bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2009, tijdvak 2 (wiskunde A1)

opgave 1Zeemonsters

In 1972 werd de mesoplodon densirostris ontdekt in de oceaan. Het is een
dolfijnensoort die 7 meter lang kan worden. Mede naar aanleiding van deze
vondst deed de bioloog C. Paxton onderzoek naar de vraag hoeveel van
dergelijke grote diersoorten er in de toekomst nog meer ontdekt zullen worden.
Paxton beperkte zich tot wat hij zeemonsters noemde: dieren die in zee leven en
meer dan 2 meter lang kunnen worden.
foto
foto
Een mesoplodon densirostris
Op basis van gegevens over het aantal ontdekte zeemonsters in verschillende
jaren stelde Paxton het volgende model op:
P(t) = (264t − 476657)/(t − 1767)
Met dit model kon hij een schatting maken van het aantal ontdekte soorten tot
en met een zeker jaar t. In deze formule is P(t) het aantal soorten dat tot en met
jaar t bekend is. Dus als je een schatting wilt van het aantal soorten dat
bijvoorbeeld op het eind van het jaar 1980 bekend is, dan moet je t = 1980
invullen in de formule. De uitkomst wordt afgerond op gehelen.
Vanaf eind 1895 tot en met eind 1995 zijn er in werkelijkheid 30 soorten ontdekt.
13p
Bereken hoeveel soorten er volgens het model van Paxton zouden zijn ontdekt
in deze periode.
J. Groot schreef in 2003 een artikel in het wiskundeblad Pythagoras over het
model van Paxton. Daarin schreef hij dat hij met dezelfde gegevens een ander
model had gevonden. Zijn model zag er als volgt uit:
G(t) = 218 ⋅ (1 − 0,9799t−1798)
In deze formule is G(t) het aantal soorten dat tot en met jaar t bekend is. Ook
hier wordt de uitkomst afgerond op gehelen.
De twee formules hierboven zijn verschillend, dus je mag verwachten dat beide
modellen niet altijd dezelfde uitkomsten opleveren. Voor t = 1931 bijvoorbeeld
geeft het model van Paxton 202 soorten en het model van Groot 203. Vanwege
de afronding op gehelen is er een aantal jaren waarvoor de twee modellen wél
dezelfde uitkomst geven. Onder andere is dat het geval bij t = 1938: beide
modellen leveren dan elk 205 bekende soorten. Er zijn nog meer jaren uit de
periode 1930 tot en met 1945 waarvoor beide modellen dezelfde uitkomst
geven.
24p
Onderzoek welke jaren dat zijn.
Paxton en Groot ontwikkelden hun modellen vooral om een schatting te kunnen
maken van het aantal soorten zeemonsters dat men in de toekomst nog zou
kunnen ontdekken. Elk van deze beide modellen voorspelt dan ook dat het
aantal soorten zeemonsters een grenswaarde heeft.
Volgens het model van Paxton zullen er na 2009 nog 42 soorten zeemonsters
ontdekt worden.
34p
Bereken hoeveel soorten zeemonsters er na 2009 nog ontdekt zullen worden
volgens het model van Groot.
Behalve de formules van Paxton en Groot zijn er nog meer formules denkbaar
die de werkelijke aantallen bekende soorten zeemonsters goed benaderen. Een
mogelijkheid is bijvoorbeeld een formule van de vorm F(t) = √(at + b). In deze
formule is F(t) het aantal soorten tot en met jaar t. De waarden voor a en b
worden zo gekozen dat het model precies overeenkomt met de werkelijke
aantallen soorten zoals die eind 1895 en eind 1995 bekend waren. Eind 1895
waren er in werkelijkheid 187 soorten zeemonsters bekend. Eind 1995 waren
dat er 217. Er kan nu worden berekend dat de waarde van a gelijk is aan 121,2.
44p
Bereken de waarde van b.

