opgave 2Een gokje wagen
Een viervlaksdobbelsteen is een dobbelsteen met de
44pvorm van een regelmatig viervlak. Met zo’n dobbelsteen
kun je 1, 2, 3 of 4 gooien. Op de foto zie je de situatie
waarin er 3 is gegooid. In deze opgave gaan we uit van
een zuivere viervlaksdobbelsteen.
Bereken de kans dat in vier worpen achter elkaar er vier
maal een verschillend cijfer wordt gegooid.
De volgende vragen gaan over een spel met deze dobbelsteen.
De inleg is € 2,75. Een speler die het spel speelt, mag een aantal keren met de
dobbelsteen gooien. De gegooide cijfers worden bij elkaar opgeteld. Als de
speler stopt bij een totaal van 1, 2, 3 of 4, dan krijgt hij dit aantal in euro’s
uitgekeerd. Als de speler in totaal 5 of meer gegooid heeft, dan wordt er niets
uitgekeerd. Zie tabel 1.
tabel 1
Iemand wil één keer het spel spelen. Hij hanteert bij zijn spel de volgende
strategie. Wanneer hij een totaal van 4 (of meer) heeft bereikt, stopt hij. Zolang
het totaal minder dan 4 is, gaat hij door met gooien.
Het totaal van 4 kan op verschillende manieren worden bereikt. Dit kan in één
worp maar ook in twee, drie of vier worpen.
57pBereken de kans dat hij een totaal van 4 bereikt met deze strategie.
Iemand anders speelt het spel volgens
een andere strategie. Zijn strategie is
als volgt:
− Als hij bij de eerste worp 1 gooit,
gooit hij nog één keer
− Als hij 2, 3 of 4 gooit, stopt hij
In figuur 1 is dit schematisch
weergegeven. Hij speelt 80 spelletjes met deze strategie.
64pBereken hoeveel winst of verlies hij kan verwachten.
opgave 3Koffiekan
Bij het zetten van koffie wordt soms een koffiezetapparaat gebruikt.
Deze opgave gaat over een koffiezetapparaat waarbij de koffiekan, zonder het
handvat en de bovenrand, de vorm heeft van een aan twee kanten afgeknotte
bol.
De hoogte h (in cm) van de vloeistofspiegel in de koffiekan wordt gemeten ten
opzichte van de onderkant van de koffiekan. Zie figuur 1.
figuur 1
V(h) is het volume (in cm3) van de vloeistof (koffie) in de koffiekan als de hoogte
van de vloeistofspiegel h cm is.
Er geldt:
In deze opgave gaan we ervan uit dat de hete koffie vanaf het begin met
constante snelheid de koffiekan in stroomt. Na precies 8 minuten staat de
vloeistofspiegel op 9,2 cm hoogte. Hieruit kun je afleiden dat er 2,5 cm3 koffie
per seconde in de koffiekan stroomt.
73pToon dit met een berekening aan.
83pBereken na hoeveel seconden de vloeistofspiegel in de koffiekan op 3,0 cm
hoogte staat. Rond je antwoord af op een geheel getal.
In één kopje gaat 120 ml (120 cm3) koffie. Op de koffiekan staan streepjes die
horen bij het vloeistofniveau voor 2, 3, 4,..., 10 kopjes.
In de figuur op de uitwerkbijlage zijn deze streepjes voor 2 en 10 kopjes al
aangegeven. De schaal van deze figuur is 1: 2.
94puitwerkbijlageTeken in de figuur op de uitwerkbijlage het streepje dat hoort bij 6 kopjes.
Licht je werkwijze toe.
Nadat er koffie is gezet, wordt het koffiezetapparaat uitgeschakeld. De koffie in
de kan koelt vervolgens af. Bij het uitschakelen heeft de koffie een temperatuur
van 80 °C. In tabel 1 is het temperatuurverloop van de koffie te zien. Je ziet dat
de tijd t is gemeten in minuten, waarbij t = 0 het moment van uitschakelen is. De
temperatuur T is gemeten in °C.
tabel 1
De temperatuur in de keuken waar het koffiezetapparaat staat, is 23 °C.
