opgave 1Uitsterven van soorten
De mens heeft in de loop van de eeuwen veel natuurgebieden sterk verkleind
door kappen van bomen, door ontginning tot bouwgrond en door het bouwen
van huizen. Veel soorten wilde dieren zijn hierdoor bijna verdwenen of
uitgestorven. Als regel geldt: hoe kleiner het natuurgebied, des te kleiner het
aantal diersoorten dat daar kan overleven.
Deze opgave gaat over de mate waarin het aantal diersoorten verandert als een
natuurgebied van 10 000 km2 door de mens wordt verkleind. Het percentage
diersoorten in een natuurgebied van 10 000 km2 stellen we daarbij op 100%.
De formules die het verband beschrijven tussen het percentage diersoorten en
de oppervlakte van het resterende natuurgebied zijn van de vorm:
Hierin is S het percentage diersoorten en A de oppervlakte van het resterende
natuurgebied in km2; z is een constante die bij een bepaald type natuurgebied
hoort. Voor natuurgebieden op een eiland gelden waarden van z van ongeveer
0,35 en op het vasteland geldt dat z ongeveer gelijk is aan 0,15.
figuur 1
In figuur 1, waarin S is uitgezet tegen A, zijn voor deze twee waarden van z
grafieken getekend.
In figuur 1 is voor een eiland (z = 0,35) het volgende af te lezen:
Als er door het kappen van bossen nog maar 1000 km2 van een natuurgebied
van 10 000 km2 over is, dan is ongeveer 45% van het aantal diersoorten over.
13pToon door een berekening aan dat deze bewering juist is.
In een land wil men in een natuurgebied ter grootte van 10 000 km2 een dorp
bouwen. De eis die men stelt is dat er minstens 90% van alle daar levende
diersoorten kunnen blijven leven. Voor dit natuurgebied geldt z = 0,20.
24pBereken hoeveel km2 grond voor bebouwing gebruikt kan worden.
Een bepaald natuurgebied van 10 000 km2 wordt ieder jaar 1% kleiner.
34pBereken na hoeveel jaar nog maar de helft van het oorspronkelijke natuurgebied
over is.
opgave 2Bier tappen
In een café wordt bier getapt in glazen met een inhoud van 25 cl. Het is de
bedoeling dat er 20 cl bier (het vloeibare gedeelte) en 5 cl schuim in een glas
komt. De hoeveelheid bier in een dergelijk bierglas in dit café is bij benadering
normaal verdeeld.
Alle leden van het barpersoneel tappen gemiddeld 20 cl bier in een glas met een
standaardafwijking van 0,6 cl.
In dit café is de kwaliteitsnorm: de hoeveelheid bier in een bierglas moet liggen
tussen 19 en 21 cl.
44pBereken hoeveel procent van de glazen die het barpersoneel tapt, voldoet aan
de kwaliteitsnorm.
56pBereken de kans dat van de tien glazen bier die het barpersoneel tapt er
hoogstens drie zijn met minder dan 19,5 cl bier.
Regelmatig wordt er in het café 1 meter bier besteld. Dat zijn 13 glazen bier op
een rijtje. We bekijken nu de totale hoeveelheid bier van de 13 glazen die het
barpersoneel getapt heeft.
Ook de totale hoeveelheid bier is bij benadering normaal verdeeld, met een
gemiddelde van 260 cl. De kans dat de totale hoeveelheid bier kleiner is dan
258 cl is 18%.
64pBereken de standaardafwijking van de totale hoeveelheid bier.
opgave 3Horizontale lijnen
In figuur 1 zie je de grafiek van de functie f die gegeven is door f(x) = 6x − x2 en
enkele horizontale lijnen. Deze lijnen horen bij de familie van lijnen y = p met
p ≥ 0.
figuur 1
Een van de horizontale lijnen y = p heeft slechts één punt gemeenschappelijk
met de grafiek van f.
75pBereken op algebraïsche wijze de bijbehorende waarde van p.
