leiden.
Het spel is niet zo leuk als je altijd verliest, dus daarom is het ook mogelijk
om Dr. Nim een foutje te laten maken. Een speler kan het spel zó instellen
dat Dr. Nim niet volgens de eerder genoemde strategie speelt, waardoor
de speler een kans heeft om te winnen.
Bij deze nieuwe spel-instelling zal Dr. Nim alleen in zijn eerste beurt een
foutje maken. Dat geeft de speler één kans om het spel te winnen door in
zijn tweede beurt precies het juiste aantal knikkers te pakken. Als de
speler het verkeerde aantal knikkers pakt, zal Dr. Nim een slimme
tegenzet doen en daardoor het spel winnen.
We voeren de volgende extra notaties in:
− En betekent ‘de speler pakt in de eerste beurt n knikkers’
− Tn betekent ‘de speler pakt in de tweede beurt n knikkers’
Hieronder staan twee logische beweringen die gaan over de variant
waarin Dr. Nim in zijn eerste beurt een foutje maakt.
1
2
154pLogisch redeneren 4p
Vertaal deze beweringen in een gewone Nederlandse zin en leg van elke
bewering uit of deze juist is.
opgave 5Procenten en zwemtijden
Bij wedstrijdzwemmen kunnen verschillende afstanden en slagen
gezwommen worden. Er kan bijvoorbeeld de 25 meter vlinderslag, de
50 meter rugslag of de 100 meter schoolslag gezwommen worden.
Op de website www.swimrankings.net wordt van veel zwemwedstrijden de
uitslag gepubliceerd. Op deze website worden ook ranglijsten en
persoonlijke records van zwemmers bijgehouden. Een persoonlijk
record is de snelste tijd die een persoon ooit gezwommen heeft op een
bepaalde afstand en met een bepaalde slag.
In de uitslagen van wedstrijden worden onder andere de gezwommen tijd,
het oude persoonlijke record en een percentage genoemd. Dit percentage
geeft aan hoe goed de gezwommen tijd is ten opzichte van het oude
persoonlijke record. Het percentage wordt op een heel andere manier
berekend dan de standaardberekening met procentuele toenames.
Daarom noemen we dat percentage in deze opgave de
Swimrankingsscore en niet een percentage.
De Swimrankingsscore wordt berekend met de formule:
Hierin is Ssw de Swimrankingsscore, o het oude persoonlijke record in
seconden en n de gezwommen tijd in seconden.
Als een zwemmer een persoonlijk record verbetert, dan is meestal de
Swimrankingsscore tussen de 100 en 120. Er zijn echter uitzonderingen,
zo zwom Myrthe in november 2022 op de 25 meter vlinderslag een
Swimrankingsscore van 287,7. Haar oude persoonlijke record was
29,77 seconden.
163pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken de tijd die Myrthe in november 2022 zwom. Geef je antwoord in
seconden in twee decimalen.
In formule 1 worden o en n als losse variabelen gebruikt, maar vooral de
verhouding
is van belang. Er geldt:
− Als 0 < r < 1, dan is er sprake van een verbetering van het persoonlijk
record.
− Als r ≥ 1, dan is er geen verbetering van het persoonlijk record.
Formule 1 kan worden herschreven tot
(formule 2).
Er kan ook een alternatieve Swimrankingsscore worden bepaald. Daarbij
hoort de volgende formule:
Hierin is
Salt de alternatieve Swimrankingsscore en
(met
o het oude
persoonlijke record in seconden en n de gezwommen tijd in seconden).
173pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p
Onderzoek of het mogelijk is dat formule 2 en formule 3 dezelfde uitkomst
geven, als een zwemmer zijn persoonlijk record niet verbeterd heeft.
Gegeven zijn de volgende twee beweringen:
1 De uitkomsten van Ssw en Salt zijn altijd positief.
2 Als er gerekend wordt met Salt in plaats van Ssw dan kun je nooit een
Swimrankingsscore van 287,7 halen.
opgave 6CO2 in de atmosfeer
In deze opgave kijken we naar het verloop van de concentratie CO2 in de
atmosfeer. Onderzoekers hebben geconstateerd dat de natuurlijke
concentratie CO2 eeuwenlang stabiel is gebleven rond de 280 ppm (parts
per million). De toename van de concentratie CO2 sinds de industriële
revolutie wordt met name veroorzaakt door massaproductie van goederen
en voedsel.
In de figuur zie je het verloop van de concentratie CO2 in de periode
1800–2009.
figuur
De toename verloopt exponentieel. Het verloop van de concentratie CO2
kan worden benaderd met het model:
C = 280 + gt
Hierbij is C de concentratie CO2 in ppm en t de tijd in jaren met t = 0 op
1 januari 1800. De waarde 280 staat in dit model voor de constante
natuurlijke concentratie CO2.
Op 1 januari 2002 was de concentratie CO2 370 ppm. Met dit gegeven en
met behulp van bovenstaande gegevens is te berekenen dat de waarde
van g, afgerond op vier decimalen, gelijk is aan 1,0225.
203pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in welk jaar de concentratie CO2 verdubbeld zal zijn ten opzichte
van de natuurlijke concentratie.
Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De
formule
benadert deze stijging.
Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO2 met
(ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter
totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO2 werd gemeten.
