bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2015, tijdvak 2

opgave 1Veilig vliegen

De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid foot (met meervoud feet). Een foot is iets meer dan 30 cm. Om de snelheid van straaljagers aan te geven,…

De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid foot (met meervoud feet). Een foot is iets meer dan 30 cm. Om de snelheid van straaljagers aan te geven, gebruikt men de term Mach . Mach 1 is gelijk aan de geluidssnelheid (dit is ongeveer 1224 km/uur). Mach 2 is tweemaal de geluidssnelheid, enzovoorts. In de figuur zijn alle combinaties van hoogte en snelheid waarmee een F-15-straaljager veilig kan vliegen, grijs weergegeven. Een F-15-piloot zal er tijdens een vlucht voor moeten zorgen dat de combinatie hoogte en snelheid binnen dit veilige gebied valt. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat een F-15-straaljager op een hoogte van 10 000 feet veilig vliegt bij een snelheid tussen Mach 0,15 en Mach 1,29.

Een F-15 stijgt op vanaf een hoogte van 0 feet met een snelheid van Mach 0,4. Tijdens elke 5000 feet stijging voert de piloot de snelheid met Mach 0,3 op. Tijdens deze vlucht neemt de hoogte lineair toe met de snelheid.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage tot welke maximale hoogte en bijbehorende snelheid de F-15 op deze manier veilig blijft vliegen. Geef de snelheid in Mach in één decimaal nauwkeurig en de hoogte in duizenden feet nauwkeurig. De formule die hoort bij de gekromde linker rand van…

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage tot welke maximale hoogte en bijbehorende snelheid de F-15 op deze manier veilig blijft vliegen. Geef de snelheid in Mach in één decimaal nauwkeurig en de hoogte in duizenden feet nauwkeurig. De formule die hoort bij de gekromde linker rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is: h = 60,2 ⋅ log(10 v ) De formule die hoort bij de gekromde rechter rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is: In beide formules is h de hoogte in duizenden feet en v de snelheid in Mach. Een andere F-15 vliegt op een hoogte van 30 000 feet.

Bereken de minimale veilige snelheid in Mach van deze F-15. Rond je antwoord af op één decimaal. In de formule uitgedrukt in v .
Herleid deze uitgedrukt wordt in h .

opgave 2Functies met een wortel

De functie f wordt gegeven door f ( x ) = ( x − x ) 2 . In figuur 1 zijn de grafiek van f en de lijn y = x getekend. figuur 1 De grafiek van f en de lijn y = x hebben behalve de oorsprong het punt A gemeenschappelijk.
Bereken exact de x -coördinaat van punt A . Er geldt: f ' ( x ) = 2 x − 3 x + 1
Toon dit op algebraïsche wijze aan. In een punt B van de grafiek van f met positieve x -coördinaat is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig aan de lijn y = x .
Stel een vergelijking van deze raaklijn op. Rond indien nodig in je antwoord af op 4 decimalen.
De formule die hoort bij de grafiek van Deze formule kun je ook schrijven als Voor elke waarde van p kan bij de formule y = ( x − p x ) 2 de bijbehorende grafiek getekend worden. In figuur 2 zijn voor een aantal waarden van p met p > 0 de bijbehorende grafieken getekend. figuur 2 Er zijn twee…

De formule die hoort bij de grafiek van Deze formule kun je ook schrijven als Voor elke waarde van p kan bij de formule y = ( x − p x ) 2 de bijbehorende grafiek getekend worden. In figuur 2 zijn voor een aantal waarden van p met p > 0 de bijbehorende grafieken getekend. figuur 2 Er zijn twee waarden van p waarvoor de grafiek van y = ( x − p x ) 2 door het punt (36, 36) gaat.

Bereken exact deze waarden van p .

opgave 3Vierkanten

In de figuur staan vier vierkanten die telkens in een hoekpunt met elkaar
verbonden zijn.
Elk vierkant heeft een rangnummer n. In de figuur zijn de vierkanten met
de rangnummers 1 tot en met 4 getekend.
figuur
nnn === 333 nnn === 222 nnn === 444 n = 1
De lengte van de zijde van een vierkant is telkens gelijk aan de lengte van
de diagonaal van het voorgaande vierkant.
De lengte van de zijde van een vierkant met rangnummer n stellen we
gelijk aan z(n).
Voor het vierkant met rangnummer n = 1 geldt z(1) = 1.
Voor het vierkant met rangnummer n = 3 geldt z(3) = 2.
De lengte van de zijde van een opvolgend vierkant wordt telkens vergroot
met een factor k.
83p
Bereken de exacte waarde van k.
De figuur kan verder worden uitgebreid met het vierkant met rangnummer
n = 5. Ook het vierkant met rangnummer n = 0 kan getekend worden.
94puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de vierkanten met rangnummers
n = 0 en n = 5.
Voor de oppervlakte A van een vierkant met rangnummer n geldt de
formule:
A(n) = (1)/(2) ⋅ 2^n
Voor een bepaald vierkant is de oppervlakte gelijk aan 131 072.
103p
Bereken exact het bijbehorende rangnummer n.
Er kan een formule voor z(n) opgesteld worden waarmee je direct de
lengte van een zijde kunt berekenen. Deze formule is van de vorm
z(n) = 2a⋅n+b.
114p
Bereken de waarden van a en b.

opgave 4Balk!?

