opgave 1Gebroken functie en wortelfunctie
De functie f wordt gegeven door:
De grafiek van f gaat door de oorsprong O. Zie figuur 1.
figuur 1
14pKettingregel 3p · Helling en snelheid met de afgeleide 1pexact
Bereken exact de helling van de grafiek van f in O.
Het functievoorschrift van f is ook anders te schrijven, namelijk:
De functie
g wordt gegeven door
.
De grafieken van f en g hebben twee punten gemeenschappelijk, O en B.
Zie figuur 2.
figuur 2
opgave 3Oppervlakte onder een grafiek
De functie
f is gegeven door
.
De grafiek van f is een parabool.
62pKwadratische functies en parabolen 2pexact
Bewijs dat de top van de parabool op de x-as ligt.
De lijn m is de verticale lijn met vergelijking x = p, met p > 0.
We kijken naar het gebied dat aan de bovenkant wordt begrensd door de
grafiek van f, aan de onderkant door de x-as, aan de linkerkant door de
y-as en aan de rechterkant door lijn m.
In figuren 1 en 2 is dit gebied grijs gemaakt: in figuur 1 voor de
situatie p = 1, in figuur 2 voor de situatie p = 2.
De oppervlakte van dit grijze gebied noemen we A. De waarde van A
hangt dus af van de keuze van p. Een formule voor A is:
Zo is bijvoorbeeld
als
p = 2 en dus is de oppervlakte van het
grijze gebied in figuur 2 gelijk aan
.
Voor een bepaalde waarde van p is de oppervlakte van het grijze gebied
gelijk aan 42.
74pVergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact
Bereken exact deze waarde van p.
Zonder de voorgaande formule te gebruiken kun je toch een goede
benadering vinden van de oppervlakte. In de rest van de opgave doen we
dit voor het geval p = 1.
De benadering van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1 gaat
als volgt:
− De lijn
l is de raaklijn aan de grafiek van
f in het punt
.
− K is het snijpunt van lijn l met de y-as.
− M is het snijpunt van lijn l en lijn m.
− S is het punt met coördinaten (1,0).
− De oppervlakte van vierhoek OSMK is de benadering.
Zie figuur 3, waarin de oppervlakte van vierhoek OSMK grijs is gemaakt.
figuur 3
Een vergelijking van
l is
.
opgave 4Roeien
In sportscholen vind je apparaten waarmee je een roeibeweging
simuleert. Zo’n apparaat wordt een roei-ergometer genoemd.
Zie de foto.
foto
In figuur 1 zie je een serie zijaanzichten van de beweging van een roeier
op een roei-ergometer.
figuur 1
moment 1 moment 2 moment 3 moment 4 moment 5
Doordat het voetenbord vast zit, blijven de voeten vast op één punt.
Wanneer de roeier de benen strekt en weer buigt, beweegt het zitje
horizontaal van voor naar achter en weer terug. De roeibeweging begint
op moment 1, waarna de roeier zijn benen strekt (momenten 2 en 3).
Daarna worden de benen weer gebogen (momenten 4 en 5).
In figuur 2 zie je een model van een roeier op de momenten 1 en 3. Deze
figuur staat ook op de uitwerkbijlage. Het punt V is de voet, K is de knie
en H is de heup (die in dit model samenvalt met het zitje).
figuur 2
In dit model geldt:
− De lengte van het bovenbeen is 48 cm.
− De lengte van het onderbeen is 42 cm.
− Het hoogteverschil tussen heup en voet is 15 cm.
− Tussen de momenten 1 en 3 schuift het zitje 45 cm naar voren.
− De hoek tussen bovenbeen en onderbeen op moment 1 is 60°.
− A is het punt recht onder de heup, op dezelfde hoogte als de voet.
− Met
wordt de positie van
A op moment 1 bedoeld enzovoorts.
Op moment 1 is de afstand tussen de heup en de voet (H1V) ongeveer
45,3 cm. Deze afstand kan exact berekend worden.
102puitwerkbijlageSinusregel en cosinusregel 2pexact
Bereken exact de afstand in cm tussen de heup en de voet op moment 1.
Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.
Ga bij het volgende onderdeel uit van H1V = 45,3.
Op moment 3 is het been bijna gestrekt, dus hoek H3K3V is bijna 180°.
Om deze hoek te berekenen, is het handig om gebruik te maken van de
driehoeken
en
A3VH3.
opgave 6Een sinusoïde en nog een sinusoïde
De functie
f wordt gegeven door
.
Het punt A is het eerste snijpunt van de grafiek van f met de positieve
x-as. Het punt B is de derde top rechts van de y-as.
