opgave 1Autobanden
Er bestaan veel verschillende merken autobanden en per merk zijn er banden in
allerlei soorten en maten. De diameter van de band hangt af van de diameter
van de velg en de hoogte van de band. Banden zijn er ook nog in verschillende
breedtes. Zie figuur 1.
figuur 1
Alle belangrijke eigenschappen worden op de zijkant van een band met behulp
van een code aangegeven. Zie figuur 2.
figuur 2
Het eerste getal (185) is de breedte van de band in millimeters. Het tweede
getal (65) is de verhouding van de hoogte van de band ten opzichte van de
breedte van de band in procenten. Het volgende getal (14) is de diameter van
de velg in inches (1 inch = 2,54 cm), daarna volgt het LI-getal van de band (86)
dat het draagvermogen van de band aangeeft.
In de code op de band kun je de ‘bandenmaat’ aflezen. De bandenmaat bestaat
uit 3 getallen. Voor de band uit figuur 2 is dat 185, 65, 14.
Dat betekent voor deze band dat de breedte van de band 185 millimeter is, dat
de hoogte van de band 65% van de breedte is en dat de diameter van de velg
14 inch is.
13pLaat met een berekening zien dat de diameter van deze band ongeveer 60 cm
is.
Een bepaald soort band is er in verschillende bandenmaten. Zo loopt de breedte
van 145 tot en met 215 mm in stappen van 10 mm, en de verhouding van de
hoogte van de band ten opzichte van de breedte van de band loopt van 65 tot en
met 80 procent in stappen van 5 procent. De banden worden geleverd met een
velgdiameter van 13, 14 en 15 inch.
24pBereken hoeveel verschillende bandenmaten er van deze soort band zijn.
Het LI-getal (van Load-Index) geeft het draagvermogen van de band aan.
Het LI-getal geeft aan welk gewicht (in kg) de band kan dragen. In tabel 1 staat
voor enkele LI-getallen het draagvermogen van de band.
tabel 1
Er is bij benadering een exponentieel verband tussen het LI-getal en het
draagvermogen: telkens als het LI-getal 1 groter wordt, groeit het
draagvermogen met een bepaalde groeifactor.
34pBereken met behulp van dit exponentiële verband het draagvermogen van een
band met LI-getal 103.
Hoe breder een band, hoe beter de grip op de weg. Hoe hoger een band, hoe
meer comfort. Maar een hogere band gaat ten koste van de stabiliteit. Bij
sportieve auto’s wordt daarom gewoonlijk gekozen voor lage, brede banden.
Iemand heeft een auto waarop banden van het type 205/60 R 16 zijn
gemonteerd. Hij wil graag een sportievere uitstraling, en heeft zijn oog laten
vallen op banden 245/45.
De snelheidsmeter vereist dat de diameter van de band hetzelfde blijft. Hij heeft
dus grotere velgen nodig.
45pBereken de diameter van de grotere velgen in hele inches.
opgave 2Schoolexamencijfer
Het schoolexamencijfer voor een vak wordt berekend met de cijfers die je
behaald hebt voor praktische opdrachten en voor toetsen. We bekijken de
resultaten voor het vak wiskunde A1,2 van een groep van 30 leerlingen uit
5 Havo van één school.
In tabel 1 staat van elke leerling het gemiddelde cijfer voor praktische
opdrachten (PO’s) en het gemiddelde cijfer voor toetsen. Rechts onderaan staan
ook de gemiddelden en de standaardafwijkingen van deze cijfers.
tabel 1
leerling nummer gemiddelde PO’s gemiddelde toetsen leerling nummer gemiddelde PO’s gemiddelde toetsen 1 7,3 5,8 16 8,2 7,2 2 6,8 5,9 17 7,3 5,9 3 8,2 6,0 18 7,1 6,0 4 8,1 4,5 19 7,1 5,6 5 6,5 4,9 20 7,2 6,1 6 2,0 8,6 21 7,6 6,8 7 8,6 8,3 22 8,4 6,3 8 7,4 6,2 23 8,2 5,4 9 7,5 5,9 24 7,0 6,1 10 6,9 6,2 25 6,6 4,8 11 2,0 4,1 26 6,8 6,4 12 7,6 6,1 27 7,2 6,3 13 7,9 5,9 28 5,3 5,8 14 5,8 3,8 29 4,0 4,6 15 7,6 6,3 30 8,8 8,2 gemiddelde 6,90 6,00 standaard- afwijking 1,63 1,09
Met de twee cijfers van iedere leerling wordt zijn of haar schoolexamencijfer
berekend. Op deze school telt het gemiddelde voor de PO’s voor 20% mee in
het schoolexamencijfer.
In de tabel kun je zien dat van deze 30 leerlingen het gemiddelde cijfer voor de
PO’s 6,90 is en het gemiddelde voor de toetsen 6,00. Hiermee kan het
gemiddelde schoolexamencijfer van deze 30 leerlingen worden berekend.
