opgave 1Matroesjka
Een matroesjka is een holle houten
pop die onderdeel is van een reeks
steeds kleinere in elkaar passende
poppen. De poppen kunnen
opengemaakt worden door middel van
een naad in de buik, behalve de
kleinste, die vaak als baby is
beschilderd. Zo’n reeks bestaat meestal
uit zeven of acht poppetjes, maar ook
andere aantallen komen voor.
De poppen worden natuurlijk telkens kleiner en smaller en zijn van steeds
dunner materiaal gemaakt.
We gaan er in deze opgave van uit dat de matroesjka’s exacte
verkleiningen van elkaar zijn.
Bij een bepaalde serie van zeven matroesjka’s is de hoogte van elke
volgende pop 20% kleiner dan de vorige. De grootste pop is 28 cm hoog.
13pExponentiële functies en groei 3p
Bereken de hoogte van het kleinste poppetje. Geef je antwoord in
hele mm.
Niet alleen de hoogte van de poppetjes neemt telkens af. Ook de dikte
van het hout waarvan elk volgend poppetje gemaakt is, neemt telkens af
met dezelfde factor. Omdat het gewicht van een poppetje evenredig is
met het volume van het gebruikte hout, worden de poppetjes snel lichter.
We kijken weer naar de bovengenoemde serie van zeven matroesjka’s.
We nemen aan dat alle afmetingen van een volgende pop telkens
20% kleiner zijn dan die van de voorgaande pop.
23pOppervlakte, inhoud en schaal 1p · Exponentiële functies en groei 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel procent het gewicht van het kleinste poppetje van
bovengenoemde serie is van het gewicht van het grootste poppetje. Geef
je antwoord in hele procenten.
Naarmate een serie uit meer poppetjes bestaat, wordt het maken ervan
steeds lastiger. Omdat de poppetjes dan niet te snel veel kleiner mogen
worden en wel precies in elkaar moeten passen, moeten ze van heel dun
materiaal gemaakt worden. De grootste serie matroesjka’s is gemaakt in
2003 door de Russische Youlia Bereznitskaia. Die serie bestaat uit
51 poppetjes. De grootste pop is 53,97 cm hoog, de kleinste 0,31 cm.
Als de vergrotingsfactor bij elke opeenvolgende pop dezelfde is, moet die
ongeveer 0,9 zijn.
33pExponentiële functies en groei 3p
Bereken deze vergrotingsfactor. Geef je antwoord in drie decimalen.
Als je al deze 51 poppen in de lengte achter elkaar legt, is dat een flinke
sliert.
De lengte daarvan kun je berekenen met een rij gedefinieerd door de
volgende recursieve formule:
S(n) = S(n −1) + 53,97 ⋅0,9n met S(0) = 53,97
Hierbij is S(n) de lengte van de sliert tot en met de n-de verkleining van
het eerste poppetje.
44pRijen en recursie 4p
Bereken, uitgaande van de formule van S(n), de lengte van deze sliert.
Geef je antwoord in hele millimeters.
opgave 2Temperatuurschalen
In Nederland drukken we temperaturen meestal uit in graden Celsius (°C),
maar er bestaan veel meer temperatuurschalen. In deze opgave bekijken
we een aantal van deze temperatuurschalen.
In de Verenigde Staten wordt de temperatuur uitgedrukt in graden
Fahrenheit (°F). De Fahrenheitschaal is in 1724 ontwikkeld door de
Duitser Gabriel Fahrenheit. Hij gebruikte bij het bedenken van deze
schaal de volgende drie referentiepunten:
1 Hij maakte een mengsel van ijs, water en een bepaald soort zout. Dat
was in die tijd de manier om een zo laag mogelijke temperatuur te
verkrijgen. Die temperatuur noemde hij 0 °F.
2 Het vriespunt van water. Dat noemde hij 32 °F.
3 De lichaamstemperatuur van een gezond mens. Die noemde hij 96 °F.
In graden Celsius is de lichaamstemperatuur van een gezond mens gelijk
aan 37 °C en is het vriespunt van water 0 °C. Zowel de Celsiusschaal als
de Fahrenheitschaal is lineair. En ook het verband tussen de temperatuur
in graden Celsius en die in graden Fahrenheit is lineair.
54pLineaire functies 4p
Bereken met behulp van de bovenstaande referentiepunten de
temperatuur in °C van het ijsmengsel dat Fahrenheit gebruikte.
De metingen van Fahrenheit waren vrij onnauwkeurig en daarmee was
zijn temperatuurschaal dat ook. Inmiddels is de Fahrenheitschaal
nauwkeuriger vastgesteld en geldt tussen graden Celsius (C) en graden
Fahrenheit (
F) het volgende verband:
.
73pFormules herleiden en omwerken 3p
Herleid deze formule uit de formule
.
