bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2008, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Landing

In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van
een vliegtuig bij de landing.
Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 100 km van het
vliegveld (horizontaal gemeten) wordt het landingsproces ingezet.
We tekenen de baan van het vliegtuig in een assenstelsel: x is de afstand
(in km, horizontaal gemeten) vanaf het punt waar het landingsproces wordt
ingezet en y is de hoogte (in km).
De piloot begint het landingsproces in het punt (0, 8) en het vliegtuig komt in het
punt (100, 0) op de grond. Zie figuur 1.
figuur 1
y 8 O 100 x
De baan die het vliegtuig tijdens het landingsproces beschrijft, wordt in het
assenstelsel bij benadering gegeven door: y = 8 − 2,4 ⋅10−3 ⋅ x2 + 1,6 ⋅10−5 ⋅ x3
14p
Toon langs algebraïsche weg aan dat volgens bovenstaande formule het
vliegtuig zowel in het punt (0, 8) als in het punt (100, 0) een horizontale
bewegingsrichting heeft.
De snelheid in horizontale richting is tijdens het gehele landingsproces
500 km/u.
Er geldt dus: x = 500t, waarbij t het aantal uren na het inzetten van de landing is
en 0 ≤ t ≤ 0,2.
Voor de hoogte y geldt: y = 8 − 600 ⋅ t2 + 2000 ⋅ t3.
23p
Toon dit aan.
Om veiligheidsredenen mag de absolute waarde van de verticale versnelling
y''(t) tijdens het landingsproces niet groter zijn dan 1200 km/u2.
34p
Onderzoek of aan deze eis voldaan is.

opgave 2Een parabool vouwen

ABCD is een rechthoekig vel papier met daarop een punt F. We vouwen de
hoek bij B zo om dat een punt van de rand AB op F komt. Dat kan op allerlei
manieren. In figuur 2 staan drie voorbeelden.
figuur 2
B Q F P B
B Q F P B
Q B F P B
De vouwlijn noemen we PQ, met P
figuur 3
43puitwerkbijlage
op AB en Q op BC. De plaats van B
na het vouwen noemen we B'.
In figuur 3 is op de rand AB een punt
P gekozen. Deze figuur staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
Teken op de uitwerkbijlage zonder te
D C F A P B
vouwen het bijbehorende punt Q.
Licht je werkwijze toe.
De vouwlijnen PQ zijn allemaal
raaklijn aan één parabool. Zie
figuur 4.
Deze parabool heeft brandpunt F en
richtlijn AB.
figuur 4
D C F
In figuur 5 is een van de vouwlijnen
figuur 5
54puitwerkbijlage
PQ getekend. Deze vouwlijn raakt
de parabool in een punt R. Figuur 5
staat vergroot op de uitwerkbijlage.
Teken punt R op de uitwerkbijlage.
Licht je werkwijze toe.
D C Q F A P B
64p
In figuur 6 is Q het midden van BC.
Deze figuur staat vergroot op de
uitwerkbijlage.
Bewijs dat ∠BB'C = 90°.
figuur 6
D C B Q F A P B

opgave 3Heupoperaties

Patiënten lopen na een operatie in het ene ziekenhuis veel meer gevaar een
infectie te krijgen dan in het andere. In het jaar 2003 werden in een bepaald
ziekenhuis 120 heupoperaties uitgevoerd, waarna 6 patiënten een infectie
kregen. De directie vond het percentage van 5% infectiegevallen te hoog en
nam extra preventieve maatregelen. In 2004 werden 154 heupoperaties
uitgevoerd, met nu 2 infectiegevallen. Men vroeg zich af of dit betere resultaat
toeval was of door de extra preventieve maatregelen kwam.
73p
Bereken de kans op hoogstens 2 infectiegevallen bij 154 operaties voor het
geval dat de kans op infectie per operatie 0,05 is.
Omdat de zojuist berekende kans klein is, neemt men aan dat na de extra
preventieve maatregelen de kans op infectie na een operatie is afgenomen.
De kans op infectie na een operatie na de extra preventieve maatregelen
noemen we p.
84p
Bereken voor welke waarde van p geldt: de kans op hoogstens 2
infectiegevallen bij 154 patiënten is 0,05.
De afgelopen vijf jaar was de verpleegduur in Nederlandse ziekenhuizen voor
heupoperaties ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van 4,5 dagen
en een standaardafwijking van 1,8 dagen.
Enkele chirurgen hebben de laatste tijd bij heupoperaties een infectieremmend
medicijn toegediend. Een zorgverzekeraar beweert dat door behandeling met dit
medicijn de gemiddelde verpleegduur korter is dan 4,5 dagen. Men neemt een
aselecte steekproef van 100 patiënten die behandeld zijn met het medicijn.
Van deze 100 patiënten blijkt de gemiddelde verpleegduur 4,1 dagen te zijn.
De standaardafwijking van de gemiddelde verpleegduur van n patiënten is
dagen. n
96p
Onderzoek of door de uitkomst 4,1 dagen de zorgverzekeraar bij een
significantieniveau van 5% gelijk krijgt.