54pBereken dit gemiddelde schoolexamencijfer.
Johan, de leerling met nummer 14, heeft nu een 3,8 als gemiddelde voor de
toetsen. Hij mag de toets met het laagste cijfer nog herkansen. Voor die
herkansing scoort hij een zes.
Dit heeft invloed op het gemiddelde cijfer voor de toetsen van de hele groep,
want dat wordt daardoor hoger.
Het heeft ook invloed op de standaardafwijking bij de toetsen. Daarover kun je
een uitspraak doen zonder de standaardafwijking opnieuw te berekenen.
63pWordt de standaardafwijking na Johans herkansing kleiner of groter? Licht je
antwoord toe.
De school heeft meer groepen leerlingen met wiskunde A1,2 in 5 Havo. In totaal
gaat het om 80 leerlingen. Kort voor het eindexamen heeft elke leerling een
gemiddeld cijfer voor de toetsen en een gemiddeld cijfer voor de PO’s. Daarmee
wordt voor elke leerling het schoolexamencijfer berekend.
De gemiddelde cijfers voor de toetsen en de gemiddelde cijfers voor de PO’s
van alle 80 leerlingen zijn verwerkt in de twee boxplots in figuur 1.
figuur 1
We doen twee uitspraken:
A: 80% van de leerlingen heeft als gemiddeld PO-cijfer 5,5 of hoger.
B: Het laagste schoolexamencijfer is een 2,0.
74pLeg uit waarom elk van deze twee uitspraken niet met zekerheid kan worden
afgeleid uit de boxplots.
Landelijk is 6,2 het gemiddelde van de schoolexamencijfers van alle leerlingen
bij wiskunde A1,2 Havo. Van de leerlingen scoort 22% een cijfer lager dan 5,5.
De cijfers zijn bij benadering normaal verdeeld.
84pBereken de standaardafwijking van de landelijke schoolexamencijfers.
opgave 3Hebben is schieten?
De regels omtrent het in bezit mogen hebben van vuurwapens zijn per land
verschillend. Deze regels staan natuurlijk ook wel eens ter discussie.
Tegenstanders van vuurwapenbezit beweren dat hoe makkelijker mensen aan
vuurwapens kunnen komen, hoe meer die gebruikt worden.
Voorstanders van vuurwapenbezit zeggen altijd dat het niet de wapens zijn die
doden, maar de mensen. Zij vinden dat mensen vrij moeten zijn om een
vuurwapen aan te schaffen, omdat meer vuurwapens niet betekent dat er dan
ook meer gebruik van wordt gemaakt.
Het vuurwapenbezit en het aantal dodelijke slachtoffers door vuurwapens is in
een aantal landen onderzocht. De onderzoeksresultaten zie je in figuur 1.
figuur 1
16 aantal sterfgevallen door vuurwapens S VVeerreenniiggddee SSttaatteenn (per 100000 inwoners) 14 12 10 AAuussttrraalliiee 8 JJaappaann BBeellggiiee FFiinnllaanndd FFrraannkkrriijjkk 6 NNeeddeerrllaanndd NNoooorrwweeggeenn GGBB 4 DDuuiittssllaanndd CCaannaaddaa 2 NNiieeuuww--ZZeeeellaanndd SSppaannjjee 0 0 10 20 30 40 50
aantal vuurwapens V(per1000 inwoners)
Figuur 1 geeft het verband weer tussen het jaarlijks aantal sterfgevallen door
vuurwapens S (per 100 000 inwoners) en het aantal vuurwapens V (per 1000
inwoners). Behalve de gegevens van een aantal landen is in figuur 1 ook een
trendlijn getekend. Voor landen op de trendlijn is er sprake van een evenredig
verband tussen S en V.
Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners, de Verenigde Staten ongeveer
295 miljoen.
95pBereken met behulp van figuur 1 hoeveel keer zo groot het jaarlijks aantal
sterfgevallen door vuurwapens in de Verenigde Staten is vergeleken met
Nederland.
In 2005 heeft de bevolking van Brazilië zich in een referendum uitgesproken
tegen het beperken van de verkoop van vuurwapens. En dat terwijl er in dit land
met 180 miljoen inwoners jaarlijks zo’n 40 000 mensen sterven door
vuurwapengebruik.
Ga ervan uit dat Brazilië op de trendlijn ligt, zodat je gebruik kunt maken van het
evenredige verband tussen S en V.
105pBereken met behulp van dit evenredige verband het totaal aantal vuurwapens in
Brazilië.
opgave 4T-shirts
Thai-Tee is een onderneming in Thailand die T-shirts produceert voor de
Amerikaanse markt.
Thai-Tee kan maximaal 200 000 T-shirts per jaar produceren.
De formules voor de totale opbrengst TO en de totale kosten TK zijn:
TO = 4500q0,89 + 18000q0,56
TK = 0,12q3 − 0,85q2 + 150q + 100000
Hierin is q het aantal geproduceerde T-shirts in duizenden.
