bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2006, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Drinkbak

In figuur 1 staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen:
een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en
een achterkant die aan de goot gelast zijn.
De bak is 20 dm lang, 4 dm breed en 2 dm diep.
4 dm 20 dm 2 dm
figuur 1
In figuur 2 is het vooraanzicht van de goot getekend in een assenstelsel.
y 2 1 x
figuur 2
De gebogen vorm van deze goot is de grafiek van de functie:
f(x) = – x + x – 2x + 2 (x en y in dm en 0 x 4)
14p
Toon algebraïsch aan dat de helling van de grafiek van f gelijk is aan 0 voor x = 0 en voor
x = 4.
De waterspiegel heeft de vorm van een rechthoek, waarvan de lengte 20 dm is. De breedte
van de waterspiegel varieert met de waterhoogte.
In figuur 3 is in het assenstelsel het vooraanzicht van de bak getekend bij een bepaalde
waterhoogte.
y 2 1 x O 1 2 3 4
figuur 3
23p
Bereken de waterhoogte als de breedte van de waterspiegel 2,4 dm is.
36p
Bereken in liters nauwkeurig hoeveel water de bak bevat als hij tot de rand toe gevuld is.
45p
Bereken in dm2 nauwkeurig de oppervlakte van de rechthoekige plaat waarvan het gebogen
deel van de drinkbak gemaakt is.

opgave 2Met verschillende startwaarden

In figuur 4 en op de uitwerkbijlage staat de grafiek van de functie f (x) = 2 − x2.
Na keuze van een startwaarde u0 is de rij u0, u1, u2, u3,... vastgelegd door un = f (un−1)
(n = 1, 2, 3, …).
y f 1 x O 1
figuur 4
In de figuur op de uitwerkbijlage is een startwaarde u op de x-as aangegeven.
54puitwerkbijlage
Teken op de x-as met behulp van een webgrafiek in de figuur op de uitwerkbijlage de
plaatsen van u1, u2 en u3.
Er zijn twee startwaarden waarbij de rij u0, u1, u2, u3,... constant is.
63p
Bereken deze startwaarden exact.
Neem u0 = a.
Er zijn twee startwaarden a zodat de rij bestaat uit twee verschillende getallen a en b die
elkaar afwisselen; de rij wordt dan a, b, a, b, a, … met b ≠ a.
76p
Bereken beide waarden van a in drie decimalen nauwkeurig.

opgave 3Levensduur van chips

In elektronische apparatuur worden veel chips gebruikt. Om de levensduur van chips te bepalen kan men niet gewoon wachten totdat ze stukgaan. Dat kan namelijk wel 20 à 30 jaar duren! Daarom past men zogenaamde stress-methoden toe: men onderwerpt de chips aan extreme omstandigheden, bijvoorbeeld…

In elektronische apparatuur worden veel chips gebruikt. Om de levensduur van chips te bepalen kan men niet gewoon wachten totdat ze stukgaan. Dat kan namelijk wel 20 à 30 jaar duren! Daarom past men zogenaamde stress-methoden toe: men onderwerpt de chips aan extreme omstandigheden, bijvoorbeeld hoge temperatuur, zodat ze sneller stukgaan. Vervolgens kan men de onder extreme omstandigheden gevonden levensduur terugrekenen naar de levensduur onder normale omstandigheden. Bij hoge-temperatuurstress werkt men met het model van Arrhenius: g ( T ) = 1,1 ⋅ 10 − 10 ⋅ e T a . Hierbij is g de levensduur (in jaren), T de temperatuur (in kelvin) en a een constante. De levensduur van een chip van type A blijkt bij een temperatuur van 373 kelvin 0,1 jaar te zijn.