opgave 4Een achtkromme

In figuur 7 is in een assenstelsel de kromme k getekend, gegeven door x ( t ) = 2cos t y ( t ) = sin 2 t figuur 7 Deze kromme is symmetrisch ten opzichte van de x -as en de y -as. De kromme k heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze vier punten zijn de hoekpunten van een…

In figuur 7 is in een assenstelsel de kromme k getekend, gegeven door x ( t ) = 2cos t y ( t ) = sin 2 t figuur 7 Deze kromme is symmetrisch ten opzichte van de x -as en de y -as. De kromme k heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze vier punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.

Bereken in één decimaal nauwkeurig de oppervlakte van deze rechthoek. Voor coördinaten van de punten van k voldoen aan de vergelijking
Toon dit aan.

opgave 5Vier vragen over f ( x ) = ln x

De functie f is gegeven door
figuur 8
123p
f(x) = ln x.
Het punt E(e, 1) ligt op de grafiek
van f. Zie figuur 8.
De raaklijn in E aan de grafiek van f
gaat door O.
Toon dit aan.
y E 1 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 f -2
Het gebied dat wordt ingesloten door
figuur 9
134p
de grafiek van f, het lijnstuk OE en
de x-as is in figuur 9 grijs
aangegeven. Dit gebied wordt
gewenteld om de x-as.
Bereken de inhoud van het zo
verkregen omwentelingslichaam.
Geef je antwoord in twee decimalen
nauwkeurig.
y E 1 -2 -1 O 1 2 3 4 x f -1 -2
Voor elke waarde van x met 0 < x < 1
ligt het punt P(x, ln x) op de grafiek
van f.
We bekijken rechthoeken waarvan
twee zijden op de assen liggen en
waarvan P een hoekpunt is. Zie
figuur 10.
Er is een waarde van x waarvoor de
oppervlakte van de rechthoek
maximaal is.
figuur 10
y 1 -2 -1 O 1 2 3 4 x P -1 f -2
146p
Bereken langs algebraïsche weg de
exacte waarde van die maximale
oppervlakte.
156p
In figuur 11 zijn op de grafiek van f
twee punten A en B getekend met
de volgende eigenschappen:
De y-coördinaten van A en B zijn
elkaars tegengestelde.
De x-coördinaat van B is 5 keer zo
groot als de x-coördinaat van A.
Bereken de exacte waarde van de
x-coördinaat van A.
figuur 11 y 1 B -2 -1 O 1 2 3 4 x A -1 f -2

opgave 6De quotiëntrij van de rij van Fibonacci

We beschouwen de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ….
Deze rij wordt beschreven door de formules
uu^0_n = = uu^1_n_ − =_11 + u_n_ −_2 voor n ≥ 2
We maken bij de rij van Fibonacci een quotiëntrij door elke term (behalve de
eerste) door zijn voorganger te delen:
q_n = (un)/(u)_n_ −_1 voor n ≥ 1
163p
Toon aan dat voor n ≥ 2 geldt: q_n = 1 + (1)/(q)_n_ −_1
De quotiëntrij wordt dus beschreven door de formules
q1 = 1
q_n = 1 + (1)/(q)_n_ −_1 voor n ≥ 2
In de figuur op de uitwerkbijlage zijn de grafieken getekend van y = 1 + (1)/(x) en
y = x.
Verder is op de x-as de plaats van q1 aangegeven.
173p
Geef in deze figuur, met behulp van een webgrafiek, op de x-as de plaats van
de termen q2, q3 en q4 van de quotiëntrij aan.
De quotiëntrij heeft een limiet.
184p
Bereken deze limiet exact.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Twee gelijkzijdige driehoeken

In figuur 12 zijn twee gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE getekend met
gemeenschappelijk punt B. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 12
C B A E D
194p
Bewijs dat AE = CD.
In figuur 13 zijn van de twee gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE ook de
omgeschreven cirkels getekend. Deze omgeschreven cirkels hebben de punten
B en S gemeenschappelijk. Ook zijn de lijnstukken AS en SE getekend.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 13
C B A S E D
205p
Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is.