opgave 1Sjinkie
Begin 2015 werd Sjinkie Knegt
in Dordrecht voor de tweede
maal in zijn carrière Europees
kampioen shorttrack. Zo'n
kampioenschap bestaat uit het
schaatsen van de vier
afstanden 500 m, 1000 m,
1500 m en 3000 m. Per afstand
kun je punten verdienen.
Degene met de meeste punten
na vier afstanden is de winnaar.
De beste acht deelnemers per afstand krijgen de volgende aantallen
punten:
− de eerste plaats krijgt 34 punten;
− de tweede plaats krijgt 21 punten;
− de derde plaats krijgt het aantal punten van de eerste plaats
verminderd met het aantal punten van de tweede plaats, dus
34 − 21 = 13 punten;
− de vierde plaats krijgt het aantal punten van de tweede plaats
verminderd met het aantal punten van de derde plaats, dus
21 −13 = 8 punten;
− zo gaat het verder, tot 1 punt voor de achtste plaats.
Op die manier ontstaat een deel van de rij van Fibonacci.
Deelnemers die op plaats 9 of lager eindigen, krijgen voor die afstand
geen punten.
In werkelijkheid kunnen er op sommige afstanden extra punten worden
behaald in tussensprints. Deze laten we voor deze opgave buiten
beschouwing.
12pRijen en recursie 2p
Bereken hoeveel punten de zesde plaats oplevert.
Een deelnemer staat na drie van de vier afstanden op de derde plaats met
6 punten voorsprong op degene die op de vierde plaats staat, nummer
vier dus. Nummer twee is niet meer in te halen. Nummer drie overweegt
daarom als tactiek voor de vierde afstand om precies achter de nummer
vier te blijven en te finishen.
23pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Is dit een veilige tactiek om de derde plaats te behouden? Licht je
antwoord toe.
De organisatie overweegt om in een andere shorttrackwedstrijd dezelfde
structuur in de puntentelling toe te passen. Nu wil men echter aan de
eerste twaalf plaatsen per afstand punten toekennen, waarbij plaats
twaalf 1 punt krijgt en plaats elf 2 punten en elke volgende plaats de som
van de vorige twee puntenaantallen.
Dit is weergegeven in de volgende recursieve formule, die geldt
voor n ≤ 10:
un = un+1 + un+2 met u12 = 1 en u11 = 2
Hierin is un het aantal punten dat plaats n krijgt.
33pRijen en recursie 3p
Bereken hoeveel punten de eerste plaats in deze puntentelling krijgt.
Sjinkie Knegt won de 1500 m tijdens het toernooi in Dordrecht in een tijd
van 2 minuten en 14,065 seconden. Een jaar later reed Sjinkie een
wereldrecord op deze afstand, met een tijd van 2 minuten en 7,943
seconden.
44pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken hoeveel procent zijn gemiddelde snelheid groter was toen hij het
wereldrecord reed dan toen hij in Dordrecht reed. Geef je antwoord in één
decimaal.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 2Vacuümgaren
In restaurants en bij hobbykoks is het zogeheten vacuümgaren, een
methode voor het gaar laten worden van voedsel, steeds meer in opmars.
Bij vacuümgaren wordt, bijvoorbeeld, vlees in een vacuümzak gegaard in
een warmwaterbak, ook wel sous-vide genoemd.
foto 2: vlees in vacuümzak
De bak waarin het water zit, heeft bij benadering de vorm van een balk
met binnenafmetingen van 27,5 bij 19,5 bij 12,0 cm (respectievelijk lengte,
breedte en hoogte). In de bak zit 2,0 cm onder de rand een maatstreepje.
Als het vlees in de vacuümzak in de waterbak ligt, mag de waterspiegel
niet boven dit maatstreepje uitkomen.
Op foto 2 is een entrecote in een vacuümzak afgebeeld die in de
sous-vide van foto 1 gegaard wordt. Foto's 1 en 2 zijn niet op dezelfde
schaal afgebeeld.
De entrecote op foto 2 is 3,5 cm dik. Het boven- en onderoppervlak van
de entrecote zijn gelijk, met elk een oppervlakte van ongeveer 120 cm2.
Het volume van de vacuümzak mag worden verwaarloosd.
53pOppervlakte, inhoud en schaal 3p
Bereken hoeveel liter water maximaal in de sous-vide gedaan mag
worden. Geef je antwoord in één decimaal.
Hoelang vlees in een sous-vide gegaard moet worden, hangt af van het
soort vlees en van de dikte. Hoe dikker een stuk vlees, hoe langer dit
gegaard zal moeten worden.
In de rest van de opgave bekijken we de gaartijd van een entrecote. Dat
is de minimale tijd die nodig is om een entrecote in een sous-vide te
garen. Deze is gaar als de kern ervan een temperatuur van 56 °C bereikt
heeft.
De Engelse fabrikant van een bepaald merk sous-vide heeft een tabel
gemaakt voor het verband tussen de gaartijd van een entrecote en de
dikte in inches (1 inch = 2,54 cm). In de volgende tabel is een deel
hiervan weergegeven.
tabel
De fabrikant heeft daarbij de volgende opmerking geplaatst:
Uit de waarden in de tabel volgt echter dat dit geen exponentieel verband
is.
63pExponentiële functies en groei 3p
Toon dit met een berekening aan.
