bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2017, tijdvak 1

opgave 1Cirkel en lijn

De cirkel c en de lijn l worden gegeven door c:x2 + y2 = 9 en
l: y = − (4)/(3)x + 5. Zie figuur 1.
figuur 1
y l c x O
14p

Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2pexact

Toon aan dat l raakt aan c.
Cirkel c snijdt de negatieve y-as in het punt A. Lijn l snijdt de x-as in het
punt B. De lijn k is de lijn door A en B. Zie figuur 2.
figuur 2
y l c B O x k A
Lijnen k en l lijken elkaar loodrecht te snijden.

opgave 2Experimenteren met bacteriën

Wanneer men bij een experiment bepaalde bacteriën in een reageerbuis
plaatst en voldoende voeding toedient, neemt het aantal bacteriën in de
reageerbuis exponentieel toe.
Van zo’n experiment is in figuur 1 log (N) uitgezet tegen t. Hierin is N het
aantal bacteriën in de reageerbuis en t de tijd in uren.
figuur 1
777 log(N) 666 555 444 333 222 111 O 11 22 33 44 55 66 77 88 t (uren)
In figuur 1 is af te lezen dat aan het begin van het experiment geldt dat
log (N) = 1 en dat na 8 uur geldt dat log (N) = 7.
Uit het verband in figuur 1 volgt dat het aantal bacteriën in de reageerbuis
tijdens het experiment met ongeveer 3% per minuut toeneemt.
34p

Exponentiële functies en groei 4pGR mag

Bereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.
43p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken in hoeveel minuten het aantal bacteriën in de reageerbuis
verdubbelt. Rond je eindantwoord af op hele minuten.
Om het aantal bacteriën in een reageerbuis te bepalen meet men het
percentage doorgelaten licht. Er bestaat een verband tussen het
percentage licht dat door een reageerbuis met bacteriën wordt
doorgelaten en de zogeheten optische dichtheid. Dit verband wordt
gegeven door de formule:
L = 100 ⋅10−D
Hierin is L het percentage doorgelaten licht en D de optische dichtheid.
Verder heeft men op basis van eerdere experimenten het verband tussen
de optische dichtheid D en het aantal bacteriën in de reageerbuis N
gevonden. Dit verband is weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
000,,,111555 D 000,,,111000 000,,,000555 000 ... ... ... 00 111,,,000111000777 222,,,000111000777 333,,,000111000777 N
Tijdens een experiment laat een reageerbuis met bacteriën 84% van het
licht door.
54puitwerkbijlage

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bepaal het aantal bacteriën in de reageerbuis. Geef je antwoord in
miljoenen nauwkeurig en licht je antwoord toe. Maak daarbij gebruik van
de figuur op de uitwerkbijlage.

opgave 4Speerwerpen

Een bekend onderdeel van de atletiek is het speerwerpen.
De baan van een speer is een deel van een parabool. In deze opgave
verwaarlozen we de luchtweerstand, de lengte van de speer en de hoogte
waarop de speer wordt losgelaten.
De baan van de speer kan worden beschreven met de volgende formules:
h = 0,707 ⋅ b ⋅ t − 4,91⋅ t2
(1)
d = 0,707 ⋅ b ⋅ t
(2)
Hierbij is:
− t de tijd die de speer in de lucht is in seconden;
− b de beginsnelheid waarmee de speer geworpen wordt in m/s;
− h de hoogte van de speer in m op tijdstip t;
− d de horizontaal afgelegde afstand van de speer in m op tijdstip t.
Door in formule (1) h gelijk te stellen aan 0, is uit te rekenen na hoeveel
seconden de speer op de grond komt. Hiermee is vervolgens met behulp
van formule (2) de totaal horizontaal afgelegde afstand van de speer uit te
rekenen.
Een speerwerper gooit een speer met een beginsnelheid van 25 m/s.
74p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken hoe ver de speer volgens de formules gegooid wordt. Geef je
antwoord in hele meters nauwkeurig.
Uit formule (2) volgt:
t = (d)/(0,707 ⋅ b)
(3)
Door formule (3) te substitueren in formule (1) kan worden aangetoond
dat (bij benadering) geldt:
h = d − (9,8)/(b2) ⋅ d^2
(4)
84p

Formules herleiden en omwerken 4pexact

Toon dit laatste op algebraïsche wijze aan.
Volgens de formules werd de speer bij het vestigen van het wereldrecord
voor mannen in 1996 met een snelheid van 31,1 m/s geworpen.
94p

Rekenen met een gegeven formule 1p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Extremen en optimaliseren 1pexact

