bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2018, tijdvak 1

opgave 1Macht van 2

De functie f is gegeven door f(x) = 4 − 20,3x−2.
Op de grafiek van f ligt een punt R. De y-coördinaat van R is 2.
13p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaat van R.
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt Q.
Verder zijn gegeven het punt P(0,5) en de lijn l door P en Q.
Lijn l en de grafiek van f snijden elkaar behalve in Q ook in het punt S.
Zie de figuur.
figuur
y P S f l Q x O
26p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 4p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2pGR mag

Bereken de coördinaten van S. Rond deze coördinaten af op twee
decimalen.
De grafiek van f wordt 20 naar links en 10 omhoog geschoven.
Hierdoor ontstaat de grafiek van een functie g.
De functie g kan geschreven worden in de vorm g(x) = a + b ⋅ 20,3x.
33p

Formules herleiden en omwerken 2p · Transformaties van grafieken 1pGR mag

Bereken de waarden van a en b.

opgave 2Afstand 5

De lijn l is gegeven door de vergelijking y = (3)/(4)x + (11)/(4). Verder is gegeven
het punt P(6,1).
De afstand tussen l en P is 5.
46p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 5p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bewijs dit.
De cirkel c met middelpunt M is gegeven door x2 + y2 − 28x − 32y = −308.
In de figuur zijn punt P en cirkel c met middelpunt M weergegeven.
figuur
y c M P O x
De afstand tussen c en P is ook 5.
De afstand tussen M en P is groter dan de afstand tussen M en de x-as.
54p

Afstanden met coördinaten 3p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1pexact

Bereken exact het verschil tussen deze twee afstanden.

opgave 3Hardlopen

Hardlopers die regelmatig een bepaalde afstand lopen, zijn vaak nieuwsgierig naar hun eindtijd op een andere afstand. De Amerikaanse onderzoeker Pete Riegel stelde in 1977 de volgende formule op: s 1 v 2 = v 1 ⋅ 0,06 s 2 Hiermee kan met behulp van de bekende gemiddelde snelheid v 1 op een bepaalde…

Hardlopers die regelmatig een bepaalde afstand lopen, zijn vaak nieuwsgierig naar hun eindtijd op een andere afstand. De Amerikaanse onderzoeker Pete Riegel stelde in 1977 de volgende formule op: s 1 v 2 = v 1 ⋅ 0,06 s 2 Hiermee kan met behulp van de bekende gemiddelde snelheid v 1 op een bepaalde afstand s 1 , de te verwachten gemiddelde snelheid v 2 op een andere afstand s 2 worden uitgerekend. Hardlopers gebruiken vaak de volgende vuistregel: als de afstand verdubbelt, dan neemt je gemiddelde snelheid met 6% af.

Evenredigheden en machtsverbanden 3pGR mag

Onderzoek of de bovenstaande formule aan deze vuistregel voldoet. In de onderstaande tabel staan de wereldrecords hardlopen op de weg bij de heren op een aantal afstanden zoals ze in het jaar 2015 waren. tabel       wereldrecordtijd in 2015 wedstrijd afstand (in meters) uren minuten seconden 10 km…

Onderzoek of de bovenstaande formule aan deze vuistregel voldoet. In de onderstaande tabel staan de wereldrecords hardlopen op de weg bij de heren op een aantal afstanden zoals ze in het jaar 2015 waren. tabel       wereldrecordtijd in 2015 wedstrijd afstand (in meters) uren minuten seconden 10 km 10 000   26 44 15 km 15 000   41 13 10 mijl 16 093   44 23 20 km 20 000   55 21 halve marathon 21 097   58 23 25 km 25 000 1 11 18 30 km 30 000 1 27 37 marathon 42 195 2 02 57 In de hardloopsport wordt vaak gekeken naar de tijd die een hardloper gemiddeld over een kilometer doet. Dit wordt het looptempo genoemd.