De fabrikant geeft naast de tabel ook een grafiek voor het verband tussen
de dikte en de gaartijd. Zie de figuur.
figuur
Bij het maken van de tabel en de figuur blijkt de fabrikant uit te zijn
gegaan van een kwadratisch verband tussen de dikte en de gaartijd. Dit
verband wordt gegeven door de formule:
T = 0,5916d2 + 0,0689d + 0,3329 met d ≥ 0,5
Hierin is d de dikte van de entrecote in inches. T is de gaartijd in uren.
Er zijn koks die als vuistregel hanteren dat een entrecote met een dikte
van een inch een gaartijd van een uur heeft en dat de gaartijd
recht evenredig is met de dikte. Een entrecote met een dikte van,
bijvoorbeeld, 1,5 inch heeft dan dus een gaartijd van 1,5 uur.
Voor een entrecote van 1,3 inch is de gaartijd volgens de vuistregel van
de kok korter dan de gaartijd volgens de formule.
73pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken hoeveel minuten korter die gaartijd volgens de vuistregel is. Geef
je antwoord in gehele minuten.
Nadat een entrecote in een sous-vide gegaard is, wordt die ook nog kort
op een grill of in een pan aangebakken. Hierdoor zal de entrecote nog iets
verder garen.
Daarom is het bij het bereiden van niet al te dikke entrecotes geen
probleem dat de benadering van de gaartijd volgens de vuistregel meestal
iets te laag uitvalt. Bij het bereiden van dikkere entrecotes is dat wel een
probleem, omdat de kern dan nog te rauw kan blijven. Het verschil tussen
de gaartijd volgens de formule en de gaartijd volgens de vuistregel loopt
namelijk snel op.
opgave 3Support
Softwarebedrijven maken nieuwe software maar moeten ook aandacht
besteden aan het geven van support aan hun klanten. Het geven van
deze support kost bij veel softwarebedrijven steeds meer tijd. Als een
softwarebedrijf vervolgens geen nieuw personeel wil aannemen, gaat de
toenemende tijd die besteed wordt aan support ten koste van de tijd voor
het ontwikkelen van nieuwe software.
Bij softwarebedrijf X-tent-O is geconstateerd dat men, als gevolg van deze
toenemende vraag naar support, elke maand minder tijd dan in de maand
daarvoor besteedt aan het ontwikkelen van nieuwe software.
Alleen voor de volgende vraag gaan we ervan uit dat er door de
toenemende vraag naar support elke maand 2% minder tijd aan
ontwikkelen besteed wordt dan in de maand daarvoor. Ga er ook van uit
dat er in de beginsituatie geen tijd besteed wordt aan support.
94pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel procent van de tijd er dan na drie jaar nog aan het
ontwikkelen van nieuwe software wordt besteed. Geef je antwoord in
gehele procenten.
Vanaf nu veronderstellen we echter dat er door de toenemende vraag
naar support elke maand 3% minder tijd aan het ontwikkelen van nieuwe
software wordt besteed dan in de maand daarvoor. Zie de figuur.
figuur
Als er elke maand 3% van de beschikbare werktijd afgaat voor support,
dan kun je het percentage werktijd P dat aan support wordt besteed, met
de volgende formule berekenen:
P=100⋅(1−0,694t)
Hierin is t de tijd in jaren vanaf de start van het bedrijf.
Uit de figuur blijkt dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan
support wordt besteed en dat er na vijf jaar nog maar (ongeveer) 16% van
de beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.
103pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het
percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf
jaar na de start van het bedrijf. Geef je antwoord in gehele procenten.
Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft, zoals ook in
de figuur te zien is, een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt
afnemend naar die grenswaarde.
114pStijgen, dalen en veranderingsgedrag 4p
Beredeneer aan de hand van de formule P=100⋅(1−0,694t), zonder
getallen in te vullen of een schets te maken, dat het percentage werktijd
dat aan support wordt besteed inderdaad afnemend stijgt.
Je kunt het verband P=100⋅(1−0,694t) ook zó herschrijven, dat je bij
een gegeven percentage dat aan support wordt besteed, kunt berekenen
na hoeveel jaren dat percentage wordt bereikt. Dat verband is van de
vorm t =alog(b + c ⋅ P).
opgave 4Wereldrecord kratten stapelen
Het wereldrecord kratten stapelen
stond in 2005 op naam van het
dorpje Limmen in Noord-
Holland. De inwoners van
Limmen stapelden een piramide
van 63 365 kratten.
De piramide was als volgt
opgebouwd: de bovenste laag
noemen we de eerste laag en
bevat één krat. De laag
daaronder is de tweede laag en
bevat twee bij twee, dus vier kratten.
De hoekpunten van de bovenste krat
liggen steeds op de middens van de
kratten eronder. De derde laag heeft
drie bij drie, dus negen kratten,
enzovoort. Zie de foto
en de schematische figuur.
Op de uitwerkbijlage zie je een perspectieftekening van de tweede laag
van de piramide.
135puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 5p
Teken boven op deze tweede laag op de uitwerkbijlage de krat van de
eerste laag.
Voor het totale aantal kratten Tn van een dergelijke piramide geldt de
volgende formule:
Hierbij is n het aantal lagen.
Zoals je op de foto kunt zien, worden de lagen vanaf de onderkant
opgebouwd.
153pFormules herleiden en omwerken 3p
Laat deze herleiding zien en laat a, b en c als breuk staan.
In 2011 moest Nederland het wereldrecord afstaan aan Duitsland, waar
men met 105 995 kratten een piramide heeft gebouwd.
Elin beweert dat de Duitse piramide niet op dezelfde manier kan zijn
opgebouwd als de Nederlandse piramide.
kan herleid worden tot de vorm
