bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2008, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Een zwaartepunt

Van een cirkelschijf met
middelpunt (0, 0) en straal 1 is
het kwart getekend dat in het
eerste kwadrant ligt. De
cirkelboog is de grafiek van de
functie f die gegeven is door
f(x)= 1−x2
[0, 1]. Zie figuur 1.
We wentelen het kwart van de
y 1 f O 1 x
cirkelschijf om de x-as. Het
omwentelingslichaam dat dan
ontstaat is een halve bol.
Zie figuur 2.
Het zwaartepunt van de halve
bol ligt op de positieve x-as.
y x
Voor de x-coördinaat xZ van dit zwaartepunt geldt:
x_Z = (M)/(V), met
^M^ =^π^ ⋅ ∫^1^x^ ⋅^(^f^(^x^)^)^2^d^x en
0
V is de inhoud van de halve bol.
De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan (4)/(3)πr^3.
16p
Bereken xZ exact.

opgave 2Onder een grafiek

De functie f is gegeven door f(x) = e−x2.
Het punt P(p, e−p2) ligt op de grafiek van f, waarbij p > 0.
Onder de grafiek van f ligt een rechthoek PQRS met P en Q op de grafiek en R
en S op de x-as. Dus S is het punt (p, 0). Zie figuur 3.
figuur 3
y 1 f Q P -2 -1R O S 1 2 x
Punt P kan zo op de grafiek van f gekozen worden dat PQ = PS. PQRS is dan
een vierkant.
24p
Bereken de oppervlakte van dit vierkant.
Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van PQRS maximaal is.
35p
Bereken deze waarde van p exact.

opgave 3Een dobbelspel

De personen K en L spelen een dobbelspel. Elk van de spelers begint met twee
fiches; de pot is dan nog leeg. Zie figuur 4.
Bij het spel wordt geworpen met speciale dobbelstenen: op vier kanten van zo'n
dobbelsteen staat een stip (•), op één kant een A en op één kant een P. Zie
foto.
figuur 4
foto
K pot L
foto
De spelregels zijn:
− De spelers werpen om de beurt met één of twee dobbelstenen.
− De speler die aan de beurt is, werpt met één dobbelsteen als hij één fiche
heeft en met twee dobbelstenen als hij twee of meer fiches heeft.
− Voor elke A die een speler werpt, moet hij 1 fiche aan de andere speler
geven.
− Voor elke P die een speler werpt, moet hij 1 fiche in de pot doen.
− Voor een stip (•) hoeft hij geen fiche af te geven.
− Wanneer een speler geen fiches meer heeft, heeft hij verloren (en de andere
speler gewonnen).
Hiernaast staat een mogelijk
spelverloop waarbij speler K is
begonnen. In zijn tweede beurt
werpt speler K met één
dobbelsteen want hij heeft nog
maar één fiche.
aantal fiches van: K L pot 2 2 0 K werpt A 1 3 0 L werpt P P 1 1 2 K werpt P 0 1 3 L heeft gewonnen
Neem aan dat speler K begint.
De kans dat speler K na zijn eerste beurt nog 1 fiche heeft en L dan 3 fiches
heeft, is (2)/(9).
43p
Toon dit aan.
Op een gegeven moment heeft K 2 fiches, L 1 fiche en de pot 1 fiche. Op dit
moment is L aan de beurt.
54p
Bereken de kans dat, na deze beurt van L, K nog één beurt krijgt en het spel
daarna afgelopen is.
Een toeschouwer heeft het spel met de computer heel vaak gesimuleerd. Op
grond van het resultaat beweert hij dat de speler die begint, 43% kans heeft om
het spel te winnen en de andere speler 57%.
De spelers K en L spelen het spel tien keer, waarbij speler K steeds begint.
Veronderstel dat de toeschouwer gelijk heeft.
66p
Bereken de kans dat een van beide spelers minstens zeven keer wint.

opgave 4Driehoek en cirkel

In figuur 5 is een scherphoekige driehoek ABC getekend, met AC > AB, en de
cirkel met middelpunt A en straal AB.
Deze cirkel snijdt BC in D en AC in E.
De grootte van ∠BAC noemen we α.
Figuur 5 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 5
C E D A B
75p
Druk ∠CDE uit in α. Bewijs dat je antwoord juist is.

opgave 5Dozen met vaste inhoud

Uit een lange strook karton met een breedte van 15,0 dm worden dozen gemaakt met vierkante bodem en deksel en rechthoekige zijkanten. Daartoe wordt het karton verknipt in rechthoeken waarvan de breedte gelijk is aan 15,0 dm en de lengte afhangt van de gewenste hoogte van de doos. We noemen de…

Uit een lange strook karton met een breedte van 15,0 dm worden dozen gemaakt met vierkante bodem en deksel en rechthoekige zijkanten. Daartoe wordt het karton verknipt in rechthoeken waarvan de breedte gelijk is aan 15,0 dm en de lengte afhangt van de gewenste hoogte van de doos. We noemen de hoogte van de doos in dm x . Zo’n rechthoekig stuk karton wordt op acht plaatsen x dm ingeknipt, waarna zes vierkantjes van x bij x dm worden omgevouwen. Zie figuur 6. De stippellijnen zijn vouwlijnen. Tot slot wordt het karton gevouwen tot een doos. Zie figuur 7. figuur 6 figuur 7 De inhoud van de doos moet 100 dm 3 zijn.