De lijn k gaat door A en B. In figuur 1 is de hoek α aangegeven die lijn k
met de x-as maakt.
figuur 1
126pSinusoïden: periode, amplitude en formule 4p · Hoek tussen lijnen 2pexact
Bereken algebraïsch hoe groot hoek α is. Geef je eindantwoord in gehele
graden.
In figuur 2 is de grafiek van f getekend en ook de lijn met vergelijking
. Deze lijn heeft oneindig veel snijpunten met de grafiek van
f. Het
eerste snijpunt rechts van de y-as is K, het vierde is L.
In figuur 2 is met een stippellijn nog een sinusoïde weergegeven.
Voor deze sinusoïde geldt:
− De eerste top rechts van de y-as valt samen met K.
− De derde top rechts van de y-as valt samen met L.
− De sinusoïde raakt de lijn met vergelijking y = −1.
figuur 2
De functie g die bij de gestippelde grafiek hoort, heeft een
functievoorschrift van de volgende vorm:
g(x) = a ⋅ cos(b(x − c)) + d
Hierin zijn a, b, c en d getallen.
opgave 7Driehoek met maximale oppervlakte
De functie
f wordt gegeven door
.
Het punt T is de top van de grafiek van f. Zie figuur 1.
figuur 1
144pVergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Extremen en optimaliseren 1pexact
Bereken exact de coördinaten van T.
Op het deel van de grafiek van f dat boven de x-as ligt, wordt een punt P
gekozen.
Het punt A ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als P.
In figuur 2 en figuur 3 is de situatie voor twee posities van P geschetst.
In figuur 3 is de oppervlakte van driehoek OAP groter dan in figuur 2.
Er is een positie van P op de grafiek van f zo dat de oppervlakte van
driehoek OAP maximaal is.
Deze positie van P kun je vinden door de oppervlakte van driehoek OAP
in x uit te drukken, waarbij x de lengte van zijde OA is.
opgave 8De invloed van leeftijd op hardloopprestaties
Gemiddeld leveren langeafstandslopers de beste prestaties op een leeftijd
van ongeveer 30 jaar. Daarna nemen de prestaties met de jaren af.
Er bestaan meerdere modellen om de prestaties van langeafstandslopers
van verschillende leeftijden met elkaar te vergelijken. In deze opgave
komen twee van zulke modellen aan bod.
Model 1
Dit model gaat ervan uit dat tussen 35 en 55 jaar de gemiddelde snelheid
van langeafstandslopers bij wedstrijden met 0,8% per levensjaar afneemt.
De halve marathon is een hardloopwedstrijd over een afstand van
21,0975 km. De Nederlandse hardloper Aart Stigter heeft meerdere keren
aan de halve marathon van Egmond deelgenomen.
In 1993 liep hij op 36-jarige leeftijd deze halve marathon met een
gemiddelde snelheid van 19,5 km per uur. Precies 12 jaar later, in 2005,
liep hij dezelfde halve marathon in een tijd van 1 uur, 10 minuten en
4 seconden.
Uitgaande van zijn gemiddelde snelheid in 1993 en een afname van die
gemiddelde snelheid met 0,8% per levensjaar, heeft Aart Stigter in 2005
sneller gelopen dan model 1 voorspelt.
165pRekenen met een gegeven formule 3p · Exponentiële functies en groei 2pGR mag
Bereken hoeveel seconden sneller. Geef je eindantwoord als geheel
getal.
Model 2
Dit model maakt gebruik van correctiegetallen voor de tijd.
De World Master Athletics-bond (WMA) heeft tabellen uitgegeven met
correctiegetallen om prestaties van hardlopers van verschillende leeftijden
met elkaar te kunnen vergelijken. Met deze correctiegetallen kun je de tijd
van elke hardloper omrekenen naar een tijd die hoort bij een 30-jarige met
een gelijkwaardige prestatie.
In de tabel zie je de correctiegetallen voor 36-jarigen tabel
en 49-jarigen op de halve marathon. Door de tijd van
een 36-jarige hardloper met 0,9920 te
vermenigvuldigen krijg je de tijd die hoort bij een
30-jarige hardloper met een gelijkwaardige prestatie.
Neem aan dat de correctiegetallen voor de leeftijden
tussen 36 en 49 jaar bij benadering exponentieel
afnemen met de leeftijd.
Bij de NK halve marathon 2019 was de 47-jarige Marcel Laros met een
tijd van 4279 seconden de snelste in de categorie 45-49 jaar. Bij diezelfde
halve marathon was de 36-jarige Wynfrith Meijwes de snelste in de
categorie 35-39 met een tijd van 4130 seconden.
176pExponentiële functies en groei 3p · Rekenen met een gegeven formule 3pexact
Onderzoek op algebraïsche wijze welke van deze twee hardlopers de
beste prestatie heeft geleverd volgens model 2.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
inderdaad een vergelijking van 
