opgave 1Emissierechten
Om de uitstoot van kooldioxide (CO2) onder controle te krijgen verdeelt de
overheid elk jaar zogenoemde emissierechten onder bedrijven die CO2 uitstoten.
Eén emissierecht betekent dat een bedrijf het recht heeft om in een jaar één
ton CO2 uit te stoten.
Wanneer een bedrijf meer emissierechten heeft dan het aan CO2 uitstoot, kan
het de overgebleven rechten verkopen aan een bedrijf dat nog emissierechten
nodig heeft. Deze handel in emissierechten vindt plaats op de Amsterdamse
klimaatbeurs ECX.
Aan de hand van een voorbeeld gaan we in de rest van deze opgave na wat de
handel in emissierechten voor een bedrijf kan betekenen.
Het bedrijf Fychem stoot per jaar 100 000 ton CO2 uit en beschikt over slechts
95 000 emissierechten. We onderzoeken de volgende twee mogelijkheden:
− mogelijkheid 1: het bedrijf koopt er 5000 emissierechten bij;
− mogelijkheid 2: het bedrijf neemt maatregelen om de uitstoot tot 90 000 ton
CO2 terug te brengen. Dit kost het bedrijf 60 000 euro. Het bedrijf houdt nu
5000 emissierechten over en verkoopt die op de beurs.
We gaan ervan uit dat de koopprijs en de verkoopprijs van een emissierecht
even groot zijn en noemen dat de prijs van een emissierecht. Afhankelijk van de
prijs van een emissierecht kun je uitrekenen welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem.
Neem aan dat de prijs van een emissierecht gelijk is aan 10 euro.
13pOnderzoek welke mogelijkheid voor Fychem het voordeligst is.
De prijs van een emissierecht op de klimaatbeurs varieert. Bij een andere prijs
dan 10 euro moet opnieuw bekeken worden welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem. Er is een prijs waarbij het voor Fychem niet
uitmaakt welke van de twee genoemde mogelijkheden wordt gekozen.
24pBereken in dat geval de prijs van een emissierecht.
De kosten om de uitstoot van CO2 te verminderen hangen af van de hoeveelheid
waarmee de uitstoot wordt verminderd. Voor Fychem geldt de volgende formule:
In deze formule stelt K de kosten voor in duizenden euro’s en x het aantal ton
waarmee de CO2-uitstoot wordt verminderd.
Hoe meer Fychem de uitstoot van CO2 vermindert, des te meer kosten zal het
bedrijf hiervoor moeten maken.
34pBeredeneer dit met behulp van differentiëren.
Wanneer Fychem veel investeert in het verminderen van de uitstoot van CO2,
kan het bedrijf de overtollige emissierechten verkopen op de klimaatbeurs.
Voor de winst die Fychem zo kan behalen geldt de formule:
In deze formule is W de winst van Fychem in duizenden euro’s, p de prijs van
een emissierecht in euro’s en x het aantal ton waarmee de CO2-uitstoot van
Fychem wordt verminderd.
In figuur 1 is voor enkele waarden van p het verband tussen W en x grafisch
weergegeven.
figuur 1
Alle grafieken gaan door één punt, dus in dat punt is de winst onafhankelijk van
p. In dat punt geldt: voor het bijbehorende aantal ton waarmee de CO2-uitstoot
wordt verminderd, maakt Fychem altijd hetzelfde verlies.
44pBereken hoeveel euro dit verlies bedraagt.
Fychem besluit maatregelen te nemen om de uitstoot van CO2 te verminderen
met 18 000 ton. Bij een prijs van bijvoorbeeld 14 euro voor een emissierecht
maakt het bedrijf met dit besluit winst.
Er zijn prijzen van een emissierecht waarvoor Fychem verlies maakt als het
bedrijf de CO2-uitstoot met 18 000 ton vermindert.