opgave 2Conditietest

Om de conditie te meten van mensen worden vaak conditietests gebruikt. De
conditietest die in deze opgave vermeld wordt, is een gangbare conditietest
waarbij iedere prestatie een score oplevert. Hoe hoger de score, hoe beter de
conditie.
In Canada is een onderzoek gedaan onder een groot aantal jongens van 12 tot
en met 17 jaar. In tabel 1 staan de resultaten van het onderzoek voor jongens
van 17 jaar.
tabel 1
score 5,44 6,89 7,50 8,36 8,81 9,30 9,84 10,23 11,09 11,87 12,58 cumulatief percentage 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95
In tabel 1 is bijvoorbeeld af te lezen dat 90% van de jongens een score van
11,87 of minder behaalt. De scores in de tabel zijn gerangschikt op cumulatief
percentage.
De scores van de Canadese jongens van 17 jaar zijn bij benadering normaal
verdeeld. Dat kun je zien als je de scores van tabel 1 uitzet op normaal
waarschijnlijkheidspapier.
53puitwerkbijlage
Zet de scores van tabel 1 uit op het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage en leg met behulp van deze tekening uit waarom er bij benadering
sprake is van een normale verdeling.
64puitwerkbijlage
Bepaal met het normaal waarschijnlijkheidspapier van de uitwerkbijlage of met
de tabel het gemiddelde en de standaardafwijking van de scores van jongens
van 17 jaar.
Ook voor Canadese jongens in andere leeftijdsgroepen zijn de scores (bij
benadering) normaal verdeeld.
Voor Canadese jongens van 13 jaar is het gemiddelde 7,4 en de
standaardafwijking 2,0. Wanneer een jongen van 13 jaar hoger dan 9,94 scoort
is er sprake van een hoge score.
Uit de onderzochte groep worden willekeurig twee jongens van 13 jaar gekozen.
74p
Bereken de kans dat ze allebei een hoge score hebben.
Voor Canadese jongens van 14 jaar is het gemiddelde 8,0 en de
standaardafwijking 2,0.
We kiezen aselect 100 Canadese jongens van 14 jaar.
84p
Bereken de kans dat hun gemiddelde score minder dan 0,1 afwijkt van 8,0.
Voor Canadese jongens van 12 jaar is de gemiddelde score 7,3. Verder is uit
het onderzoek gebleken dat 77% van de jongens van 12 jaar een score had die
lager was dan 8,85.
94p
Bereken de standaardafwijking van de scores van de Canadese jongens van
12 jaar.

opgave 3Melkvee

De afgelopen jaren is het aantal melkveehouderijen afgenomen. Het (gemiddelde) aantal koeien per melkveehouderij is echter toegenomen. Beide ontwikkelingen zijn weergegeven in figuur 1. Figuur 1 is gebaseerd op gegevens van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). figuur 1 koeien per…

De afgelopen jaren is het aantal melkveehouderijen afgenomen. Het (gemiddelde) aantal koeien per melkveehouderij is echter toegenomen. Beide ontwikkelingen zijn weergegeven in figuur 1. Figuur 1 is gebaseerd op gegevens van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). figuur 1 koeien per melkveehouderij melkveehouderijen melkveehouderij Op basis van de gegevens in figuur 1 kan worden onderzocht of het totale aantal koeien in Nederland in 2003 groter of kleiner was dan in 1975.

Voer dat onderzoek uit aan de hand van een berekening. In figuur 1 is te zien dat de grafiek van het aantal koeien per melkveehouderij in de periode 2000 – 2003 minder steil loopt dan in de periode 1985 – 2000. Toch is de gemiddelde jaarlijkse toename van het aantal koeien per melkveehouderij…

Voer dat onderzoek uit aan de hand van een berekening. In figuur 1 is te zien dat de grafiek van het aantal koeien per melkveehouderij in de periode 2000 – 2003 minder steil loopt dan in de periode 1985 – 2000. Toch is de gemiddelde jaarlijkse toename van het aantal koeien per melkveehouderij groter in de periode 2000 – 2003 dan in de periode 1985 – 2000.