Bereken bij welke lengtes van de kartonnen rechthoek dit het geval is. Geef je antwoord in dm, afgerond op 1 decimaal.
Er zijn ook stroken karton te verkrijgen met een andere breedte dan 15,0 dm. De breedte van het stuk karton in dm noemen we b . Zie figuur 8. figuur 8 We kijken in het vervolg van deze opgave steeds naar dozen waarvoor geldt: − de bodem en het deksel zijn vierkant, − de vier zijvlakken zijn…

Er zijn ook stroken karton te verkrijgen met een andere breedte dan 15,0 dm. De breedte van het stuk karton in dm noemen we b . Zie figuur 8. figuur 8 We kijken in het vervolg van deze opgave steeds naar dozen waarvoor geldt: − de bodem en het deksel zijn vierkant, − de vier zijvlakken zijn rechthoekig, − de inhoud is 100 dm 3 .

Toon aan dat deze formule juist is. Uit deze formule volgt dat De oppervlakte A van de kartonnen rechthoek waaruit de doos gemaakt wordt, is afhankelijk van x .
Toon aan dat deze formule juist is. Er zijn twee dozen (doos 1 en doos 2) die aan de specificaties voldoen en waarvoor geldt: − doos 2 is vier keer zo hoog als doos 1 (dus voor de hoogtes x 1 en x 2 van doos 1 en doos 2 geldt x 2 = 4 ⋅ x 1 ) en − voor doos 1 en doos 2 is evenveel karton nodig (dus…

Toon aan dat deze formule juist is. Er zijn twee dozen (doos 1 en doos 2) die aan de specificaties voldoen en waarvoor geldt: − doos 2 is vier keer zo hoog als doos 1 (dus voor de hoogtes x 1 en x 2 van doos 1 en doos 2 geldt x 2 = 4 ⋅ x 1 ) en − voor doos 1 en doos 2 is evenveel karton nodig (dus voor de benodigde oppervlaktes A 1 en A 2 van de kartonnen rechthoeken waaruit doos 1 en doos 2 gemaakt worden, geldt A 2 = A 1 ).

Bereken x 1 . Geef je antwoord in dm, afgerond op 2 decimalen.

opgave 6Zee verdelen

Een zee wordt begrensd door twee rechte kustlijnen: aan de ene kustlijn ligt land
A, aan de andere land B. G is het gemeenschappelijke punt van de kustlijnen. In
de zee ligt een ministaatje C dat we benaderen door een punt. Zie figuur 9.
Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 9
G land A land B zee ministaatje C
De zee wordt verdeeld tussen A, B en C volgens het naaste-buurprincipe.
126puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grenzen bij deze verdeling. Licht je
tekening toe.
In figuur 10 is een drielandenpunt D getekend. Er geldt dus: DK = DL = DC.
In figuur 10 zijn de raaklijnen aan twee aanliggende stukjes grenslijn in D
getekend. De grootte van de hoek tussen de twee raaklijnen noemen we β. De
grootte van de hoek die de rechte kustlijnen met elkaar maken in G noemen we
α. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 10
G land A land B zee ministaatje C K L D
134p
Toon aan dat β = 90° − (1)/(2)α.

opgave 7Exponentiële rijen

Een rij u0, u1, u2, … is gegeven door uu^0_n_ + =_11 = a^u^n met a > 1.
In figuur 11 zijn voor een zekere waarde van a in een rechthoekig assenstelsel
Oxy de grafiek van y = ax en de lijn y = x getekend. Deze figuur staat ook op
de uitwerkbijlage.
figuur 11
5 y 4 3 2 1 0 0 u = 1 2 3 4 5 0 x
143puitwerkbijlage
Teken met behulp van een webgrafiek in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats
van u1 en u2 op de x-as.
In de situatie van figuur 11 convergeert de rij u0, u1, u2, ….
In figuur 12 zijn voor een andere waarde van a de grafiek van y = ax en de lijn
y = x getekend. In deze situatie convergeert de rij u0, u1, u2, … niet.
figuur 12
5 y 4 3 2 1 0 0 u = 1 2 3 4 5 0 x
156p
Bereken exact de grootste waarde van a waarvoor de rij u0, u1, u2, …
convergeert.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8Rechthoek in ovaal

Het ovaal in figuur 13 bestaat uit een vierkant van 2 bij 2 met aan weerszijden
een halve cirkel met straal 1. M is het middelpunt van een van de halve cirkels.
figuur 13
M
In het ovaal wordt een rechthoek ABCD getekend met de hoekpunten op de
halve cirkels en met de zijden evenwijdig aan de zijden van het vierkant.
∠MAB = α rad (0 < α < (1)/(2)π). Zie figuur 14. Hierin is de rechthoekige driehoek
AMS te zien met rechthoekszijden sin α en cosα.
figuur 14
2 D C M 1 sin S A B cos
DOe = o2pspienr2vαla + kt4esOinvαa.n rechthoek ABCD kan uitgedrukt worden in α. Er geldt:
164p
Toon aan dat deze formule juist is.
Er geldt: (dO)/(dα) = 8 ⋅ cos1(1)/(2)α ⋅ cos (1)/(2)α.
174p
Toon aan dat de formule voor (dO)/(dα) juist is.
Er is een waarde van α, met 0 < α < (1)/(2)π, waarvoor de oppervlakte van rechthoek
ABCD maximaal is.
184p
Bereken langs algebraïsche weg de maximale oppervlakte van rechthoek
ABCD.