54pBereken bij welke prijzen van een emissierecht dit het geval is. Geef je antwoord
in centen nauwkeurig.
naslagNominaal volume
Veel vloeistoffen worden verhandeld in flessen. De hoeveelheid vloeistof die
volgens het etiket in de fles moet zitten, heet het nominaal volume. Als er
opgave 3bijvoorbeeld “400 ml ℮” op staat, dan is het nominaal volume 400 ml. Dat
betekent niet dat er dan ook altijd precies 400 ml vloeistof in zit. De werkelijke
hoeveelheid vloeistof in de fles zou bijvoorbeeld 401,8 ml kunnen zijn of
399,6 ml. Als de werkelijke hoeveelheid vloeistof minder is dan het nominaal
volume, dan spreken we van een afwijking in minus. De afwijking in minus mag
niet te groot zijn. Daar zijn Europese richtlijnen voor. In tabel 1 is voor volumes
tussen 50 ml en 1000 ml de maximaal toelaatbare afwijking in minus
weergegeven volgens de Europese richtlijn.
tabel 1
Aan de hand van tabel 1 kan een grafiek worden gemaakt van het verband
tussen het nominaal volume en de maximaal toelaatbare afwijking in minus. In
figuur 1 is daar al een begin mee gemaakt.
figuur 1
De grafiek in figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
64puitwerkbijlageMaak de grafiek af op de uitwerkbijlage.
Flessen heten ondeugdelijk als de afwijking in minus groter is dan de maximaal
toelaatbare afwijking in minus.
Een firma produceert hoestsiroop. Volgens het etiket bevat een fles hoestsiroop
400 ml, dus het nominaal volume is 400 ml. De maximaal toelaatbare afwijking
in minus is dan 12 ml.
De werkelijke hoeveelheid hoestsiroop per fles is normaal verdeeld met een
gemiddelde van 405 ml. Uit onderzoek is gebleken dat per 1000 flessen
hoestsiroop gemiddeld 5,2 flessen ondeugdelijk zijn. Met behulp van deze
gegevens kan worden berekend dat de standaardafwijking van de werkelijke
hoeveelheid hoestsiroop per fles ongeveer gelijk is aan 6,6 ml.
75pBereken de standaardafwijking van de werkelijke hoeveelheid hoestsiroop per
fles in twee decimalen nauwkeurig.
De firma levert een partij van 5000 flessen hoestsiroop aan een apotheek.
84pBereken het verwachte aantal flessen in deze partij dat een afwijking in minus
heeft.
De overheid controleert regelmatig partijen flessen om te zien of er niet te veel
ondeugdelijke flessen tussen zitten. In tabel 2 staan de Europese richtlijnen voor
zulke controles.
tabel 2
In tabel 2 zien we dat voor een partij van bijvoorbeeld 200 flessen er een
steekproef van 32 flessen genomen moet worden. Deze partij wordt
goedgekeurd als er in de steekproef niet meer dan 2 flessen ondeugdelijk zijn en
afgekeurd bij 3 of meer ondeugdelijke flessen.
Door problemen met de productie is gedurende een periode 6% van de flessen
ondeugdelijk. Tijdens deze periode wordt een partij van 5000 flessen
gecontroleerd volgens de richtlijnen in tabel 2. De firma hoopt natuurlijk dat de
partij wordt goedgekeurd.
94pBereken de kans dat dit gebeurt.
opgave 4Energiebronnen
In figuur 1 zie je een grafiek van de hoeveelheid energie die we tussen 1979 en 2004 op aarde hebben verbruikt in de vorm van aardolie, aardgas, kernenergie, waterkrachtenergie en kolen. Hierin is voor elke energiebron de energie van een miljard kilo aardolie als eenheid gebruikt, zie de verticale as in figuur 1. figuur 1 miljard kg olie-equivalenten In de grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat in 1991 deze 5 energiebronnen goed waren voor ongeveer 8200 miljard kg olie-equivalenten en dat het aandeel aardgas daarin ongeveer 22% was.
In de periode 1950 tot en met 1974 groeide de jaarlijkse olieproductie exponentieel van ongeveer 4 miljard vaten in 1950 tot ongeveer 22 miljard vaten in 1974. In 1990 was de olieproductie ongeveer 24 miljard vaten. Dat zou veel meer zijn geweest als de olieproductie na 1974 in dezelfde mate exponentieel was doorgegroeid als in de periode 1950-1974.
