bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2024, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Stijgend en horizontaal

De functie f wordt gegeven door f(x) = x^5 − 3x√(x).
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
figuur 1
figuur 1
Op de grafiek ligt het punt A(1, − 2).
13p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1pexact

Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.
Het lijnstuk PQ is horizontaal en heeft lengte (1)/(2).
De eindpunten P en Q van dit lijnstuk liggen op de grafiek van f.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
24p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken de x-coördinaat van P. Geef je eindantwoord in drie decimalen.

opgave 3Wachttijden

Een wachttijd is de tijd die je op een dienst moet wachten. Denk hierbij
bijvoorbeeld aan de tijd die nodig is om een medewerker van een
klantenservice aan de telefoon te krijgen of de tijd die nodig is voordat je
wordt geholpen bij de bakker.
In 1909 ontwikkelde de Deense wiskundige Agner Erlang een wiskundig
model om te berekenen in hoeveel procent van de gevallen bepaalde
wachttijden voorkomen. Dit percentage komt overeen met de oppervlakte
onder een grafiek.
In deze opgave gaan we uit van een dienst waarbij het volgende model
van Erlang hoort:
f(t) = 50e^ − (1)/(2)^t met t ≥ 0
Hierbij is t de tijd in minuten.
Stel dat je wilt weten in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd
tussen 3 en 4 minuten ligt. Je bepaalt dan de oppervlakte van het gebied
dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de t as en de lijnen met
vergelijking t = 3 en t = 4. Deze oppervlakte blijkt (afgerond) 8,8 te zijn.
Dit wil zeggen dat in 8,8% van alle gevallen de wachttijd tussen 3 en 4
minuten ligt. Zie de figuur.
figuur
figuur
33p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 1pexact

Bereken algebraïsch in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd
tussen 0 en 3 minuten ligt. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Een wachttijd van meer dan twintig minuten komt in dit voorbeeld zelden
voor. Daarom wordt de gemiddelde wachttijd berekend met:
(1)/(100) ⋅^2_0^0t ⋅ f(t)dt
Om de gemiddelde wachttijd te kunnen berekenen, maakt iemand gebruik
van het gegeven dat y = (1)/(a)t − (1)/(a2) e^a^t een primitieve is van y = teat
(met a ≠ 0).
43p

Formules herleiden en omwerken 1p · Product- en quotiëntregel 1pexact

Bewijs dat y = (1)/(a)t − (1)/(a2) e^a^t inderdaad een juiste primitieve is van y = teat
voor elke waarde van a (met a ≠ 0).
54p

Bepaalde integralen en oppervlakte 3p · Primitiveren 1pexact

Bereken algebraïsch de gemiddelde wachttijd in minuten voor de situatie
met f(t) = 50e^ − (1)/(2)^t. Geef je eindantwoord als geheel getal.

opgave 5Logaritme, wortel en exponent

De functie wordt gegeven door log .
De functie g is de inverse functie van f.
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
figuur
figuur
Het gestippelde lijnstuk in de figuur is het kortst mogelijke verticale
lijnstuk dat de grafieken van f en g met elkaar verbindt.
75p

Inverse functies 2p · Extremen en optimaliseren 2pGR mag

Bereken de lengte van dit lijnstuk. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.
Op de grafiek van f ligt punt P met x-coördinaat p en punt Q met
x-coördinaat p + 1.
Voor elke waarde van p kan het verschil yQ − yP worden bepaald.
86p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 5p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Onderzoek op exacte wijze of er een waarde van p is waarvoor dit verschil
gelijk is aan 3.

opgave 6Klavertje drie

Het punt P beweegt over een baan gegeven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
xy^P_P((tt)) = = 44csions((tt)) + + scions((44tt)) met t in seconden en 0 ≤ t ≤ 2π
De baan waarover punt P beweegt, is weergegeven in de figuur.
Het punt Q beweegt ook over deze baan. Punt Q loopt π seconden voor
op punt P. De bewegingsvergelijkingen van Q zijn dus:
xy^Q_Q((tt)) = = 44csions((tt + + ππ)) + + scions((44((tt + + ππ)))) met t in seconden en 0 ≤ t ≤ 2π
Er zijn twee momenten waarop P en Q recht boven elkaar liggen, dus dan
geldt xP = xQ. In de figuur is zo’n situatie weergegeven.
figuur
figuur
95p

Goniometrische formules en herleidingen 2p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 1p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de afstand tussen P en Q in deze situaties.
Op tijdstip t = (2)/(3)π bevindt het punt P zich in (^ −^2(1)/(2)^,^2(1)/(2)√(3)).
106p

Kettingregel 2p · Parametervoorstellingen en bewegingen 2p · Hoek tussen lijnen 1pexact

Bereken exact de scherpe hoek in graden tussen de raaklijn aan de baan
in punt P en de x as.