Een formule die het temperatuurverloop van de koffie redelijk benadert, is van
de vorm T = 23 + b ⋅ gt.
Je kunt de waarden van b en g berekenen door gebruik te maken van het eerste
en het laatste meetpunt. Met de gegevens van het eerste meetpunt, t = 0 en
T = 80, kun je de waarde van b berekenen. Daarna kun je met behulp van de
gegevens van het laatste meetpunt, t = 60 en T = 35, de waarde van g
berekenen.
106pBereken op algebraïsche wijze de waarden van b en g. Rond daarna de waarde
van g af op twee decimalen.
Een formule gebaseerd op alle meetgegevens uit de tabel is: T = 23 + 49 ⋅ 0,975t
met t in minuten en T in °C.
De snelheid (in °C per minuut) waarmee de koffie afkoelt op t = 5 is goed te
benaderen met een differentiequotiënt op het interval [5; 5,001].
113pBenader op deze manier de snelheid van afkoelen op t = 5 in °C per minuut.
Rond je antwoord af op twee decimalen.
opgave 4Eén tegen 100
Een bekend spel is ‘Eén tegen 100’. Hierin
moet één kandidaat het opnemen tegen 100
tegenspelers. In deze opgave wordt gewerkt
met een vereenvoudigde versie van het spel.
Bij dit spel worden er vragen gesteld waarbij
steeds drie mogelijke antwoorden worden
aangeboden. Eén daarvan is het goede
antwoord. Als de kandidaat dit goede antwoord kiest, gaat hij door naar de
volgende vraag. De tegenspelers die het goede antwoord hebben gegeven,
gaan ook door naar de volgende vraag. De rest valt af.
Als de kandidaat een fout antwoord geeft, is het spel afgelopen.
De eerste vraag is voor de kandidaat geen probleem. Van de 100 tegenspelers
weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk
willekeurig één van de drie mogelijke antwoorden.
124pBereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag nog meer dan
65 tegenspelers over zijn.
Voordat de tweede vraag gesteld wordt, zijn er nog 70 tegenspelers over. Ook
bij de tweede vraag weet de kandidaat weer het goede antwoord. Bij een deel
van de tegenspelers is dit ook het geval. De rest kiest weer willekeurig één van
de drie mogelijke antwoorden. Na vraag 2 blijken er nog 54 tegenspelers over te
zijn.
134pBereken hoeveel van de 70 tegenspelers bij vraag 2 naar verwachting hebben
gegokt.
Bij dit spel kan de kandidaat bij elke vraag geld verdienen. Na elk goed
antwoord verdient hij een bedrag. Dit bedrag kan worden berekend met de
volgende formule:
Hierin is B het verdiende bedrag in euro’s, a het aantal afvallers bij de vraag en t
het totale aantal tegenspelers bij de vraag.
Na vraag 1 waren er nog 70 tegenspelers over. Na vraag 2 waren er nog 54
tegenspelers over. De kandidaat weet het goede antwoord op vraag 3. De
kandidaat hoopt dat hij na vraag 3 al meer dan € 100 000 heeft verdiend.
146pBereken hoeveel tegenspelers er bij vraag 3 minimaal moeten afvallen om dit te
bereiken.
Op een gegeven moment is er nog één tegenspeler over. De vragen die nu
gesteld worden, zijn zo moeilijk dat zowel de kandidaat als zijn tegenspeler
moeten gokken.
154pBereken de kans dat het spel nu na precies twee vragen is afgelopen met de
kandidaat als winnaar.
Je kunt je afvragen waar een goede kandidaat meer aan heeft: slimme of
domme tegenspelers. Wanneer alle tegenspelers de eerste vraag fout
beantwoorden, heeft de kandidaat gewonnen maar is het spel ook afgelopen. De
kandidaat heeft dan € 100 000 verdiend. Als alle tegenspelers het antwoord
goed hebben, verdient de kandidaat helemaal niks. Beter is het als een gedeelte
van de tegenspelers doorgaat naar de volgende vraag.
Neem aan dat het spel na de tweede vraag is afgelopen en de kandidaat heeft
gewonnen.
163pBereken hoeveel geld de kandidaat maximaal kan hebben verdiend in deze
situatie.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