→ Toon door berekening aan dat bij kamertemperatuur (293 kelvin) de levensduur van zo’n chip ongeveer 28 jaar is. Neem bij de volgende vraag a = 7700. Een gebruiker wil weten hoe snel g bij toenemende temperatuur verandert als T = 293.
→ Bereken deze snelheid met behulp van differentiëren. Neem aan dat de levensduur van chips van type B bij gebruik bij kamertemperatuur normaal verdeeld is met een verwachtingswaarde μ van 8,0 jaar en een standaardafwijking σ van 2,0 jaar. Een klant koopt 500 chips van type B.
→ Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat meer dan 50 van deze chips binnen 5 jaar stukgaan. Van de chips van type B vermoedt men dat μ kleiner is dan 8,0 jaar. Om dat te onderzoeken past een laboratorium hoge-temperatuurstress toe op 50 chips van type B. Als de levensduur van de chips van…

→ Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat meer dan 50 van deze chips binnen 5 jaar stukgaan. Van de chips van type B vermoedt men dat μ kleiner is dan 8,0 jaar. Om dat te onderzoeken past een laboratorium hoge-temperatuurstress toe op 50 chips van type B. Als de levensduur van de chips van dit type normaal verdeeld is met μ = 8,0 en σ = 2,0 dan is de gemiddelde levensduur van de chips bij een steekproef van 50 chips normaal verdeeld Met de resultaten van het laboratorium heeft men berekend dat deze chips bij kamertemperatuur een gemiddelde levensduur van 7,2 jaar gehad zouden hebben. De aanname dat de levensduur van chips van type B bij gebruik bij kamertemperatuur normaal verdeeld is met een verwachtingswaarde μ van 8,0 jaar en een standaardafwijking σ van 2,0 jaar noemt men de nulhypothese.

→ Geeft deze uitkomst van 7,2 jaar voldoende aanleiding om bij een significantieniveau van 1% de nulhypothese te verwerpen?

opgave 4Met vast brandpunt en vaste raaklijn

Gegeven zijn een punt F en een lijn m.
We bekijken alle parabolen met F als brandpunt die raken aan de lijn m. In figuur 5 zijn
twee voorbeelden getekend.
F m
figuur 5
Op de lijn m wordt een punt R gekozen. Zie figuur 6. Deze figuur staat ook vergroot op de
uitwerkbijlage.
figuur 6
F
R
m
126puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de top van de parabool die F als brandpunt heeft en
die m raakt in het punt R. Licht je werkwijze toe.

opgave 5α -baan

De plaats van een bewegend punt P in een assenstelsel wordt gegeven door:
x(t) = cos 2t en y(t) = cos 3t, waarbij t de tijd voorstelt, met 0 t .
De baan van het punt P lijkt op de Griekse letter α. Zie figuur 7.
y figuur 7 x O 1
We vergelijken de tijdsduur dat P links van de lijn x = 0 is met de tijdsduur dat P rechts van
die lijn is.
134p
Toon aan dat P zich exact even lang links van de lijn x = 0 bevindt als rechts ervan.
Tijdens de beweging verandert de afstand van het punt P op de baan tot het punt O(0, 0).
144p
Bereken de minimale waarde van de afstand OP in twee decimalen nauwkeurig.
Tijdens de beweging verandert de snelheid van het punt P.
155p
Onderzoek of de grootste snelheid van het punt P wordt bereikt op het tijdstip t = (1)/(2)π.

opgave 6Op één lijn

Gegeven zijn twee driehoeken ABC en BDE met ∠ ACB = ∠ BDE . De omgeschreven cirkels van deze driehoeken snijden elkaar in de punten B en S . Zie figuur 8. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 8 E
→ Bewijs dat S op de lijn AE ligt.

opgave 7Punten buiten een cirkel

Gegeven zijn de cirkel c met middelpunt M en een punt A buiten c.
Vanuit punt A worden de beide raaklijnen aan c getrokken. De raakpunten zijn R1 en R2.
Gegeven is dat de lengte van de (kleinste) boog R1R2 gelijk is aan (1)/(3) deel van de omtrek van c.
Zie figuur 9. Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
A R 1 M R 2 c
figuur 9
176p
Toon aan dat de afstand van A tot c de helft is van AM.
Vanuit een punt X buiten c worden de twee halve lijnen getrokken die aan c raken. De
raakpunten noemen we S1 en S2 De hoek die de halve lijnen met elkaar maken,
noemen we α. Zie figuur 10.
S 1 X α M S 2 c
figuur 10
G is het gebied van alle punten X buiten c waarvoor de bijbehorende hoek α stomp is.
186p
Toon aan dat de oppervlakte van G gelijk is aan de oppervlakte van c.
√(Einde)
Lees verder