In figuur 2 zie je dat de grafiek van f door een horizontale lijn y = p gesneden
wordt in de punten A en B. Door de punten A en B zie je ook twee verticale
lijnen die de x-as snijden in D en C.
figuur 2
De x-coördinaat van A noemen we a, met 0 < a < 3.
Voor de oppervlakte S van rechthoek DCBA geldt dan de formule
S = (6 − 2a)(6a − a2).
Er is één horizontale lijn y = p waarbij de oppervlakte van rechthoek DCBA
maximaal is.
86pBereken exact de waarde van a in deze situatie.
opgave 4Triominos
Het spel Triominos bestaat uit driehoekige stenen. Zie foto 1. Op elke steen
staan drie cijfers, één cijfer bij elke hoek. Dit cijfer kan zijn een 0, 1, 2, 3, 4 of 5.
Voor de stenen met drie verschillende cijfers geldt dat met de klok meedraaiend
de cijfers in grootte oplopen als je met het kleinste cijfer begint. Zie de steen
met de cijfers 2, 4 en 5 in foto 1.
Alle stenen zijn verschillend. Alle mogelijke combinaties van cijfers komen voor.
In foto 2 zie je een voorbeeld van een steen: de steen 5-5-5.
Doel van het spel is zoveel mogelijk stenen passend aan te leggen. Dit betekent
dat de cijfers op de twee hoeken die tegen elkaar aan komen te liggen, hetzelfde
zijn. In foto 3 zie je hoe aan de steen 5-5-5 de steen 2-5-5 aangelegd kan
worden.
Behalve de steen 2-5-5 zijn er ook andere stenen die je op deze plaats aan de
steen 5-5-5 zou kunnen aanleggen.
93pSchrijf op welke stenen dit zijn.
Het spel bestaat uit 56 verschillende stenen.
Je kunt de stenen in drie soorten verdelen (zie foto 1):
− stenen met drie dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 3-3-3
− stenen met precies twee dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 0-3-3
− stenen met drie verschillende cijfers, bijvoorbeeld 2-4-5
In tabel 1 zie je het begin van een overzicht van de aantallen stenen van elke
soort. De laatste kolom van de tabel is nog niet helemaal ingevuld.
tabel 1
104pBereken de ontbrekende getallen in de tabel zonder gebruik te maken van het
gegeven dat het spel uit 56 stenen bestaat.
Bij het begin van het spel worden alle stenen zo op tafel gelegd dat de cijfers
niet te zien zijn. Een steen met drie dezelfde cijfers erop heet een trio.
Iedere speler moet 7 stenen pakken. De speler die begint, pakt 7 stenen uit de
56 stenen die op tafel liggen.
114pBereken de kans dat precies twee van deze zeven stenen trio’s zijn.
opgave 5Steeds meer vlees
In figuur 1 wordt voor de periode 1960 - 1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde stippen in de grafiek geven de jaarlijkse graanproductie G per hoofd van de wereldbevolking in kg aan. Het verloop ervan wordt benaderd door een parabool. De driehoekjes geven de jaarlijkse vleesproductie V per hoofd van de wereldbevolking in kg aan. Het verloop ervan wordt benaderd door een rechte lijn (stippellijn). figuur 1 vlees van de wereldbevolking Volgens de benadering met de rechte lijn in figuur 1 was V in 1960 gelijk aan 23,2 kg en in 1996 gelijk aan 36,0 kg. In 1960 werd in Nederland per hoofd van de bevolking 45,3 kg vlees geconsumeerd. Met de gegeven benadering van V is te berekenen wanneer er voor de wereldbevolking per hoofd gemiddeld evenveel vlees geproduceerd zal worden als de Nederlanders in 1960 gebruikten.
Bereken in welk jaar de wereldvleesproductie volgens de gegeven lineaire benadering 45,3 kg per hoofd van de wereldbevolking zal bedragen. De parabool in figuur 1 kan worden beschreven met de formule G = − 0,125 t 2 + 6,33 t + 279 . Hierin is G de wereldgraanproductie per jaar in kg per hoofd van de wereldbevolking en t de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1960.