Rekenen met een gegeven formule 3pGR mag

Bereken het looptempo van het wereldrecord op de marathon in het jaar 2015. Geef je eindantwoord in hele minuten en seconden nauwkeurig.
In onderstaande figuur is de logaritme van de tijd t in uren tegen de logaritme van de afstand s in kilometers van de wereldrecords op de afstanden uit de tabel uitgezet. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn, die ook in de figuur is getekend. Deze figuur staat ook vergroot op de…

In onderstaande figuur is de logaritme van de tijd t in uren tegen de logaritme van de afstand s in kilometers van de wereldrecords op de afstanden uit de tabel uitgezet. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn, die ook in de figuur is getekend. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 0 -0,1 00 000,,,222 000,,,444 000,,,666 000,,,888 111,,,000 111,,,222 111,,,444 111,,,666 111,,,888 222,,,000 log log log ( ( ( s s s ) ) ) -0,2 -0,3 -0,4

opgave 5Horizonafstand

Als men vanaf bijvoorbeeld een hoog gebouw of een berg vrij zicht heeft
tot aan de horizon, is de horizon verder weg dan wanneer er vanaf de
grond naar de horizon gekeken wordt.
Het kijken naar de horizon gebeurt
figuur 1
vanuit het oog O in een rechte lijn naar
a h P aarde
een punt P op de horizon.
De hoogte waarop het oog zich bevindt
noemen we de kijkhoogte.
De afstand OP tot aan de horizon
noemen we de horizonafstand.
De horizonafstand a in meters hangt af
van de kijkhoogte h in meters boven de
grond. Zie figuur 1.
Hoe groter de kijkhoogte, hoe groter de horizonafstand.
De horizonafstand a is bij benadering evenredig met √(h).
In figuur 2 is dit evenredige verband tussen a en √(h) door middel van een
rechte lijn weergegeven. Bovendien zijn van een aantal punten op deze
lijn de coördinaten gegeven.
figuur 2
60 000 (((111555,,,777555;;; 555888 999000777))) 50 000 (((111222,,,444555;;; 444666 555777000))) 40 000 30 000 (((777,,,888888;;; 222999 444555444))) 20 000 (((555,,,555777;;; 222000 888222777))) 10 000…
Figuur 2 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
103puitwerkbijlage

Rekenen met een gegeven formule 3pGR mag

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage welke kijkhoogte
hoort bij een horizonafstand van 40 km. Geef je eindantwoord in hele
meters nauwkeurig.
Bij benadering geldt:
a = 3741√(h)
Hierin is a weer de horizonafstand in m en h weer de kijkhoogte in m.
De horizonafstand kan ook in kilometers uitgedrukt worden. Het verband
tussen de horizonafstand k in kilometers en h kan worden beschreven met
een formule van de vorm k = √(c ⋅ h).
113p

Formules herleiden en omwerken 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Bereken algebraïsch de waarde van c. Geef je eindantwoord in helen
nauwkeurig.
Het licht van de Lange Jaap, een vuurtoren bij Den Helder, reikt 30
zeemijl ver. Een zeemijl is 1852 m.
De lamp van de Lange Jaap bevindt zich op een hoogte van 57 m. Vanaf
een kijkhoogte van 2 m is het licht van de Lange Jaap op een afstand van
30 zeemijl niet (rechtstreeks) te zien, omdat de vuurtoren zich dan achter
de horizon bevindt.
De maximale afstand d waarop het licht van een vuurtoren een
waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken is afhankelijk van de hoogte H
waarop de lamp van een vuurtoren zich bevindt, en van de kijkhoogte h
van de waarnemer. Zie figuur 3.
figuur 3
h waarnemer d aarde H vuurtoren
Bij benadering geldt:
^d^ =^3^,^7^4^ ⋅ (√(H)^ + √(h))
Hierin is d de maximale afstand in km waarop het licht van een vuurtoren
een waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken, H de hoogte van het licht van
de vuurtoren in m en h nog steeds de kijkhoogte in m.
Wanneer het licht van de Lange Jaap op een afstand van 30 zeemijl vanaf
een kijkhoogte van 2 m wel (rechtstreeks) zichtbaar zou zijn, zou de lamp
zich een stuk hoger moeten bevinden.
125p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken hoeveel keer zo hoog de lamp zich dan minstens zou moeten
bevinden. Geef je eindantwoord in één decimaal nauwkeurig.