Bereken algebraïsch de maximale hoogte die de speer volgens de
formules bereikt zou hebben tijdens dit wereldrecord. Geef je antwoord in
hele meters nauwkeurig.
Een atleet gooit de speer vanaf de afwerpboog. Dit is een deel van de
cirkel met het zogeheten 8m-punt als middelpunt en een straal van
8 meter. De speer moet landen in het gebied binnen twee lijnen die een
hoek van 28,65° met elkaar maken. Deze twee lijnen snijden elkaar in het
8m-punt.
De gemeten afstand wordt als volgt gemeten:
− trek een rechte lijn vanaf de plek waar de speer landt tot het 8m-punt;
− de lengte van het deel van deze lijn van de plek waar de speer landt
tot de afwerpboog, is de gemeten afstand.
Door deze manier van meten kan het voorkomen dat er een verschil is
tussen de werkelijk geworpen afstand en de gemeten afstand.
In de figuur staat hiervan een bovenaanzicht.
figuur
gemeten afstand werkelijk geworpen afstand 8 8m-punt 28,65° afwerpboog
De winnaar van het speerwerpen bij de mannen op de Olympische Spelen
van 2012 won met een gemeten afstand van 84,58 meter. Als hij zou
hebben geworpen volgens de situatie in de figuur, dan zou zijn werkelijk
geworpen afstand groter zijn geweest.
104p

Sinusregel en cosinusregel 4pGR mag

Bereken in hele centimeters nauwkeurig het verschil tussen de gemeten
afstand en de werkelijk geworpen afstand in deze situatie.

opgave 5Gebroken functies

De functie is gegeven door . De grafiek van heeft een
snijpunt A met de y-as. De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in A.
Zie figuur 1.
figuur 1
y l A O x f
Een vergelijking van l is y = − (2)/(9)x + (1)/(3).
114p

Kettingregel 2p · Raaklijnen aan grafieken 2pexact

Toon dit op algebraïsche wijze aan.
126p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 4p · Afstanden met coördinaten 2pexact

Bereken exact de afstand van l tot de oorsprong.
De functie g is gegeven door g(x) = (1)/(2sin(x) + 3).
De lijn m is gegeven door y = (1)/(4).
Op het interval [ − 2π,2π] snijdt m de grafiek van g achtereenvolgens in de
punten B, C, D en E. Zie figuur 2.
figuur 2
y g B C D E m O x

opgave 6Kookpunt van water

Het kookpunt van water is de temperatuur waarbij water gaat koken.
Het kookpunt T is afhankelijk van de luchtdruk p met p in bar en T in °C.
In de figuur is het verband tussen log (p) en T weergegeven.
figuur
1 log(p) 0 --1 --2 --3 0 20 40 60 80 100 120 T (°C)
Onder normale omstandigheden is de luchtdruk op zeeniveau 1,0 bar en
is het kookpunt van water bij deze luchtdruk 100 °C.
Op de top van Mount Everest is de luchtdruk 0,31 bar. Hierdoor is
het kookpunt van water op de top van Mount Everest een stuk lager dan
op zeeniveau.
143puitwerkbijlage

Rekenen met een gegeven formule 3pGR mag

Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage bij welke
temperatuur water op de top van Mount Everest gaat koken. Geef je
antwoord in hele °C nauwkeurig.
Het verband dat in de figuur is weergegeven, kan benaderd worden met
de formule:
log (p) = 5,68 − (2120)/(273 + T)
Hierin is p de luchtdruk in bar en T het kookpunt van water in °C.
Op zeeniveau, bij een luchtdruk van 1,0 bar, kookt rijst in water bij een
temperatuur van 100 °C. Als de rijst in een hogedrukpan wordt bereid
onder dezelfde omstandigheden, maar bij een temperatuur van 130 °C, is
de rijst sneller gaar als gevolg van de hogere druk.
153p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken de druk in bar in een √(ogedruk)hpan als de rijst aan het koken is.
Geef je antwoord in bar in één decimaal nauwkeurig.
In de gegeven formule is log (p) uitgedrukt in T.
163p

Formules herleiden en omwerken 3pexact

Druk T uit in p.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Derdemachtswortel

De functie f is gegeven door f(x) = √(9x − 27)^3.
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A en de x-as in het punt B.
De lijn k gaat door A en B. Zie figuur 1.
figuur 1
y k f O B x A
De richtingscoëfficiënt van k is 1.
174p

Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · +1exact

Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De lijnen l en m zijn de twee raaklijnen aan de grafiek van f die
evenwijdig zijn aan lijn k. l raakt de grafiek van f in het punt P en m raakt
de grafiek van f in het punt Q. Zie figuur 2.
figuur 2
y m k l f Q O B x P A
186p

Kettingregel 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Raaklijnen aan grafieken 1pGR mag

Bereken met behulp van differentiëren de x-coördinaten van P en Q. Rond
je antwoorden af op twee decimalen.