Een andere temperatuurschaal is er een die bedacht is door de Engelse
wetenschapper Isaac Newton. Op Newtons schaal is het vriespunt van
water (0 °C) gelijk aan 0 °N en het kookpunt van water (100 °C) stelde
Newton gelijk aan 33 °N. Het verband tussen de schalen van Newton en
Celsius is lineair.
In het verleden werden zwembaden in de Verenigde Staten op een
temperatuur van 84 °F gehouden. Met behulp van de gegevens op de
vorige pagina en de formule voor het verband tussen graden Celsius en
graden Fahrenheit is te berekenen hoeveel graden dit op de schaal van
Newton is.
84pRekenen met een gegeven formule 3p · Lineaire functies 1p
Voer deze berekening uit. Geef je antwoord in gehelen.
In de wetenschap werkt men meestal met de Kelvinschaal. Deze schaal is
afgeleid van de Celsiusschaal, maar heeft een ander nulpunt, namelijk het
zogenoemde absolute nulpunt. Dat is de laagst mogelijke temperatuur. In
graden Celsius is dat −273,15 °C.
In de figuur zijn de grafieken getekend van verschillende
temperatuurschalen: Celsius, Fahrenheit en Kelvin. Deze grafieken staan
ook op de uitwerkbijlage.
Beide assen hebben een lineaire schaalverdeling. Op de horizontale as is
echter geen schaalverdeling weergegeven: daar staan enkele
natuurkundige verschijnselen die bij de betreffende temperaturen
plaatsvinden. De grafieken van de Celsiusschaal en de Kelvinschaal zijn
evenwijdig.
figuur
94puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage bij welke
temperatuur, uitgedrukt in graden Celsius, de schalen van Fahrenheit en
Kelvin dezelfde waarde aangeven.
opgave 3Museumkaart
Sinds 1981 bestaat in Nederland de Museumkaart. Als je zo’n kaart koopt,
mag je een jaar lang gratis ruim 400 musea in Nederland bezoeken.
Deze kaart is een initiatief van de gezamenlijke musea, bedoeld om zowel
de musea aan extra inkomsten te helpen als het museumbezoek te
bevorderen. Beide doelstellingen worden gehaald: musea trekken meer
bezoekers (en krijgen meer inkomsten) en kopers van een kaart gaan zó
vaak naar een museum, dat het hun per bezoek aanmerkelijk minder kost
dan wanneer ze losse toegangskaartjes zouden kopen.
In 2013 kostte een Museumkaart voor minderjarigen € 25. Voor
volwassenen was de prijs € 50. Er werden dat jaar 1 miljoen
Museumkaarten verkocht. Dit bracht 40,3 miljoen euro op.
104pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken hoeveel Museumkaarten in 2013 aan minderjarigen werden
verkocht.
De 1 miljoen Museumkaarthouders bezochten in 2013 in totaal 6,4 miljoen
keer een museum met hun kaart. Zonder Museumkaart zou de
gemiddelde toegangsprijs van deze bezoeken € 10,26 geweest zijn.
In 2013 keerde de Stichting Museumkaart de bezochte musea 60% van
de toegangsprijs uit, betaald uit de opbrengst van de Museumkaart. Het
resterende bedrag van de opbrengst van de Museumkaart werd besteed
aan bureaukosten.
113pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de bureaukosten van deze stichting in 2013. Geef je antwoord in
honderdduizenden euro’s nauwkeurig.
In het jaarverslag over 2013 van de stichting staat:
A: De ruim 6,4 miljoen bezoeken door Museumkaarthouders in 2013 is ruim 20% meer dan in 2012. Het gemiddeld gebruik per Museumkaart steeg hiermee ten opzichte van het jaar ervoor met ongeveer een half bezoek. Dit is te danken aan het aantrekkelijke aanbod van de musea.
Zoals eerder vermeld, bezochten de 1 miljoen kaarthouders in 2013 in
totaal 6,4 miljoen keer een museum.
opgave 4Waarheidssprekers en leugenaars
Op een eiland wonen uitsluitend waarheidssprekers en leugenaars.
Waarheidssprekers spreken altijd de waarheid en leugenaars liegen altijd.
Desgevraagd zegt een van hen, Louise: “Ik ben een leugenaar of Johan is
een waarheidsspreker.”
We gebruiken de volgende afkortingen om de situatie nader te
onderzoeken:
A Louise is een leugenaar
B Louise is een waarheidsspreker
C Johan is een leugenaar
D Johan is een waarheidsspreker
Als Louise een leugenaar is, is wat zij zegt onwaar. Dit feit kunnen we met
behulp van logische symbolen vertalen in een logische formule:
Maar als Louise een waarheidsspreker is, is wat zij zegt wél waar.
132pLogisch redeneren 2p
Vertaal dit feit op een vergelijkbare manier in een logische formule. Maak
daarbij gebruik van bovenstaande afkortingen.
144pLogisch redeneren 4p
Onderzoek welke twee van de beweringen A, B, C en D juist zijn.