Gegeven is de balk ABCD.EFGH met ribben AB = 3, BC = 4 en CG = 5.
Zie figuur 1.
Het punt L ligt op ribbe CD zodanig dat CL = 2,5. Het punt M is het
midden van BC. Het punt N ligt op ribbe CG zodanig dat CN = 2.
Van de balk wordt de piramide C.LMN afgehaald, waardoor het lichaam K
ontstaat. Zie figuur 2.
figuur 1
H G F 5 D C 4 3 B
H G E F N D L M A B
124p
Bereken de oppervlakte van driehoek LMN. Geef je antwoord afgerond op
één decimaal.
Op de uitwerkbijlage is lichaam K vergroot weergegeven.
Het vlak V is evenwijdig aan het vlak LMN en gaat door het punt G.
134puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de doorsnede van vlak V met
lichaam K. Licht je werkwijze toe.

opgave 5Een functie met sinus en cosinus

De functie f is gegeven door f(x) = x ⋅ sin(x) + cos(x).
De afgeleide functie van f wordt gegeven door f'(x) = x ⋅ cos(x).
143p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De punten A en B zijn de twee toppen van de grafiek van f met een
positieve y-coördinaat die een x-coördinaat tussen 2π en 5π hebben.
De lijn l is de lijn door A en B. Zie onderstaande figuur.
figuur
l B A O 2π x f
156p
Stel met behulp van exacte berekeningen een vergelijking van l op.

opgave 6Boeien

Voor bolvormige boeien die in het water drijven, is het volume van het
deel van de boei boven het wateroppervlak te berekenen met behulp van
de volgende formule:
V = (1)/(3)π ⋅ h^2 ⋅ (3r − h)
Hierin is V het volume in cm3 van het deel van de boei dat boven het
wateroppervlak uitsteekt, r is de straal van de boei in cm en h is de
hoogte in cm van het deel van de boei boven het wateroppervlak.
foto 1
165p
foto 1
Een bolvormige boei met een straal van 60 cm drijft in
het water. Zie foto 1. Van deze boei bevindt 65% van
het volume zich boven het wateroppervlak.
Bereken de hoogte van het deel van de boei boven het
wateroppervlak. Rond je antwoord af op een geheel
aantal cm.
foto 2
De boei in foto 2 heeft de vorm van een afgeknotte
kegel bovenop een cilinder. Hierbij worden de paal
bovenop en de ‘oortjes’ aan de zijkant buiten
beschouwing gelaten.
In onderstaande figuur is een zijaanzicht van de
afgeknotte kegel getekend. Ook zijn in de figuur met
stippellijnen de bovenkant en de loodlijn uit de top van
de denkbeeldige, niet afgeknotte kegel getekend.
Alle afmetingen zijn in cm.
foto 2
figuur
173p
15 90
De hoogte van de afgeknotte kegel is 90 cm. De straal
van het grondvlak is 60 cm en de straal van het
bovenvlak is 15 cm.
Hieruit volgt dat de hoogte h van de denkbeeldige, niet h
afgeknotte kegel 120 cm is.
Toon dit laatste met behulp van een berekening aan.
De hoogte van het deel van de cilinder boven water is 35 cm. De straal
van de cilinder is gelijk aan de straal van het grondvlak van de afgeknotte
kegel. Ook van de boei op foto 2 bevindt 65% van het totale volume van
de boei zich boven het wateroppervlak.
185p
Bereken het volume van de hele boei op foto 2. Geef je antwoord in
honderdduizenden cm3 nauwkeurig.

opgave 7Van een rechte naar een scheve cilinder

In deze opgave bekijken we een cilinder waarvan de hoogte 50 is en de
diameter van het grondvlak 10. In figuur 1 is een zijaanzicht van deze
rechte cilinder weergegeven.
De cilinder wordt scheef doorgesneden en vervolgens worden de twee
losse delen zo aan elkaar vastgemaakt dat het cirkelvormige grondvlak en
bovenvlak van de rechte cilinder tegen elkaar liggen. Uiteindelijk ontstaat
een scheve cilinder. In de figuren 2 tot met 6 wordt dit proces in het
zijaanzicht weergegeven.
figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4 figuur 5
figuur 6
10
α 50 d 10
d α d α
d α
10 h 50 α α d
De hoek die het snijvlak bij het scheef doorsnijden van de cilinder maakt met
de lengterichting noemen we α en de lengte van de doorsnede in het
zijaanzicht noemen we d. De hoogte van de scheve cilinder in de stand van
figuur 6 noemen we h. In de figuren 2 tot en met 5 zijn α en d aangegeven.
In figuur 6 zijn α, d en h aangegeven.
Bij een bepaalde waarde van α is de hoogte h van de scheve cilinder 90%
van de hoogte van de oorspronkelijke, rechte cilinder.
193p
Bereken deze waarde van α. Geef je antwoord in hele graden nauwkeurig.
Voor de inhoud V1 van de rechte cilinder geldt V1 = 50 ⋅ G1, waarbij G1 de
oppervlakte van het grondvlak van de rechte cilinder is. Voor de inhoud V2
van de scheve cilinder geldt V2 = h ⋅ G2, waarbij G2 de oppervlakte van het
grondvlak van de scheve cilinder is.
De inhoud van beide cilinders is gelijk, dus V1 = V2.
Er geldt: G_2 = (G1)/(sin(α))
204p
Toon dit laatste op algebraïsche wijze aan.