Laat dit met een berekening zien en leg uit waarom dit niet in tegenspraak is met de gegevens in de grafiek van het aantal koeien per melkveehouderij. Koeien worden tegenwoordig gemolken door een zogenaamde melkrobot. De melkrobot melkt de koe zonder dat de boer daarbij aanwezig hoeft te zijn. In…

Laat dit met een berekening zien en leg uit waarom dit niet in tegenspraak is met de gegevens in de grafiek van het aantal koeien per melkveehouderij. Koeien worden tegenwoordig gemolken door een zogenaamde melkrobot. De melkrobot melkt de koe zonder dat de boer daarbij aanwezig hoeft te zijn. In 2005 werd door de dierenbescherming het volgende persbericht gepubliceerd: persbericht

Uit het persbericht blijkt dat 90% van het melkvee in 2002 in de wei komt. Ook zien we dat in 2005 nog slechts 83% van het melkvee in de wei komt. In het persbericht is sprake van een ‘trend’, maar het wordt niet duidelijk van welk model men daarbij is uitgegaan en waar “de helft van de…

Uit het persbericht blijkt dat 90% van het melkvee in 2002 in de wei komt. Ook zien we dat in 2005 nog slechts 83% van het melkvee in de wei komt. In het persbericht is sprake van een ‘trend’, maar het wordt niet duidelijk van welk model men daarbij is uitgegaan en waar “de helft van de melkveestapel” vandaan komt. Enkele voor de hand liggende modellen zijn: 1. een trend waarbij het percentage melkvee dat in de wei komt lineair daalt; 2. een trend waarbij het percentage melkvee dat in de wei komt exponentieel afneemt.

Bereken hoeveel procent van het melkvee in 2015 volgens model 1 en hoeveel procent volgens model 2 in de wei komt. Voor het beschrijven van de situatie op de lange duur is model 1 op grond van wiskundige overwegingen niet bruikbaar maar model 2 misschien wel.
Leg uit waarom model 1 op de lange duur zeker niet realistisch kan zijn, maar model 2 misschien wel. Boer Poelen vraagt zich af of het voordelig is een melkrobot aan te schaffen. De verkoopprijs van de melk is op dat moment 30 eurocent per liter. We gaan ervan uit dat de melkprijs niet verandert.…

Leg uit waarom model 1 op de lange duur zeker niet realistisch kan zijn, maar model 2 misschien wel. Boer Poelen vraagt zich af of het voordelig is een melkrobot aan te schaffen. De verkoopprijs van de melk is op dat moment 30 eurocent per liter. We gaan ervan uit dat de melkprijs niet verandert. Hij heeft op zijn boerderij 70 koeien die elke dag gemolken moeten worden. Een koe geeft gemiddeld 21,1 liter melk per dag als zij door de boer met de hand gemolken wordt. Uit onderzoek blijkt dat een koe die gemolken wordt door een melkrobot 10% meer melk geeft dan een koe die met de hand wordt gemolken door de boer. Boer Poelen wil weten hoeveel extra opbrengst hij per jaar (365 dagen) krijgt uit de verkoop van melk als hij overstapt op een melkrobot.

Bereken de extra opbrengst per jaar van boer Poelen. Rond je antwoord af op hele euro’s.

opgave 4Een meisje of een jongen?

Veel vrouwen die in verwachting zijn van een baby vragen zich af of het een
meisje of een jongen wordt. Er bestaan veel dubieuze methoden om daarachter
te komen. Een voorbeeld daarvan is de al eeuwen oude Chinese conceptietabel,
zie tabel 1.
tabel 1
  18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Jan M J M J M J M M J M J M J J J M J J M J M J M J M J J M Febr J M J M J J M J M J M J M M M J M J J M J M J M J M J J Maart M J M M J M J J J M J M M J J J J M J J M J M J M J M J April J M J M M J J M M J M M M

  18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Jan M J M J M J M M J M J M J J J M J J M J M J M J M J J M Febr J M J M J J M J M J M J M M M J M J J M J M J M J M J J Maart M J M M J M J J J M J M M J J J J M J J M J M J M J M J April J M J M M J J M M J M M M M M J M J M J J J J M J M J M Mei J M J M J J M M M M M J M M M M M M J M J J M J M J J M Juni J J J M M M J J J M M J M M M M M M M J M M J M J M J M Juli J J J M M J J M M J J J M M M M M M M M J M J J M J M J Aug J J J M J M M J J J J J M M M J M J M J M J M J J M J M Sept J J J M M J M J M J J J M M M M M M J M J M J M J J M J Okt J J M M M J M J M J J M M M M M M M J J M J M J M J J M Nov J M J M M J M J M M M M J M M M J J J M J M J M J J M J Dec J M J M M M M J M J M M J J J J J J J J M M M J M J M J