Als Louise alleen gezegd zou hebben: “Ik ben een leugenaar”, dan zou er
een bijzondere situatie ontstaan zijn.
153pLogisch redeneren 3p
Leg uit waarom er een bijzondere situatie zou zijn ontstaan en geef aan
welke bijzondere situatie er ontstaan zou zijn.
opgave 5Wereldbevolking
De Amerikaanse schrijver Asimov voorspelde in 1971 nog dat de
wereldbevolking zou blijven groeien totdat de hele aardbol net zo vol was
als Manhattan. Zo ver zal het echter niet komen.
In figuur 1 zie je de groei van de wereldbevolking vanaf 1804.
figuur 1
Zo zie je dat de omvang van de wereldbevolking van 1 miljard mensen in
1804 was toegenomen tot 4 miljard mensen in 1974.
Door de afronding op miljarden is in figuur 1 niet goed te zien op welke
manier de wereldbevolking tussen 1987 en 2011 is gegroeid.
Als je uitgaat van lineaire groei en veronderstelt dat deze zich ook na
2011 voortzet, dan zullen er in het jaar 2100 ongeveer 14,4 miljard
bewoners zijn.
Er zou echter ook sprake kunnen zijn van exponentiële groei. Als je
daarmee doorrekent, kom je op een heel andere voorspelling voor het
jaar 2100.
164pExponentiële functies en groei 4p
Bereken, uitgaande van de gegevens van 1987 en 2011, hoe groot het
verschil is tussen de lineaire voorspelling en de exponentiële voorspelling
voor de omvang van de wereldbevolking in het jaar 2100. Geef je
antwoord in hele miljarden.
Tot nu toe werd door demografen aangenomen dat in de tweede helft van
deze eeuw het aantal mensen zou stabiliseren. De aarde zou dan
9 miljard bewoners hebben en er niet meer bij krijgen.
Maar dat is niet het geval, zegt een commissie van de Verenigde Naties
(VN) in een nieuwe studie. De wereldbevolking zal groeien van 7,2 miljard
mensen in 2014 naar 10 tot 12 miljard in 2100. Belangrijkste reden voor
de stijging ligt in de aanhoudend hoge geboortecijfers in Afrika.
In figuur 2 is dat duidelijk te zien. Het aandeel van de bevolking van Azië
neemt sterk af, maar dat van Afrika blijft stijgen.
figuur 2
In de figuur is te zien dat in 2011 nog 60% van de wereldbevolking in Azië
leefde en slechts 15% in Afrika. Die verhouding zal de komende jaren
sterk veranderen.
In figuur 2 is de lijn die bij Afrika hoort vanaf 2040 vrijwel recht.
174pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p
Onderzoek, uitgaande van de studie van de VN, of dat betekent dat de
omvang van de bevolking van Afrika afnemend stijgt, constant stijgt of
toenemend stijgt.
Figuur 2 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. De lijn die bij Azië hoort,
is vanaf 2040 ook recht. Neem aan dat die lijnen ook na het jaar 2100 zo
zullen doorlopen. Uitgaande van figuur 2 op de uitwerkbijlage kun je voor
, het percentage dat bij Azië hoort, de volgende formule opstellen:
met
t = 0 in 2040 en
t in jaren
opgave 6El Mirador
El Mirador is een bijzonder flatgebouw in Madrid, ontworpen door de
architecten van MDRDV uit Rotterdam. Zie de foto.
foto
Hoewel op de foto de indruk gewekt wordt dat de benedenverdieping, ook
wel begane grond genoemd, hoger is dan de andere verdiepingen, gaan
we er in deze opgave van uit dat het gebouw, inclusief de begane grond,
21 even hoge verdiepingen telt. De totale vloeroppervlakte van alle
verdiepingen samen is 25 393 m2.
Van het gebouw is een maquette gemaakt op schaal 1:50.
192pOppervlakte, inhoud en schaal 2p
Bereken de totale vloeroppervlakte van alle verdiepingen samen in de
maquette. Geef je antwoord in hele m2.
Het meest opvallend aan het gebouw is de vijf verdiepingen hoge open
ruimte op het dak van de elfde verdieping, 36,8 meter boven de grond.
Met behulp van bovenstaande gegevens kun je een goede schatting
maken van de totale inhoud van het gebouw.
203pOppervlakte, inhoud en schaal 3p
Bereken de totale inhoud van het gebouw. Geef je antwoord in hele m3.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een tekening van het
gebouw in tweepuntsperspectief. Niet alle lijnstukken zijn getekend. De
doorgetrokken lijnstukken hebben de juiste lengte maar de gestippelde
lijnstukken niet. Er is een iets ander gezichtspunt gekozen dan bij de foto.
215puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 5p
Maak de tekening van het gebouw (zonder ramen en deuren) op de
uitwerkbijlage af.
en de uitwerkbijlage, in
