opgave 1Drinkbak
In figuur 1 staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen:
een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en
een achterkant die aan de goot gelast zijn.
De bak is 20 dm lang, 4 dm breed en 2 dm diep.
figuur 1
In figuur 2 is het vooraanzicht van de goot getekend in een assenstelsel.
figuur 2
De gebogen vorm van deze goot is de grafiek van de functie:
14p
Toon algebraïsch aan dat de helling van de grafiek van
f gelijk is aan 0 voor
x = 0 en voor
x = 4.
De waterspiegel heeft de vorm van een rechthoek, waarvan de lengte 20 dm is. De breedte
van de waterspiegel varieert met de waterhoogte.
In figuur 3 is in het assenstelsel het vooraanzicht van de bak getekend bij een bepaalde
waterhoogte.
figuur 3
23p
Bereken de waterhoogte als de breedte van de waterspiegel 2,4 dm is.
36p
Bereken in liters nauwkeurig hoeveel water de bak bevat als hij tot de rand toe gevuld is.
45p
Bereken in dm
2 nauwkeurig de oppervlakte van de rechthoekige plaat waarvan het gebogen
deel van de drinkbak gemaakt is.
opgave 2Parkeertarief
’s Zaterdags gaat Anneke altijd winkelen in de stad. Ze parkeert dan haar auto aan de rand
van het centrum. De parkeermeter rekent daar met hele kwartieren en er moet vooraf
betaald worden. Elk kwartier of deel daarvan kost € 0,30. Op grond van het lijstje met
inkopen die ze wil doen, maakt Anneke een schatting van de tijdsduur voor het parkeren.
Door allerlei omstandigheden (onder andere bediening, drukte) is de werkelijke tijdsduur
vaak anders.
We nemen aan dat de werkelijke tijdsduur bij benadering normaal verdeeld is, waarbij het
gemiddelde gelijk is aan haar schatting; voor de standaardafwijking geldt het volgende:
als de schatting
t uren bedraagt, dan is de standaardafwijking gelijk aan
uur.
Op een zaterdag schat Anneke 2,5 uur nodig te hebben voor haar inkopen en doet dus € 3,00
in de parkeermeter.
54p
Bereken de kans dat achteraf – als ze terugkomt bij haar auto – zal blijken dat ze precies
€ 0,30 minder in de parkeermeter had mogen doen.
Door bij een schatting van 2,5 uur parkeren € 3,00 in de parkeermeter te doen, loopt
Anneke ook het risico dat ze te weinig betaalt.
65p
Bereken hoeveel geld Anneke ten minste in de meter moet doen, opdat ze minder dan 5%
kans loopt dat ze te weinig betaalt.
Als Anneke onvoldoende parkeergeld betaalt, loopt zij kans op een parkeerboete.
Ieder uur heeft elke geparkeerde auto waarvan de parkeertijd verlopen is, een kans van 16%
op een parkeerboete. Eenmaal beboet, krijgt een auto geen tweede boete.
74p
Bereken de kans dat Anneke een parkeerboete krijgt wanneer zij 3 uur lang onbetaald
parkeert.
opgave 4α -baan
De plaats van een bewegend punt P in een assenstelsel wordt gegeven door:
De baan van het punt P lijkt op de Griekse letter α. Zie figuur 5.
114pbevindt.
Tussen t = 0 en t = π beweegt P één maal over de baan. Gedurende twee tijdsintervallen
bevindt
P zich boven de lijn
y =
. Zie figuur 6.
figuur 6
124p
Bereken de totale tijd dat
P zich boven de lijn
y =
bevindt.
Tijdens de beweging verandert de snelheid van het punt P.
135p
Onderzoek of de grootste snelheid van het punt
P wordt bereikt op het tijdstip
t =
.
opgave 5Levensduur van chips
In elektronische apparatuur worden veel chips gebruikt. Om de levensduur van chips te bepalen kan men niet gewoon wachten totdat ze stukgaan. Dat kan namelijk wel 20 à 30 jaar duren! Daarom past men zogenaamde stress-methoden toe: men onderwerpt de chips aan extreme omstandigheden, bijvoorbeeld hoge temperatuur, zodat ze sneller stukgaan. Vervolgens kan men de onder extreme omstandigheden gevonden levensduur terugrekenen naar de levensduur onder normale omstandigheden. Bij hoge-temperatuurstress werkt men met het model van Arrhenius: g ( T ) = 1,1 ⋅ 10 − 10 ⋅ e T a . Hierbij is g de levensduur (in jaren), T de temperatuur (in kelvin) en a een constante. De levensduur van een chip van type A blijkt bij een temperatuur van 373 kelvin 0,1 jaar te zijn.
→ Hoeveel van deze chips zullen naar verwachting binnen 5 jaar stukgaan? Van de chips van type B vermoedt men dat μ kleiner is dan 8,0 jaar. Om dat te onderzoeken past een laboratorium hoge-temperatuurstress toe op 50 chips van type B. Als de levensduur van de chips van dit type normaal verdeeld is met μ = 8,0 en σ = 2,0 dan is de gemiddelde levensduur van de chips bij een steekproef van 50 chips normaal verdeeld Met de resultaten van het laboratorium heeft men berekend dat deze chips bij kamertemperatuur een gemiddelde levensduur van 7,2 jaar gehad zouden hebben. De aanname dat de levensduur van chips van type B bij gebruik bij kamertemperatuur normaal verdeeld is met een verwachtingswaarde μ van 8,0 jaar en een standaardafwijking σ van 2,0 jaar noemt men de nulhypothese.
opgave 6Gemiddelde functiewaarde
In figuur 7 is de grafiek getekend van een functie f.
De uitkomst hiervan noemen we
(4). Zie figuur 7.
figuur 7
Bij de volgende vraag kiezen we voor f de functie f (x) = x2.
184p
Bereken exact de waarde van
(4)
− f (4).
We kiezen nu voor f de functie f (x) = p ⋅ ex.
Voor een bepaalde waarde van
p geldt:
(4)
= 100.
194p
Bereken deze waarde van
p in twee decimalen nauwkeurig.
Bereken de oppervlakte van V.
Bereken exact voor welke waarde van a dit
Bereken met behulp van differentiëren in twee decimalen nauwkeurig hoeveel de grafiek
![^D^e^g^e^m^i^d^d^e^l^d^e^f^u^n^c^t^i^e^w^a^a^r^d^e^v^a^n^f^o^p^h^e^t^i^n^t^e^r^v^a^l^[^3^,^5^]^i^s^: (1)/(5 − 3)^ ⋅ ∫^5_3^f^(^x^)^d^x^.](fx/p06-84-87-405-aa449185.webp)