Met deze tabel zou je als volgt kunnen bepalen of het een jongen of een meisje
wordt: kies de maand van de conceptie (verticaal) en de leeftijd van de moeder
(horizontaal) op het moment van de conceptie. In het bijbehorende vakje staat
de M voor een meisje en de J voor een jongen. Volgens een website voorspelt
de tabel in 90% van de gevallen correct of het een jongen of een meisje wordt.
Twee zwangere vrouwen hebben nauwkeurig het moment van conceptie
vastgesteld. Voor de ene vrouw was dat in de maand maart en haar leeftijd was
toen 23 jaar. Voor de andere vrouw was dat in februari en haar leeftijd was toen
25 jaar. De twee vrouwen gebruiken de Chinese conceptietabel om het geslacht
van hun baby te voorspellen. Ga ervan uit dat de tabel inderdaad in 90% van de
gevallen correct voorspelt.
153p
Bereken dan de kans dat de baby’s alletwee jongens zijn.
Een vrouw die gedurende haar leven vijf kinderen heeft gekregen onderzoekt of
de Chinese conceptietabel klopt voor haar vijf kinderen. In een discussieforum
op internet klaagt de vrouw erover dat de Chinese conceptietabel het bij alle vijf
haar kinderen mis had. Als de 90%-claim van de website correct is, zo
redeneerde de vrouw, dan zou er een behoorlijk grote kans moeten zijn dat de
tabel het bij ten minste vier van de vijf kinderen goed zou hebben.
164p
Bereken deze kans.
Er bestaat een verband tussen het geslacht van de baby en de leeftijd van de
moeder op het moment van de geboorte van het kind. In figuur 1 is het aantal
jongens per 1000 meisjes uitgezet tegen de leeftijd van de moeder.
figuur 1
Alle geboorten van 1942 tot en met 1995 in Nederland
aantal 1065 jongens per meisjes 287530 1060 2347092 4014600 1055 2736543 1275284 400116 1050 32017 1045 + 11093182 0 4 9 4 9 4 5 2 2 2 3 3 4 4 < 0- 5- 0- 5- 0- > 2 2 3 3 4 leeftijdsgroep van de moeder
De grafiek in figuur 1 is het resultaat van een groot onderzoek waarin in totaal
11 093 182 geboortes werden geteld. We kijken in deze figuur bijvoorbeeld naar
de leeftijdsklasse 20-24 jaar. We zien dat van de baby’s van wie de moeder bij
de geboorte in deze leeftijdsklasse zit, er ongeveer 1058 jongetjes per
1000 meisjes worden geboren. De kans op een jongen is voor een willekeurige
aanstaande moeder uit deze leeftijdsklasse dus (1058)/(2058) ≈0,514.
De grafiek in figuur 1 daalt (bijna) overal. Dat betekent dat de verhouding tussen
de aantallen jongens en meisjes (dus jongens: meisjes) (bijna) altijd afneemt
naarmate de leeftijd van de moeder toeneemt. Dus is de kans op een jongen
voor een zwangere vrouw van 45 jaar of ouder kleiner dan voor een zwangere
vrouw die jonger is dan 20 jaar.
Omdat de grafiek in figuur 1 snel daalt, lijkt het er op alsof het verschil tussen
beide kansen groot is.
175p
Laat met een berekening zien dat het verschil tussen beide genoemde kansen
klein is. Leg ook uit waarom figuur 1 de indruk wekt dat dit verschil groot is.
Het getal 2 347 092 in figuur 1 helemaal rechts geeft aan dat er 2 347 092
kinderen zijn geboren van wie de moeder bij de geboorte van het kind in de
leeftijdsklasse 20-24 jaar zit. Met behulp van bovengenoemde verhouding (1058)/(2058)
kunnen we het aantal jongens in die groep berekenen.
Door alle gegevens uit figuur 1 te gebruiken, kunnen we ook de verhouding
jongens: meisjes in de gehele onderzochte groep van 11 093 182 kinderen
berekenen. Deze verhouding is (ongeveer) 1056:1000.
185p
Laat deze berekening zien.

