opgave 1Afstand tussen twee raaklijnen
De functie
f is gegeven door
. De grafiek van
f snijdt
de x-as achtereenvolgens in M, de oorsprong O(0,0) en N. Zie figuur 1.
figuur 1
opgave 2Over een cirkel gespannen
De cirkel c met middelpunt M(0,5) is gegeven door x2 + (y − 5)2 = 25.
De punten C(−4,8) en D(4,8) liggen op de cirkel. De lijn k is de raaklijn
aan c in punt C en de lijn l is de raaklijn aan c in punt D. Punt A is het
snijpunt van k met de x-as en punt B is het snijpunt van l met de x-as.
Zie figuur 1.
figuur 1
De coördinaten van punt B zijn (10,0).
opgave 3Zonnepanelen
De prijs van elektrische energie – gewoonlijk tabel
64pExponentiële functies en groei 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact
elektriciteit genoemd – stijgt niet elk jaar
met hetzelfde percentage.
In de tabel staan de groeipercentages ten
opzichte van het voorafgaande jaar voor de
periode van 1997 tot en met 2006.
Uit de gegevens in de tabel volgt dat de prijs
van elektriciteit in 10 jaar tijd ongeveer is
verdubbeld.
Toon dit aan.
Een verdubbeling in 10 jaar kan ook bereikt
worden door de prijs van elektriciteit jaarlijks
met een vast percentage te laten stijgen.
Bereken op algebraïsche wijze dit
percentage. Rond je eindantwoord af op één
decimaal.
Met zonnepanelen kan worden bespaard op
de elektriciteitskosten.
Hoeveel er met zonnepanelen kan worden
bespaard, hangt in deze opgave alleen af
van de prijsstijging van elektriciteit en van
de elektriciteitsopbrengst van de zonnepanelen.
Zonder rekening te houden met de kosten van aankoop en installatie kan
de totale besparing vanaf het moment van installatie worden berekend
met behulp van de volgende formule:
Hierin is B de totale besparing in euro’s, V de elektriciteitsopbrengst van
de zonnepanelen in kWh per jaar, P het percentage waarmee de
elektriciteitsprijs jaarlijks stijgt en t het aantal jaren na 2006.
In januari 2006 worden zonnepanelen geplaatst.
De kosten voor de aankoop en installatie hiervan zijn € 13 000,-.
De zonnepanelen leveren 2250 kWh per jaar.
We nemen aan dat de elektriciteitsprijs jaarlijks steeds met 7% stijgt.
Na een aantal jaren zal de totale besparing groter zijn dan de
aanschafprijs van de zonnepanelen.
73pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag
Bereken na welk geheel aantal jaren dit voor het eerst het geval is.
Een school heeft een grote hoeveelheid zonnepanelen op het dak staan.
In het jaar 2011 was de elektriciteitsopbrengst van deze zonnepanelen in
totaal 45 000 kWh, waarvan 520 kWh in de maand december.
In het toenamediagram in de figuur zijn de gegevens van het eerste
halfjaar van 2012 verwerkt.
figuur
333000000000 222555000000 )))hhhWWWkkk nnniii((( tttsssgggnnneeerrrbbbpppooossstttiiieeetttiiiccciiirrrtttkkkeeellleee eeemmmaaannneeeooottt 222000000000 111555000000 111000000000 555000000 jjjaaannn fffeeebbb mmmrrrttt aaappprrr mmmeeeiii jjjuuunnn jjjuuulll aaauuuggg ssseeeppp oookkkttt nnnooovvv dddeeeccc mmmaaaaaannnddd ------555000000 ------111000000000
Uiteindelijk bleek dat in het jaar 2012 5000 kWh minder elektriciteit werd
geproduceerd dan in 2011.
83pToenamediagrammen 3pGR mag
Bereken hoeveel elektriciteit er in het tweede halfjaar van 2012 is
geproduceerd. Geef je eindantwoord in honderden kWh nauwkeurig.
opgave 5Sinus en wortel
Op het domein [0,2] is de functie f gegeven door:
f(x) = 1 − 2sin(πx)
opgave 6Tegels stapelen
Door gelijke rechthoekige tegels ‘netjes’
op elkaar te stapelen kan een toren
gebouwd worden die naar één kant
overhelt. Zie de foto.
Het uitsteken van de gestapelde tegels
vanaf de onderste tegel wordt de
overhang genoemd. De overhang is
maximaal als de stapel tegels nog net in
evenwicht is, dus net niet omvalt.
De maximale overhang M bij een stapel van n tegels ontstaat als volgt:
− laat tegel 1 (de bovenste tegel) een halve tegellengte uitsteken ten
opzichte van tegel 2 (de eronder liggende tegel);
− laat tegel 2 een kwart uitsteken ten opzichte van tegel 3;
− laat tegel 3 een zesde uitsteken ten opzichte van tegel 4;
− enzovoort.
Algemeen geldt dan: tegel
t steekt
-deel van een tegellengte uit ten
opzichte van tegel t + 1. Zie de figuur.
figuur
Bij een bepaald aantal tegels is de maximale overhang meer dan één
tegellengte.
133pRekenen met een gegeven formule 3pGR mag
Bereken vanaf welk aantal tegels dit het geval is.
In de rest van deze opgave nemen we tegels van 30 cm lang en 15 cm
breed met een dikte van 3 cm. Deze tegels stapelen we weer ‘netjes’ op
elkaar, zoals op de foto en in de figuur.
Bij deze tegels kan de maximale overhang M benaderd worden met de
formule:
Hierin is M de maximale overhang in cm en is n het totaal aantal tegels in
de stapel, met n ≥ 2.
Wanneer er voldoende tegels beschikbaar zijn, kan in theorie de maximale
overhang zo groot worden gemaakt als gewenst.
Met de genoemde 3 cm dikke tegels wordt een overhang van 1 meter
gemaakt.
opgave 7Pluto
De dwergplaneet Pluto beweegt om de zon. De afstand van Pluto tot de
zon is niet altijd even groot.
De plaats waar Pluto zich het dichtst bij de zon bevindt wordt het
perihelium genoemd, de plaats waar Pluto zich het verst van de zon af
bevindt het aphelium. De baan van Pluto wordt in een assenstelsel
weergegeven met de zon in de oorsprong en het perihelium en het
aphelium op de x-as.
In figuur 1 is een mogelijke positie van Pluto (P) weergegeven.
figuur 1
Bij de bovenste helft van deze baan in het assenstelsel hoort (bij
benadering) de volgende formule:
Hierbij zijn x en y in astronomische eenheden AE (1 AE = 150 miljoen km).
Uit formule (1) volgt dat de afstand van Pluto tot de zon in het perihelium
30 AE is en in het aphelium 50 AE.
174pExtremen en optimaliseren 4pexact
Beredeneer op algebraïsche wijze met behulp van formule (2) dat de
minimale afstand van Pluto tot de zon gelijk is aan 30 AE en de maximale
afstand 50 AE.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 8Rakende cirkels
De cirkel c met middelpunt R is gegeven door (x + 4)2 + (y − 5)2 = 49 en de
cirkel d met middelpunt S is gegeven door (x − 14)2 + (y − 8)2 = 16.
Een derde cirkel e, met middelpunt T op de x-as, raakt aan beide cirkels.
Verder liggen c en d buiten e. Zie de figuur.
figuur
De x-coördinaat van T noemen we p, dus OT = p.
Er geldt: de afstand van
R tot
T is gelijk aan
.
.
.