opgave 7Halve cirkel

Gegeven zijn de punten A(− 1,0) en B(3,0). Verder is gegeven de cirkel c
met middellijn AB. De lijn k gaat door de oorsprong O en snijdt cirkel c in
punt P. De afstand tussen O en P is gelijk is aan 2(1)/(2). In figuur 1 zijn lijn k
en de bovenste helft van cirkel c getekend.
figuur 1
figuur 1
114p

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Stelsels van lineaire vergelijkingen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaat van P.
In figuur 2 is de driehoek BRO getekend met BRO = 90°, punt R boven
de x-as en OR = 1. De lijn door B en R snijdt c in het punt S. Driehoek BSA
is dan een driehoek met ASB = 90°. Vierhoek AORS is grijs
weergegeven.
figuur 2
figuur 2
125p

Gelijkvormigheid 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2pexact

Bereken exact de oppervlakte van vierhoek AORS.

opgave 8Top, asymptoot en geen perforatie

Voor elke waarde van a wordt de functie fa gegeven door:
f_a(x) = (ax − 2)/(x2 + a)^2
Er bestaat geen waarde van a waarvoor de grafiek van fa een perforatie
heeft.
134p

Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bewijs dit.
In het volgende onderdeel zijn de mogelijke waarden van a de positieve
getallen, dus a > 0.
De grafiek van fa heeft één top T en deze ligt op de y-as. Verder heeft de
grafiek van fa een horizontale asymptoot. Punt S is het snijpunt van de
horizontale asymptoot en de y-as. Als voorbeeld is in de figuur de grafiek
van f3 weergegeven.
figuur
figuur
De lengte van lijnstuk ST is afhankelijk van a. Deze lengte heeft een
minimum.
146p

Eigenschappen van functies en grafieken 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · +1exact

Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk
ST minimaal is.

opgave 9Vereenvoudigde sterrenkunde

De Wet van Titius-Bode1) is een wet uit de astronomie die door Johann
Titius werd opgesteld in de achttiende eeuw. Deze wet legt een verband
tussen het rangnummer van een planeet en de afstand van die planeet
tot de zon. Met het rangnummer van een planeet wordt bedoeld: ‘de
zoveelste planeet geteld vanaf de zon’. De planeet die het dichtst bij de
zon staat krijgt nummer 1, de volgende 2 enzovoorts.
De wet luidt:
a = 0,4 + 0,3 ⋅ 2n−2
Hierin is a de afstand van de planeet tot de zon uitgedrukt in AE
(Astronomische Eenheid, 1 AE = afstand van de aarde tot de zon) en is n
het rangnummer van de planeet.
Saturnus heeft volgens de Wet van Titius-Bode een afstand van 10 AE tot
de zon.
152p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2pexact

Bereken exact welk rangnummer Saturnus dan zou hebben.
We bekijken de planeten figuur 1 (afstanden in AE)
Mars, Venus en de aarde.
We gaan uit van het
volgende eenvoudige
model:
De drie planeten draaien
ieder in een cirkelvormige
baan met de zon als
middelpunt. De drie
banen liggen in één plat
vlak.
De afstand van Venus tot
de zon is 0,7 AE, de
afstand van de aarde tot
de zon is 1,0 AE en de
afstand van Mars tot de
zon is 1,6 AE.
figuur bij de opgave
Het is mogelijk dat de drie planeten op één lijn liggen waarbij Venus
precies midden tussen Mars en de aarde in ligt. Deze situatie is
weergegeven in figuur 1.
noot 1 Er is geen wetenschappelijke onderbouwing voor deze wet en er wordt tegenwoordig
aangenomen dat de wet alleen berust op een toevallige overeenkomst met de
werkelijke afstanden.
De afstand in AE van de aarde tot Venus is d en hoek AVZ in graden is α.
Met behulp van figuur 1 kan het volgende verband tussen d en α worden
gevonden:
(d − 0,51)/(cos(α))^2 = (d − 2,07)/(cos(180 − α))^2
163p

Sinusregel en cosinusregel 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dat dit verband juist is.
173p

Goniometrische formules en herleidingen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken algebraïsch de afstand in AE van de aarde tot Venus in de
gegeven situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
Meestal wordt gezegd dat de planeten in ons zonnestelsel om de zon
draaien. Dat klopt echter niet helemaal: de zon en de planeten draaien
allemaal om hun gemeenschappelijke zwaartepunt.
Stel dat het zonnestelsel alleen zou bestaan uit Jupiter en de zon. We
beschouwen deze twee hemellichamen als twee puntmassa’s.
Jupiter is verreweg de zwaarste planeet in ons zonnestelsel met een
massa van 2 ⋅1027 kg en een afstand tot de zon van 8 ⋅108 km. De zon
heeft een massa van 2 ⋅1030 kg. Zie figuur 2 (niet op schaal).
figuur 2
figuur 2
De kleine cirkel in figuur 2 is de baan van de zon om het zwaartepunt.
184p

Vectoren en inproduct 4pGR mag

Bereken de straal van deze baan in km. Geef je eindantwoord in
honderdduizendtallen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.