Bereken met behulp van differentiëren de maximale waarde van G volgens de formule en bepaal met behulp van figuur 1 het verschil tussen dit berekende maximum en de hoogste werkelijke jaarlijkse graanproductie per jaar per hoofd van de bevolking. Voor de periode 1990 - 2050 gebruiken we nu een andere schatting van de voedselsituatie, die uitgaat van een iets andere formule voor de vleesproductie V in kg per hoofd van de wereldbevolking. Deze formule wordt gegeven door: V * = 0,25 t + 25 . De tijd t in jaren wordt gerekend vanaf het jaar 1960. Volgens deze formule neemt de vleesproductie steeds verder toe. Dat is alleen mogelijk als men op aarde meer graan gaat gebruiken om aan het vee te voeren, waardoor er minder graan beschikbaar is voor voeding van de mens. Om 1 kg vlees te kunnen produceren is ongeveer 4 kg graan nodig.
opgave 6De leugendetector
We geven het niet graag toe, maar liegen doen we allemaal, onder andere om
aardig gevonden te worden. Recent onderzoek heeft uitgewezen dat als twee
mensen voor het eerst met elkaar in gesprek raken er in 60% van die
gesprekken leugens verteld worden. Op grond hiervan nemen we aan dat de
kans dat er bij zo’n gesprek gelogen wordt, gelijk is aan 0,60.
Iemand komt op een feest waar hij niemand kent. Op een gegeven moment
heeft deze persoon met vijf verschillende mensen een gesprek gevoerd.
163pBereken de kans dat van deze vijf gesprekken er drie zijn waarbij gelogen werd.
Leugendetectors worden gebruikt om schuldigen van misdrijven aan te wijzen.
Het idee achter de leugendetector is dat het lichaam reageert als iemand liegt.
De leugendetector registreert deze reactie.
Bij een bepaald soort leugendetector wordt met behulp van een infraroodcamera
de gezichtstemperatuur gemeten. Liegende verdachten vertonen vaak een
verhoogde temperatuur rond de ogen en op grond daarvan kan ontdekt worden
dat zij liegen.
Er is echter ook een kans dat een schuldige persoon niet ontdekt wordt door de
leugendetector. De Amerikaanse onderzoeker Pavlidis heeft hiernaar onderzoek
verricht.
In tabel 1 zijn enkele resultaten van zijn onderzoeken te zien.
tabel 1
Vier schuldige personen worden onderzocht met de leugendetector.
174pBereken de kans dat minstens twee van hen niet als schuldig ontdekt worden.
Een ander nadeel van de leugendetector is dat een onschuldige, maar
bijvoorbeeld zenuwachtige persoon, als dader aangewezen kan worden. Bij de
methode met de infraroodcamera is de kans dat een onschuldig iemand toch als
schuldige wordt aangewezen gelijk aan 0,08.
Tabel 1 kan daarom uitgebreid worden: zie tabel 2.
tabel 2
Veronderstel dat bij het onderzoek van een bepaalde misdaad 55 mensen
worden ondervraagd met behulp van deze leugendetector. Ga ervan uit dat drie
van deze 55 personen schuldig zijn en dat de andere 52 personen onschuldig
zijn.
183pBereken hoeveel van deze 55 personen naar verwachting door deze
leugendetector schuldig worden bevonden.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 7Combi-functie
De functie f heeft een voorschrift dat een combinatie is van twee
functievoorschriften:
figuur 1
De grafiek van f bestaat dus ook uit twee delen. Deze twee delen sluiten in het
punt (2, 3) weliswaar precies op elkaar aan, maar de hellingen van de twee
grafiekdelen in dit punt zijn verschillend. Zie figuur 1.
194pBereken met behulp van differentiëren hoe groot die hellingen zijn.
De lijn
k met vergelijking
snijdt de grafiek van
f in de punten
A en
B.
203pBereken de lengte van het lijnstuk AB. Rond je antwoord af op twee decimalen.