opgave 6Raaklijnen door de oorsprong

De functie f is gegeven door f(x) = (1)/(2x − 3) − x − 1.
De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(1, − 3). Zie figuur 1.
figuur 1
y k f O x A
Lijn k gaat door de oorsprong.
135p

Raaklijnen aan grafieken 3p · Kettingregel 2pexact

Bewijs dit met behulp van differentiëren.
De lijn l met vergelijking y = − (11)/(9)x raakt de rechtertak van de grafiek van f
in het punt B. Zie figuur 2.
figuur 2
y f l O x B
Lijn l snijdt de linkertak van de grafiek van f niet.

opgave 7Hoogwerker

Met behulp van een hoogwerker kan een
foto
monteur bepaalde werkzaamheden op hoogte
uitvoeren. Zie de foto.
Hierbij staat de monteur in een bak, die is
bevestigd aan twee scharnierende draagarmen.
De twee draagarmen draaien ten opzichte van
elkaar en ten opzichte van het wagentje waaraan
de onderste draagarm bevestigd is.
In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd
2-dimensionaal model van de situatie.
foto
Zie figuur 1, waarin dit is weergegeven.
figuur 1
300 cm C B 50º 250 cm A
Punt A is het scharnierpunt op het wagentje, punt B het scharnierpunt van
de twee draagarmen en punt C het einde van de bovenste draagarm
waaraan de bak bevestigd is.
− De lengte van draagarm AB is 250 cm.
− De lengte van draagarm BC is 300 cm.
In de situatie zoals weergegeven in figuur 1 geldt dat BC horizontaal is.
Hoek ABC is dan 50 graden.
In figuur 2 is ook het punt D weergegeven. D is de loodrechte projectie
van A op de verticale lijn door C. Deze verticale lijn is in figuur 2
gestippeld weergegeven. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
300 cm C B 50º 250 cm D A
De afstand AD is ongeveer 139 cm.
153puitwerkbijlage

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Tekenen en construeren in een figuur 1pGR mag

Toon dit aan. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
Wanneer de monteur de bak recht omhoog verplaatst, zal hoek ABC
toenemen. Zie figuur 3. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 3
C 300 cm B 222999222 cccmmm 222555000 cccmmm D 111333999 cccmmm A
De monteur verplaatst de bak recht omhoog tot CD = 292 cm.
164puitwerkbijlage

Sinusregel en cosinusregel 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1pGR mag

Bereken in dit geval de toename van hoek ABC in hele graden
nauwkeurig. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8(Co)sinus

Op het domein [0,2] is de functie f gegeven door:
^f^(^x^)^ =^2^ +^3^s^i^n(^π(^x^ + (1)/(4)))
Verder is de lijn l gegeven door de vergelijking y = (7)/(2). Zie figuur 1.
figuur 1
y l f O 2 x
Op het gegeven domein snijden l en de grafiek van f elkaar in twee
punten.
174p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 4pexact

Bereken exact de x-coördinaten van deze punten.
Een functie g heeft een functievoorschrift van de vorm:
g(x) = p + q ⋅ cos(r(x − s))
Er geldt:
− De periode van g is 4.
− Het hoogste punt van de grafiek van g valt samen met het hoogste
punt van de grafiek van f.
− De amplitude van de grafiek van g is twee keer zo groot als de
amplitude van de grafiek van f.
Zie figuur 2.
figuur 2
f O 2 x g
185p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 5pexact

Bereken mogelijke exacte waarden van p, q, r en s.