Bereken hoe groot de olieproductie in 1990 dan zou zijn geweest. In de periode 1984 tot en met 2004 is de olieproductie jaarlijks met 0,4 miljard vaten gestegen, van 21 miljard vaten in 1984 tot 29 miljard vaten in 2004. We gaan ervan uit dat de olieproductie in de jaren na 2004 ook met 0,4 miljard vaten per jaar blijft toenemen. Dan geldt voor de totale hoeveelheid olie s ( t ) (in miljarden vaten) die we vanaf 2004 tot en met t jaar na 2004 uit de grond halen, het volgende: s ( t ) = 29 + (29 + 0,4) + (29 + 2 ⋅ 0,4) + (29 + 3 ⋅ 0,4) + … + (29 + t ⋅ 0,4)
Toon aan dat dit te schrijven is als s ( t ) = 0,2 t 2 + 29,2 t + 29 . In werkelijkheid zal de jaarlijkse olieproductie niet blijven stijgen, maar na verloop van tijd een maximum bereiken en vervolgens weer afnemen. Oliemaatschappijen maken hier modellen voor. Volgens een dergelijk model verloopt de jaarlijkse olieproductie vanaf 2004 als volgt: 188,0 ⋅ 0,961 t Y = 2 ( 1 + 1,55 ⋅ 0,961 t ) Hierin is Y de jaarlijkse olieproductie in miljarden vaten en t het jaar van de productie, met t = 0 in 2004. Volgens dit model bereikt de olieproductie een maximum van ruim 30 miljard vaten in 2015 om daarna weer te dalen.
Bereken in welk jaar na 2015 de olieproductie voor het eerst gedaald zal zijn tot onder de 20 miljard vaten per jaar. Het aantal miljarden vaten olie dat de mens vanaf het begin van de oliewinning tot en met jaar t in totaal uit de grond heeft gehaald noemen we de totale olieproductie T . Hierbij is weer t = 0 in 2004. De jaarlijkse olieproductie Y is gelijk aan de jaarlijkse verandering van T . Daarom geldt bij benadering het Dit betekent dat T bij benadering geschreven kan worden als:
opgave 5Euroverspreiding
Op 1 januari 2002 werd in Nederland en in een aantal andere Europese landen
een nieuwe munteenheid ingevoerd, de euro. Elk van deze landen heeft eigen,
herkenbare munten; zo staat op de Nederlandse munten het portret van de
Nederlandse koningin.
Doordat de euro in meerdere landen wordt gebruikt, raken de munten van een
land verspreid over andere landen. In 2002 is door wiskundigen een experiment
uitgevoerd om deze verspreiding te onderzoeken. Aan dit experiment deden
duizenden mensen in binnen- en buitenland mee, de zogenoemde eurometers.
Aan het begin van elke maand werd geteld hoeveel munten uit welk euroland ze
in bezit hadden.
De onderzoekers slaagden erin kansen te bepalen dat een Nederlandse munt de
grens overgaat: de kans dat een Nederlandse munt die in Nederland is, de
volgende maand in het buitenland is, is 0,03. De kans dat een Nederlandse
munt die in het buitenland is, daar de volgende maand blijft, is 0,9985. Deze
kansen staan ook in tabel 1. We gaan er in deze opgave van uit dat deze
kansen elke maand hetzelfde blijven.
tabel 1
Een Nederlandse munt is op 1 februari 2002 in Nederland. Met behulp van
tabel 1 kun je de kans berekenen dat deze munt op 1 mei 2002 in Nederland is,
al dan niet na een verblijf in het buitenland.
155pBereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.
Op basis van de kansen in tabel 1 is voor de totale hoeveelheid Nederlandse
munten een model te maken dat voor elk tijdstip voorspelt hoeveel van deze
munten in Nederland zijn en hoeveel in het buitenland. Dit model bestaat uit
twee recurrente betrekkingen1:
Nt = 0,97Nt−1 + 0,0015Bt−1 en Bt = 0,03Nt−1 + 0,9985Bt−1
Hierin is Nt het aantal Nederlandse munten in miljarden dat in maand t in
Nederland is; Bt is het aantal Nederlandse munten in miljarden in maand t in het
buitenland. Verder is t de tijd in maanden met t = 0 op 1 januari 2002.
Veronderstel dat in totaal 2,8 miljard Nederlandse munten gemaakt zijn, die op
1 januari 2002 allemaal in Nederland waren. Ga ervan uit dat er daarna geen
nieuwe munten zijn bijgemaakt. Volgens bovenstaand model zal het aantal
Nederlandse munten in Nederland op de lange duur stabiliseren.
164pBereken hoeveel Nederlandse munten er uiteindelijk in Nederland zullen zijn en
hoeveel in het buitenland. Geef je antwoord in miljoenen nauwkeurig.
