bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2021, tijdvak 2

bij dit examen

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 1Rakende grafieken

De functie is gegeven door . De grafiek van snijdt de
x-as in punt A en de y-as in punt B. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
14p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de afstand tussen A en B.
De functie g is gegeven door g(x) = −2x2 + 3x + p. De grafieken van f en
g raken elkaar in het punt C. Zie figuur 2.
figuur 2
36p

Kettingregel 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · +1GR mag

De x-coördinaat van C noemen we xC
figuur 2
en er geldt: xC ≈ 0,81.
Bereken p. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
Dat de grafieken van f en g elkaar
raken in punt C betekent dat de helling
van beide grafieken in dat punt gelijk is.
De x-coördinaat van C is hierboven in
twee decimalen benaderd.
Bereken met behulp van differentiëren
de waarde van xC nauwkeuriger. Geef
je eindantwoord in drie decimalen.

opgave 2Stedelijke gebieden

De Amerikaan Bettencourt heeft onderzoek gedaan naar een mogelijk
verband tussen het aantal inwoners N en de lengte van het wegennet W
in mijlen in een stedelijk gebied. Om van een aantal stedelijke gebieden
de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is van elk
gebied log (W) uitgezet tegen log (N). Het resultaat is de puntenwolk in
de figuur.
figuur
figuur
Bettencourt heeft een verband tussen log (W) en log (N) opgesteld. In de
figuur is de lijn l getekend die dit verband weergeeft. Deze figuur staat
ook op de uitwerkbijlage.
43puitwerkbijlage

Rekenen met een gegeven formule 2p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1pGR mag

Bepaal met behulp van lijn l op de uitwerkbijlage de lengte van het
wegennet in een gebied met 1 miljoen inwoners. Geef je eindantwoord in
honderden mijlen.
Een formule voor l is van de vorm
log (W) = a ⋅ log (N) + b (1)
Uit de figuur volgt dat een gebied met 100 000 inwoners een wegennet
heeft van ongeveer 650 mijl en een gebied met 10 000 000 inwoners een
wegennet heeft van ongeveer 31 000 mijl.
54p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken a en b met behulp van deze gegevens. Geef de getallen in je
eindantwoord in twee decimalen.
In zijn onderzoek komt Bettencourt tot de formule:
W = 0,043 ⋅ N(5)/(6)
(2)
Voor de volgende vraag vergelijken we twee stedelijke gebieden met
elkaar: gebied A en gebied B. Voor gebied B geldt dat het twee keer
zoveel inwoners heeft als gebied A.
63p

Evenredigheden en machtsverbanden 3pGR mag

Bereken met behulp van formule (2) hoeveel procent de lengte van het
wegennet van gebied B groter is dan de lengte van het wegennet van
gebied A. Geef je eindantwoord in hele procenten.
De verhouding tussen N en W wordt verkeersdruk D genoemd.
Dus:
D = (N)/(W)
(3)
Hierin is D het aantal inwoners per mijl.
In de praktijk geldt: als in een stedelijk gebied het aantal inwoners
toeneemt, neemt de verkeersdruk ook toe (ondanks de toename van de
lengte van het wegennet).
Voor D moet dus gelden dat de grafiek van D als functie van N stijgend is.
In drie stappen kan dit worden onderzocht:
a Druk D met behulp van de formules (2) en (3) uit in N.
b Bepaal de afgeleide (dD)/(dN) van de bij stap a gevonden formule.
c Onderzoek of deze afgeleide voor alle waarden van N groter is dan 0.
74p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Formules herleiden en omwerken 1p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · +1GR mag

Onderzoek met dit stappenschema of de grafiek van D als functie van N
inderdaad stijgend is.

opgave 3Rechthoek om cirkels

Cirkel c1 met middelpunt M1 wordt gegeven door x^2 + (y − 3)^2 = 9.
Cirkel c2 met straal 2 en middelpunt M2 raakt c1.
De twee cirkels worden omsloten door een rechthoek ABCD zodanig dat:
− de hoekpunten A en B op de x-as liggen;
− de lengte van zijde AD gelijk is aan de diameter van c1;
− c1 de zijden AB, CD en AD raakt;
− c2 de zijden BC en CD raakt.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
figuur 1
85puitwerkbijlage

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Afstanden met coördinaten 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pexact

Bereken exact de coördinaten van M2. Je kunt hierbij gebruik maken van
de figuur op de uitwerkbijlage.
Verder is gegeven cirkel c3 met middelpunt M3. Deze cirkel raakt c2 en
de zijden AB en BC. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
In figuur 2 is ook de driehoek M2M3N aangegeven, waarbij punt N
dezelfde x-coördinaat heeft als M3 en dezelfde y-coördinaat als M2.
In driehoek M2M3N is α = M_2M_3N en is hoek N een rechte hoek.
Er geldt:
sin (α) = (2 − r)/(r + 2)
Hierin is r de straal van c3. Zie figuur 2.
93p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1pexact

Bewijs de juistheid van deze formule.

