bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2004, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Bacteriecultuur

De groei van het aantal bacteriën van een foto
bacteriecultuur hangt onder andere af van het
voedingspatroon, de temperatuur en de
belichting.
Uit onderzoek blijkt dat het aantal bacteriën
van een bepaalde bacteriecultuur onder
bepaalde omstandigheden gedurende de eerste
vier weken benaderd kan worden door de
formule
figuur bij de opgave
N = −100t 3 + 300t 2 + 900t +1000 (0 ≤ t ≤ 4)
Hierbij is N het aantal bacteriën en t de tijd in weken na t = 0.
12p
Bereken het maximale aantal bacteriën.
23p
Bereken hoeveel bacteriën er gemiddeld per dag bijkomen gedurende de derde week.
Rond je antwoord af op een geheel getal.
35p
Bereken met behulp van differentiëren op welk tijdstip t tussen 0 en 4 het aantal bacteriën
het sterkst stijgt.
Na vier weken worden de omstandigheden gewijzigd. Daardoor verloopt het aantal
bacteriën voor 4 ≤ t ≤ 8 volgens de formule
N = −3000 + (24000)/(t)
46p
Onderzoek gedurende hoeveel dagen van t = 0 tot en met t = 8 er meer dan 2000 bacteriën
zijn. Rond je antwoord af op een geheel aantal dagen.
De twee stukken grafiek van N sluiten op elkaar aan in het punt (4, 3000).
De formule voor de eerste vier weken geeft in t = 4 een groeisnelheid van
–1500 (bacteriën/week).
54p
Onderzoek met behulp van differentiëren of de formule die het aantal bacteriën in de
laatste vier weken beschrijft, voor t = 4 dezelfde groeisnelheid geeft.

opgave 2Asfaltbetonwegen

De snelwegen in Nederland zijn voornamelijk foto
asfaltbetonwegen.
De meest voorkomende zijn de dichte
asfaltbetonwegen (DAB-wegen) en de zeer
open asfaltbetonwegen (ZOAB-wegen).
In figuur 1 is voor bovengenoemde soorten
wegen het verband weergegeven tussen de
snelheid v van het verkeer en het
figuur 1
geluidsniveau D van het verkeer.
Hierbij is v in km/uur en D in dB (decibel).
80 DAB-weg geluidsniveau (in dB) 75 ZOAB-weg 70 65 60 0 0 50 70 90 110 130 snelheid (in km/uur)
figuur 1
Bij een DAB-weg geldt bij benadering de volgende formule
D = 15,6 ln(v) + 4,1
Voor ZOAB-wegen geldt bij benadering de volgende formule
D = 12,2 ln(v) + 16,0
64p
Bereken bij welke snelheden van het verkeer het geluidsniveau op een ZOAB-weg meer
dan 4 dB lager is dan op een DAB-weg. Geef je antwoord in gehele kilometers per uur.
74p
Toon met behulp van differentiëren aan dat voor elke waarde van v de grafiek van de
DAB-weg een grotere helling heeft dan de grafiek van de ZOAB-weg.
De coëfficiënten 15,6 en 4,1 in de formule D = 15,6 ln(v) + 4,1 voor de DAB-weg zijn op
één decimaal afgeronde getallen. Het verband D = a ln(v) + b, waarbij a en b getallen zijn,
is gevonden met behulp van de volgende twee gegevens:
bij een snelheid van 50 km/uur heeft men een geluidsniveau van 65 dB gemeten,
bij een snelheid van 95 km/uur heeft men een geluidsniveau van 75 dB gemeten.
86p
Bereken met behulp van deze gegevens de waarden van a en b.
Rond af op twee decimalen.

opgave 3Etagère

In een advertentie van een tuincentrum staat een foto van een etagère. Dezelfde foto is
hieronder afgebeeld. In figuur 2 is de etagère getekend.
De etagère is opgebouwd uit drie gelijke piramiden. Hij steunt met het punt K op de grond
en met de ribbe HI tegen de muur.
De bovenste piramide is aan de middelste vastgelast in het midden M van ribbe EF en de
middelste piramide is aan de onderste vastgelast in het midden L van ribbe BC.
Het punt K en de ribben BC, EF en HI liggen in één vlak.
figuur bij de opgave
foto
G H F M D E C L A B K
De driehoeken KAB, KAC en ABC zijn zowel rechthoekig als gelijkbenig.
KA = AB = AC = 25 cm.
De vlakken ABC, DEF en GHI lopen evenwijdig aan het grondvlak.
95p
Teken een bovenaanzicht van de etagère uit figuur 2 op schaal 1:5. Zet de letters erbij.
105p
Bereken van de etagère uit figuur 2 de afstand van K tot de muur.
Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.
De drie piramiden van de etagère worden figuur 3
uit ijzeren platen gemaakt.
Zo'n ijzeren plaat heeft de vorm van een
gelijkzijdige driehoek STU.
In figuur 3 is de uitslag van een piramide in
de ijzeren plaat getekend.
De grijze driehoekjes zijn afval.
25 25 S T
116p
Bereken de lengtes van de zijden van driehoek STU.
Rond je antwoord af op een geheel aantal centimeters.

