bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2023, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Gebroken functie

De functie f wordt gegeven door:
f(x) = (x − 2x)/(x − 3)^2
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in O.
Zie de figuur.
figuur
figuur
13p

Product- en quotiëntregel 2p · Raaklijnen aan grafieken 1pexact

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van l.
De grafiek van f heeft een scheve asymptoot en een verticale asymptoot.
Deze twee asymptoten snijden elkaar in het punt S.
De grafiek van f ondergaat een translatie van 2 naar rechts en b omhoog.
De grafiek die zo ontstaat, hoort bij de functie g. De waarde van b is zó
gekozen dat S op de grafiek van g ligt.

opgave 3Sinus en cosinus getransformeerd

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2sin(x − (1)/(3)π).
Het lijnstuk AB verbindt de punten A(12π,1) en B(16π,1).
De grafiek van f snijdt dit lijnstuk in meerdere punten.
34p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 4pexact

Bereken exact de x-coördinaten van deze snijpunten.
De functie g wordt gegeven door g(x) = 2cos(x − (3)/(4)π) + 2.
Voor elke waarde van a snijdt de verticale lijn met vergelijking x = a de
grafieken van f en g elk in één punt. Het midden van deze twee punten
ligt voor sommige waarden van a op de x-as. Op het domein [0,2π] is dat
voor twee waarden van a het geval. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
43p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken voor welke twee waarden van a dit het geval is. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
De functie h wordt gegeven door h(x) = f(x) + 3 ⋅ g(x). In figuur 2 zijn de
grafieken van f en h weergegeven.
figuur 2
figuur 2
Je kunt de grafiek van h laten ontstaan uit de grafiek van f door middel
van meerdere translaties en één vermenigvuldiging ten opzichte van de
x-as. Neem aan dat dit een vermenigvuldiging is met factor p. Daarbij
geldt dat p > 0.
54p

Extremen en optimaliseren 2p · Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1pGR mag

Bereken deze waarde van p. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 4Projectie op een lijn

Gegeven zijn de punten A(−2, − 2), B(2,2) en C(1(3)/(5),8(4)/(5)).
Lijn l is de lijn met de vectorvoorstelling:
xy = 19 + t ⋅ − 31
Het punt C is de loodrechte projectie van A op lijn l en het punt D is de
loodrechte projectie van B op lijn l.
Zie de figuur.
figuur
figuur
Lijnstuk AB is √(k) keer zo lang als lijnstuk CD. Hierin is k een geheel
getal.

opgave 5Twee e-machten

De functies f en g worden gegeven door f(x) = ex − 1 en g(x)=3(1−e−x).
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
figuur
figuur
De x-coördinaten van de enige twee snijpunten van de grafieken van
f en g zijn x = 0 en x = ln(3).
74p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bewijs dat dit juist is door de vergelijking f(x) = g(x) exact op te lossen.
De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. In de figuur is dit
vlakdeel grijs gemaakt.
84p

Bepaalde integralen en oppervlakte 3p · Primitiveren 1pexact

Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
De functie h wordt gegeven door:
h(x) = (f (x))/(g(x))
De grafiek van h heeft één perforatie.
93p

Formules herleiden en omwerken 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.

opgave 6Basketbal

In deze opgave kijken we naar de baan van
een basketbal, wanneer een speler deze mikt
op de basket, het cirkelvormige doel. We
gebruiken hiervoor een wiskundig model,
waarbij we de bal als een punt beschouwen.
We nemen aan dat de bal vanaf 2,55 meter
hoogte wordt losgelaten.
Voor de baan van de bal geldt:
xy((tt)) = = vv ⋅ ⋅ csions((αα)) ⋅ ⋅ tt − 4,9t^2 + 2,55
Hierbij geldt:
figuur bij de opgave
− t is de tijd in seconden vanaf het moment van loslaten;
− x is de horizontale afstand van de bal tot de speler in meters;
− y is de hoogte van de bal in meters;
− v is de snelheid in meters per seconde van de bal op het moment van
loslaten;
− α is de grootte van de hoek in graden tussen de werprichting en een
horizontale lijn op het moment van loslaten.
De vorm van de baan is afhankelijk van de parameters v en α.
Zie figuur 1, waarin een deel van de baan is getekend.
figuur 1
figuur 1
Een basketballer staat op een horizontale afstand van 6 meter van het
midden van de basket. De basket hangt op een hoogte van 3,05 meter.
De basketballer gooit de bal met een bepaalde snelheid onder een hoek α
van 60°. In deze situatie geldt:
xy((tt)) = = vv ⋅ ⋅ csions((6600°°)) ⋅ ⋅ tt − 4,9t^2 + 2,55
Als de bal op een horizontale afstand van 6 meter vanaf de speler een
hoogte van 3,05 meter heeft, scoort hij.
105p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken in deze situatie algebraïsch de snelheid v van de bal op het
moment van loslaten. Geef je eindantwoord in meters per seconde in één
decimaal.
Op een ander moment staat de basketballer opnieuw op een horizontale
afstand van 6 meter van het midden van de basket. Hij gooit de bal onder
een hoek α van 50°, nu met een snelheid van 8 meters per seconde.
In deze situatie geldt:
xy((tt)) = = 88csions((5500°°)) ⋅ ⋅ tt − 4,9t^2 + 2,55
De bal gaat dan onder een bepaalde hoek β door de basket. Deze hoek is
in figuur 2 aangegeven.
figuur 2
figuur 2
115p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1p · +1exact