opgave 4Exoten en rodelijstsoorten

De bruine rat, de Japanse oester en de Amerikaanse vogelkers zijn
voorbeelden van dier- en plantensoorten die oorspronkelijk niet in
Nederland voorkwamen, maar die bewust of onbewust door de mens in
Nederland zijn ingevoerd. Zulke soorten worden exoten genoemd.
In figuur 1 is voor de periode 1910 – 2000 eens per tien jaar, telkens op
1 januari van het aangegeven jaar, het aantal exoten in Nederland
weergegeven. In deze figuur is ook een grafiek weergegeven die de
ontwikkeling van deze aantallen benadert.
figuur 1
figuur 1
Uit figuur 1 valt af te lezen dat het aantal exoten in Nederland in de
periode van 1 januari 1910 tot 1 januari 1950 van 22 tot 46 is
toegenomen.
Neem aan dat het aantal exoten sinds 1 januari 1910 exponentieel is
gegroeid. Dan volgt uit de gegevens voor de periode 1910 – 1950 dat dit
aantal elke tien jaar met ongeveer 20% is toegenomen.
104p

Exponentiële functies en groei 4pGR mag

Bereken met behulp van de gegevens van 1910 en 1950 dit percentage
nauwkeuriger. Geef je eindantwoord in één decimaal.
We gaan bij de volgende vraag uit van een toename van 20% per tien
jaar.
114p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken na hoeveel jaar het aantal exoten volgens de bovenstaande
exponentiële groei voor het eerst verdubbeld is. Geef je eindantwoord in
hele jaren.
Er bestaat een zogenaamde rode lijst van diersoorten in Nederland die
met uitsterven bedreigd worden. Daarom worden deze diersoorten ook
wel rodelijstsoorten genoemd.
In figuur 2 is de ontwikkeling van de rodelijstsoorten in de periode
1997 – 2012 te zien. Hierbij zijn de aantallen aangegeven als percentage
ten opzichte van het aantal in 1997.
In figuur 2 is ook een rechte lijn getekend die de ontwikkeling van het
aantal rodelijstsoorten benadert. Volgens deze benadering neemt het
aantal rodelijstsoorten vanaf 1997 lineair af.
Figuur 2 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
figuur 2
In 2004 was het werkelijke aantal rodelijstsoorten 694.
Met behulp van de lineaire afname volgens de getekende rechte lijn werd
in 2013 een voorspelling gedaan voor het aantal rodelijstsoorten in 2020.
Het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 bleek 551 te zijn. Dit
aantal is duidelijk hoger dan het aantal volgens de voorspelling.
125puitwerkbijlage

Rekenen met een gegeven formule 3p · Lineaire functies 2pGR mag

Bereken hoeveel het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020
verschilt met de voorspelling volgens de rechte lijn. Gebruik hiervoor de
figuur op de uitwerkbijlage.

opgave 5Drie snijpunten

Op het domein [0,3π] is de functie f gegeven door
f(x) = − 1 + 2sin(x − (2)/(3)π)
Op het gegeven domein is het punt P de eerste top rechts van de y-as
van de grafiek van f. Zie de figuur.
figuur
figuur
134p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 4pexact

Bereken exact de coördinaten van P.
De punten A, B en C zijn de drie snijpunten van de grafiek van f met de
x-as. Lijnstuk BC is a keer zo lang als lijnstuk AB.
145p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 4p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de waarde van a.

opgave 6Functie met log

De functie f is gegeven door f(x) =4 log (2)/(2x2 + 3x). De grafiek van f
snijdt de x-as in de punten A en B. De asymptoten van de grafiek
van f snijden de x-as in S en O. Zie de figuur.
figuur
figuur

opgave 7In de schijnwerper

foto
foto
Een lichtspot geeft een bundel licht. Zie de foto.
Voor de lichtbundel van een bepaalde lichtspot geldt dat in
figuur 1
een zijaanzicht de buitenste lichtstralen een hoek van 50° met
elkaar maken. Zie figuur 1.
Deze lichtspot hangt 300 cm boven een vloer. Als de
lichtbundel recht naar beneden wordt gericht, ontstaat op de
vloer een cirkelvormige lichtvlek. In figuur 2 is een zijaanzicht
figuur 1 Voor de lichtbundel van een bepaalde lichtspot geldt dat in
van deze situatie schematisch weergegeven. Hierin is S de lichtspot.
figuur 2
figuur 2
183p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken de oppervlakte van de cirkelvormige lichtvlek. Geef je
eindantwoord in gehele cm2.
De lichtspot kan gedraaid worden, zodat de lichtbundel ook op andere
delen van de vloer gericht kan worden. Hierbij blijft in een zijaanzicht de
hoek tussen de buitenste lichtstralen 50°. Het is mogelijk om de lichtspot
zo ver naar rechts te draaien dat er een 500 centimeter lange lichtvlek op
de vloer ontstaat. Een zijaanzicht van deze situatie is in figuur 3
schematisch weergegeven.
figuur 3
figuur 3
In figuur 3 is PQ de lengte van de lichtvlek. V is het punt op de vloer recht
onder S en α = VSP. Er geldt dus: PSQ = 50°.
SQV is uit te drukken in α. Met behulp van de sinusregel in
driehoek PSQ kan SP ook uitgedrukt worden in α.
Er geldt:
SP ≈ 653 ⋅ sin (40° − α) (1)
193p

Sinusregel en cosinusregel 2p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1pexact

Toon dit aan.
In driehoek VSP geldt:
SP = (300)/(cos(α))
(2)
Met behulp van formule (1) en formule (2) is hoek α te berekenen.
204p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken hoeveel graden de lichtspot vanuit de situatie in figuur 2 naar
rechts gedraaid moet worden om de situatie van figuur 3 te krijgen. Geef
je eindantwoord in gehele graden.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.