opgave 5Studieschuld

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) houdt bij hoeveel studenten er zijn
in het wetenschappelijk onderwijs in Nederland. Tabel 1 geeft daar informatie
over.
tabel 1
studiejaar mannen vrouwen 1991-1992 98272 75281 1992-1993 97784 76739 1993-1994 97270 78052 1994-1995 95256 78372 1995-1996 91310 75959 1996-1997 83850 70226 1997-1998 80472 68014 1998-1999 79347 68524 1999-2000 80113 70631
Iemand trekt uit tabel 1 de volgende twee conclusies:
1 Het aantal vrouwelijke studenten was in het studiejaar 1999-2000 ruim
6 procent lager dan in het studiejaar 1991-1992.
2 Het aandeel van de vrouwelijke studenten was in het studiejaar 1999-2000
groter dan in het studiejaar 1991-1992.
194p
Onderzoek voor elk van deze conclusies of deze juist is of niet.
Lenneke was een van die studenten. Zij heeft haar studie psychologie in
september 2002 succesvol afgerond. Tijdens haar studie heeft zij geld geleend
van de IBG (Informatie Beheer Groep). In de loop van 2004 kreeg zij van de IBG
het zogenoemde Bericht Terugbetalen. Daaruit komt het volgende citaat.
citaat
Geachte mevrouw, Volgens onze gegevens moet u per 1 januari 2005 beginnen met de terugbetaling van uw studieschuld. Op 1 januari 2005 bedraagt deze schuld 3011 euro. U kunt uw schuld ineens betalen, maar u mag dit…

Geachte mevrouw, Volgens onze gegevens moet u per 1 januari 2005 beginnen met de terugbetaling van uw studieschuld. Op 1 januari 2005 bedraagt deze schuld 3011 euro. U kunt uw schuld ineens betalen, maar u mag dit ook in maandelijkse termijnen doen. In uw situatie is deze maandelijkse termijn vastgesteld op 45,41 euro en dit bedrag zal op de laatste dag van iedere maand van uw rekening worden afgeschreven. Bij het terugbetalen berekent de IBG een rente van 3,73% op jaarbasis over de schuld die overblijft.

Een rente van 3,73% per jaar betekent een rente van (ongeveer) 0,3% per
maand.
204p
Laat met behulp van een berekening zien dat dit klopt.
Lenneke besloot destijds om vanaf januari 2005 elke maand 45,41 euro af te
lossen. De hoogte van haar schuld Sn na n maanden voldoet dus aan de
volgende recurrente betrekking1):
Sn+1 = 1,003 ⋅ Sn − 45,41 met S0 = 3011
Bij de Oudejaarsloterij van december 2005 wint Lenneke 2500 euro. Zij besluit
dit bedrag op 1 januari 2006 voor haar aflossing te gebruiken.
214p
Heeft Lenneke op 2 januari 2006 nog schulden bij de IBG? Licht je antwoord met
een berekening toe.
De schuld van Lenneke is ontstaan in de periode van begin september 2001 tot
en met eind september 2002. Tijdens deze 13 maanden leende zij elke maand
een bedrag van 211,09 euro.
De IBG hanteert de regel dat een schuld pas na enkele jaren hoeft te worden
afgelost. Maar tot het begin van het aflossen (de aanloopfase) moet er wel elke
maand rente worden betaald. Deze rente wordt aan de schuld toegevoegd.
Tijdens de jaren 2001 en 2002 berekende de IBG over de schuld een rente van
0,3% per maand, steeds ingaande in de maand nadat de bedragen waren
uitgekeerd. Dat betekent dus dat op 31 oktober 2001 voor het eerst rente werd
berekend.
Op 1 oktober 2002, toen Lenneke net was gestopt met lenen, bedroeg de
studieschuld van Lenneke:
211,09 + 211,09 ⋅1,003 + 211,09 ⋅1,0032 +... ≈ 2794,11 euro.
224p
Toon met de somformule voor meetkundige rijen aan dat dit bedrag van
2794,11 euro klopt.
noot 1 Een recurrente betrekking wordt ook wel recursieformule of recursievergelijking genoemd.