Bereken algebraïsch de grootte van hoek β in graden. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

opgave 7Absolute waarde en wortelfunctie

De functie f wordt gegeven door De grafiek van f heeft links van de y -as een top T . Zie figuur 1. figuur 1

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de x -coördinaat van punt S.
De horizontale lijn l heeft vergelijking y = − 3 . Deze lijn heeft twee punten gemeenschappelijk met de grafiek van f , namelijk P ( − 3, − 3) en (0, − 3) . Het gebied V wordt ingesloten door de grafiek van f en lijn l . In figuur 3 is dit gebied grijs gemaakt. figuur 3 Gebied V wordt gewenteld om…

De horizontale lijn l heeft vergelijking y = − 3 . Deze lijn heeft twee punten gemeenschappelijk met de grafiek van f , namelijk P ( − 3, − 3) en (0, − 3) . Het gebied V wordt ingesloten door de grafiek van f en lijn l . In figuur 3 is dit gebied grijs gemaakt. figuur 3 Gebied V wordt gewenteld om lijn l .

opgave 8Boogbrug

In Amsterdam komen boogbruggen voor. Zie de foto.
foto
foto
In een andere stad moet een soortgelijke brug worden gemaakt.
Het aanzicht van het wegdek, gezien vanaf het water, wordt door het
volgende model beschreven:
f(x) = 0,00004x4 − 0,012x2 + 2,3 met −10 ≤ x ≤ 10
Hierin is x in meters en f(x) de hoogte van het wegdek in meters ten
opzichte van het water. In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
figuur 1
figuur 1
De ontwerper heeft als eis gesteld dat het hellingspercentage van het
wegdek maximaal 12% mag zijn. Dit wil zeggen dat de absolute waarde
van de helling van f overal kleiner dan of gelijk aan 0,12 moet zijn. Dit kun
je controleren door te bepalen hoe groot het maximum van de absolute
waarde van de helling is.
155p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Onderzoek op algebraïsche wijze of het model aan deze eis voldoet.
Onder het wegdek wil de ontwerper drie doorgangen maken. In het
midden komt een brede doorgang. Daarnaast komt aan beide kanten een
doorgang in de vorm van een halve cirkel. We bekijken in de rest van
deze opgave alleen de rechter doorgang.
Het middelpunt M van de doorgang ligt 5 meter rechts van de oorsprong.
Het punt P(p, f(p)) is een punt op het wegdek. Om de straal van de
doorgang te berekenen houdt de ontwerper rekening met de eis dat het
punt op het wegdek met de kleinste afstand tot de doorgang zich op
0,30 meter van de doorgang moet bevinden.
In figuur 2 is de doorgang weergegeven die aan deze eis voldoet. In deze
situatie geldt:
− de lengte van lijnstuk PM is minimaal én
− de lengte van lijnstuk PR is 0,30 meter, waarbij R het snijpunt is van
PM en de halve cirkel.
figuur 2
figuur 2
166p

Afstanden met coördinaten 3p · Extremen en optimaliseren 3pGR mag

Bereken de straal MR van de cirkelvormige doorgang in meters. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.

opgave 9Rechthoek met drie cirkels

In de figuur is een rechthoek ABCD getekend met daarin drie cirkels. Ook
is de diagonaal BD getekend. Hierdoor ontstaan de driehoeken ABD en
BCD. Gegeven is verder:
− de drie cirkels hebben dezelfde straal r;
− de onderste cirkel heeft middelpunt M en raakt aan elke zijde van
driehoek ABD. Deze cirkel raakt zijde BD in het punt F. Er geldt dus
dat MF loodrecht op zijde BD staat;
− de bovenste cirkel heeft middelpunt N en raakt aan elke zijde van
driehoek BCD. Deze cirkel raakt zijde BD in het punt G. Er geldt dus
dat NG loodrecht op zijde BD staat;
− het middelpunt S van de middelste cirkel is het snijpunt van FG en
MN;
− de middelste cirkel raakt aan de bovenste en aan de onderste cirkel.
In de figuur is vierhoek MFNG
figuur
aangegeven. Deze vierhoek is te
verdelen in twee rechthoekige
driehoeken MFG en FNG.
figuur
175p

Meetkundig bewijzen 1p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1pGR mag

Onderzoek of de oppervlakte van vierhoek MFNG groter dan, kleiner dan
of gelijk aan de oppervlakte van een van de cirkels is.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.