Dus q is hoogstens 200.
De totale opbrengst TO en de totale kosten TK zijn in dollars.
Er is sprake van winst als de totale opbrengst groter is dan de totale kosten.
115pBereken bij welke aantallen T-shirts er winst wordt gemaakt.
Er bestaan verschillende wiskundige technieken om de productiegrootte te
bepalen waarbij de winst maximaal is.
Voor het bepalen van deze productiegrootte bij Thai-Tee kiezen we voor de
techniek waarbij de vergelijking TO' = TK' moet worden opgelost.
Hierin is TO' de afgeleide van TO en TK' de afgeleide van TK.
126pStel de formules van TO' en TK' op en bereken bij welk aantal T-shirts de winst
maximaal is.
Voor de onderneming is het ook belangrijk om te weten wanneer de gemiddelde
kosten GK per T-shirt minimaal zijn.
De gemiddelde kosten zijn te berekenen met de formule
Ook hier zijn de totale kosten in dollars en het aantal geproduceerde T-shirts
q in duizenden.
134pBereken bij welk aantal T-shirts de gemiddelde kosten minimaal zijn en wat de
gemiddelde kosten per T-shirt dan zijn.
opgave 5Datingshow
In een datingshow op televisie maken drie jongens (Richard, Sander en Tim) en
drie meisjes (Kathy, Lisa en Maaike) kennis met elkaar. Tijdens de show geven
ze antwoord op allerlei vragen van de presentator. Op deze manier komen ze
iets over elkaar te weten. Na beantwoording van de vragen kiest elke jongen
één meisje en elk meisje één jongen, zonder te laten zien wie ze kiezen.
Na afloop worden de keuzes bekendgemaakt en wanneer een jongen en een
meisje elkaar hebben gekozen, hebben ze een kort, luxueus reisje gewonnen
om elkaar (nog) beter te leren kennen.
In deze opgave gaan we ervan uit dat de jongens en de meisjes willekeurig
kiezen, dus ieder heeft een even grote kans om gekozen te worden. Dan is de
kans dat een jongen een bepaald meisje kiest dus
.
Maaike is bang dat alle televisiekijkers zien dat ze door niemand wordt gekozen.
Ze vraagt zich af hoe groot de kans is dat minstens één van de drie jongens
haar kiest.
144pBereken deze kans.
De organisator van de datingshow moet de kosten van de show in de gaten
houden. De luxueuze reisjes zijn erg duur. Toch is het mogelijk dat er in de
show drie reisjes worden gewonnen, omdat er drie ‘stelletjes’ zijn die elkaar
gekozen hebben. Dit kan op verschillende manieren gebeuren. Eén daarvan is:
Richard en Kathy kiezen elkaar, Sander en Lisa kiezen elkaar en Tim en Maaike
kiezen elkaar.
153pSchrijf alle mogelijke manieren op waarbij er precies drie stelletjes gevormd
worden.
Het kost de organisatie elke keer 4000 euro wanneer er door een stelletje een
reisje wordt gewonnen.
Je kunt berekenen hoe groot de kans is dat er in de show stelletjes worden
gekozen. Deze kansen staan in tabel 1.
tabel 1
164pBereken de verwachtingswaarde van het bedrag dat de organisatie per show
kwijt is aan reisjes.
Het is goed voor de kijkcijfers als er in elke show één of meer stelletjes worden
gevormd. In tabel 1 kun je zien dat dit niet altijd hoeft te gebeuren.
173pBereken de kans dat in de eerste twee shows geen enkel stelletje wordt
gevormd.
opgave 6Volumes
Een opgeblazen papieren zak heeft,
net als een kussen, een speciale vorm.
Pas in 2004 is er een formule gevonden
waarmee het volume van die vorm kan
worden berekend.
Van een platte rechthoekige zak of kussen
noemen we de kortste zijde a (in dm) en de
langste zijde b (in dm). Zie figuur 1.
Het volume V (in liter) van de opgeblazen
zak of het kussen kan dan berekend
worden met de formule:
V = a3 ⋅ (0,142 ⋅ 0,1r + 0,318 ⋅ r − 0,142)
Hierin is
r de verhouding tussen de zijden:
.
Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm.
183pBereken het volume van dit kussen.
Voor een vierkant kussen met zijden a kan bovenstaande formule
vereenvoudigd worden tot:
V = 0,1902 ⋅ a3
Een kussen met een kortste zijde van 3,5 dm heeft hetzelfde volume als een
vierkant kussen van 5 bij 5 dm.
195pBereken de langste zijde van dat kussen.
Ook voor vuilniszakken bestaat er een
formule om het volume te berekenen. Een volle
vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt
daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto
hiernaast.
Het volume V (in liter) wordt berekend met:
Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in
dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x
de hoogte van de knoopstrook (in dm).
Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm
heeft een volume van 52 liter.
204pBereken de lange zijde b van de vuilniszak.
cijfer