Van alle muntstukken die op zeker moment in Nederland in omloop zijn, is
23,3% Duits. Het vermoeden bestaat dat in de grensstreek met Duitsland het
percentage Duitse muntstukken hoger is dan in Nederland als geheel. Om dit
vermoeden te onderzoeken, worden van een aantal mensen die in de
grensstreek wonen gegevens verzameld over de munten in ieders portemonnee.
Er blijken in totaal 512 muntstukken in deze portemonnees te zitten, waarvan er
138 Duits zijn.
176pOnderzoek bij een significantieniveau van 5% of er reden is om te
veronderstellen dat het vermoeden juist is.
noot 1 Een recurrente betrekking wordt ook wel recursieformule of recursievergelijking genoemd.
opgave 6Wedden
Via internet kun je tegenwoordig bij verschillende bookmakers terecht om te
wedden op de uitslag van een sportwedstrijd. Aan de hand van een
voetbalwedstrijd laten we zien hoe dat in zijn werk gaat.
De informatie die een bookmaker verstrekte voor de voetbalwedstrijd
Ajax – Vitesse van 27 januari 2007 zag er als volgt uit:
tabel 1
De getallen 1,75; 3,10 en 4,10 heten de quotes van deze weddenschap.
Uiteraard kun je meer dan 1 euro inzetten, maar de inzet moet wel altijd een
geheel aantal euro’s zijn.
De bookmaker stelt bij elke wedstrijd opnieuw de quotes van tevoren vast en
maakt deze op internet bekend. Vervolgens kunnen gokkers geld inzetten op
een bepaalde uitslag. Hoeveel geld de bookmaker wint of verliest hangt dan
alleen nog af van de uitslag van de wedstrijd.
Stel dat er € 100 op elk van de drie uitslagen is ingezet. Als Ajax wint, zal de
bookmaker 300 – 100 · 1,75 = 125 euro winst maken. Bij gelijkspel zal hij verlies
lijden en als Vitesse wint, is zijn verlies zelfs nog groter.
Bovenstaande situatie is niet realistisch, want meestal zullen er meer mensen
inzetten op de sterkere club. Veronderstel eens dat er € 15 000 is ingezet op
winst voor Ajax, € 9000 op gelijkspel en € 6000 op verlies van Ajax.
184pBereken met de quotes van tabel 1 bij welke uitslag – winst voor Ajax, gelijkspel
of verlies van Ajax – de winst voor de bookmaker het grootst is. Geef ook de
grootte van die winst.
Zoals gezegd stelt de bookmaker voor elke wedstrijd de quotes vast. Hij weet
dan nog niet hoeveel er op de verschillende uitslagen ingezet zal worden.
Daarom schat hij dit van tevoren in. Vervolgens kiest hij zijn quotes zó, dat hij bij
elke mogelijke uitslag evenveel winst maakt, mits de uiteindelijke verdeling van
de inzetten is zoals hij had ingeschat. Bijvoorbeeld bij de quotes 1,55; 3,10 en
9,30 is de uitkering bij gelijkspel 2 keer zo groot als de uitkering bij winst voor de
thuisclub, en bij verlies voor de thuisclub zelfs 6 keer zo hoog. Kennelijk schatte
de bookmaker in dat de totale inzet op gelijkspel 2 keer zo klein zou zijn als de
totale inzet op winst voor de thuisclub, en de totale inzet op verlies voor de
thuisclub 6 keer zo klein als de totale inzet op winst voor de thuisclub.
Dat levert de volgende tabel op:
tabel 2
Als de uiteindelijke inzetverdeling inderdaad wordt zoals de bookmaker heeft
ingeschat, dan zal bij deze quotes de bookmaker ongeacht de uitslag van de
wedstrijd altijd evenveel uitbetalen.
194pToon door berekening aan dat dit juist is en bereken hoeveel procent van het
totale ingezette bedrag winst voor de bookmaker is.
Een bookmaker heeft voor de wedstrijd NAC – PSV van 4 maart 2007 de quotes
weer zó gekozen, dat volgens de inschatting van die bookmaker bij elke
mogelijke uitslag evenveel winst wordt gemaakt. Deze quotes staan vermeld in
tabel 3.
tabel 3
Blijkbaar is de bookmaker ervan uitgegaan dat een flink percentage van de
totale inzet zal worden ingezet op winst voor PSV.
204pBereken dit percentage. Rond af op gehelen.