opgave 4Olietank

123p
Een olietank heeft de vorm van een cilinder figuur 4
met een hoogte van 5 meter en een diameter
van 4 meter. In figuur 4 staat een tekening
van deze olietank.
De hoogte van de vloeistofspiegel ten
opzichte van de bodem van de tank wordt
hierin met h aangegeven (in meters).
Op een bepaald moment zit er 25 m3 olie in
de tank.
Bereken de bijbehorende waarde van h.
Geef je antwoord in meters, afgerond op twee
decimalen.
Op een ander moment is de tank voor de helft
met olie gevuld. In figuur 5 is een
D 4 C 5 h A B
vooraanzicht van de tank (rechthoek ABCD)
en de vloeistofspiegel (EF) getekend. De halfvolle tank wordt om A gekanteld.
In figuur 6 is een vooraanzicht getekend van het vat nadat het is gekanteld over een
hoek α. Bij het kantelen beweegt E langs AD en F langs BC.
figuur 5
D
C
E F
2(1)/(2)
4
A
B
C figuur 6 D 5 B 4 α A
Op de uitwerkbijlage is figuur 6 nogmaals getekend.
134puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de vloeistofspiegel EF. Beschrijf je werkwijze.
144p
Een olietank is voor 40% gevuld. De olietank figuur 7
wordt gekanteld, zodat de afstand van B tot
de grond steeds groter wordt. Daarbij neemt
ook de afstand van A tot E toe.
De hoogte van B ten opzichte van de grond
noemen we p. De afstand van A tot E noemen
we q. Zie figuur 7.
Voor 2 ≤ q ≤ 4 geldt voor het verband tussen
p en q de formule:
q = 2 + 2p (16 – p )
Bereken de afstand van B tot de grond als de
vloeistofspiegel door het midden van AD
gaat. Rond je antwoord af op gehele
centimeters.
C D 5 E F q B 4 p A

opgave 5Luchtdruk

De luchtdruk in de atmosfeer is afhankelijk van de hoogte boven het zeeniveau.
De grafiek in figuur 8 geeft het verband weer tussen de luchtdruk in millibar (mbar) en de
hoogte boven het zeeniveau in kilometer (km). Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
De luchtdruk op zeeniveau is gelijk aan 1014 mbar.
1000 luchtdruk (mbar) 800 600 400 200 0 0 5 10 15 20 hoogte boven zeeniveau (km)
figuur 8
In figuur 8 is te zien dat de luchtdruk afneemt als de hoogte toeneemt.
Er is een hoogte waarop de snelheid, waarmee de luchtdruk afneemt, gelijk is aan 5 mbar
per 100 meter.
154puitwerkbijlage
Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage op welke hoogte dit het geval is.
Licht je werkwijze toe.
Voor het verband tussen de luchtdruk D (in mbar) en de hoogte h (in km) geldt bij
benadering de formule
D = 1014 ⋅ (−0,0226h + 1)5,26
Met behulp van differentiëren is de snelheid (in mbar/km) te berekenen waarmee de
luchtdruk verandert.
165p
Bereken met behulp van differentiëren deze snelheid op een hoogte van 3 km.
Rond je antwoord af op één decimaal.
In de gegeven formule is D uitgedrukt in h.
174p
Werk de formule zo om dat h uitgedrukt wordt in D.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Netspanning

Op de stroomvoerende draad in een stopcontact schommelt de elektrische spanning
50 keer per seconde van –300 Volt tot +300 Volt.
De formule V = 300sin(100πt) geeft het spanningsverloop in de tijd weer. Hierin is V de
spanning in Volt en t de tijd in seconden.
184p
Onderzoek of de spanning op tijdstip t = 0,05 toe- of afneemt. Licht je antwoord toe met
een berekening.
In een elektrisch apparaat is de formule van het spanningsverloop V* = 60sin(100πt − 25).
Hierin is V* de spanning in Volt en t de tijd in seconden.
Vanaf t = 0 gerekend komt het tijdstip van de hoogste spanning van V* iets eerder dan dat
van V.
194p
Onderzoek hoeveel seconden dit tijdstip vroeger is.
Rond je antwoord af op vier decimalen.
√(Einde)
Lees verder